勻質(zhì)地下管線(xiàn)沉降的傅里葉級(jí)數(shù)解

楊成永，程　霖, 余　樂(lè)，韓薛果

(1.北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京　100044； 2.北京城市快軌建設(shè)管理有限公司，北京　100027)

隧道開(kāi)挖將引起土層及土層中鄰近地下管線(xiàn)的沉降。管線(xiàn)沉降變形的理論分析一般采用彈性地基梁方法，并且根據(jù)變形的大小，可以分為小變形和大變形力學(xué)方法。

小變形力學(xué)方法的研究成果較多，主要有：Attewell等(1986)[1]假定地層沉降符合Peck曲線(xiàn)，采用彈性地基梁法分析管線(xiàn)與隧道平行和垂直時(shí)管線(xiàn)的響應(yīng)；Vorster(2005) 等[2]采用彈性地基梁法推導(dǎo)了隧道開(kāi)挖對(duì)鄰近勻質(zhì)管線(xiàn)的最大附加彎矩計(jì)算公式；Klar(2005) 等[3]比較了Winkler地基與彈性連續(xù)體地基的不同，根據(jù)更精細(xì)的彈性連續(xù)體地基的解答，提出了修正的Winkler地基模量；王霆等(2006)[4]從地下管線(xiàn)的失效模式、管土相互作用、簡(jiǎn)化算法、離心模型試驗(yàn)及數(shù)值模擬等方面，綜述了隧道施工對(duì)地下管線(xiàn)影響的研究成果；駱建軍等(2006)[5]就北京地鐵黃莊站施工對(duì)地下管線(xiàn)的影響進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算、現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)和安全性評(píng)價(jià)；Klar等(2007)[6]采用邊界積分方法研究了土層中管線(xiàn)的沉降變形，探討了管線(xiàn)周?chē)植客翆忧挠绊?；吳為義等(2008)[7]采用彈性地基梁理論及FLAC3D軟件計(jì)算了盾構(gòu)下穿時(shí)電力管溝的沉降變形及內(nèi)力；孫宇坤等(2009)[8]對(duì)盾構(gòu)隧道下穿煤氣管線(xiàn)進(jìn)行了沉降監(jiān)測(cè)，分析了管線(xiàn)的沉降變形規(guī)律；張坤勇等(2010)[9]對(duì)彈性地基無(wú)限長(zhǎng)梁的控制微分方程進(jìn)行了解析求解，假定土層的位移函數(shù)及管線(xiàn)位移的特解均可用多項(xiàng)式表達(dá)，然后根據(jù)邊界條件及不同區(qū)段間的連續(xù)性條件確定積分系數(shù)；姜玲等(2010)[10]對(duì)彈性地基無(wú)限長(zhǎng)梁的控制微分方程進(jìn)行了初參數(shù)法解析求解，土層的位移函數(shù)采用Peck公式。

大變形力學(xué)方法方面，楊成永等(2014)[11]建立了考慮管線(xiàn)軸力的控制微分方程，假定管線(xiàn)的軸向伸長(zhǎng)在沉降槽范圍內(nèi)為一常量，給出了管線(xiàn)與隧道垂直情況下管線(xiàn)大變形的近似解。

上述既有研究成果表明，將管線(xiàn)視為承受土層位移荷載的彈性地基梁，對(duì)其在小變形力學(xué)方法方面的研究已較充分；但大變形力學(xué)方法方面的研究還有待深入：一方面既有近似解的計(jì)算精度有待探究；另一方面，近似解只能適用于管線(xiàn)只承受土層荷載且土層及管線(xiàn)的沉降曲線(xiàn)均為Peck曲線(xiàn)的情況，適用范圍相當(dāng)有限。因此需要探討管土共同作用下管線(xiàn)大變形問(wèn)題求解的新方法。

無(wú)限長(zhǎng)勻質(zhì)地下管線(xiàn)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)為管線(xiàn))屬于一維桿件。對(duì)于一維桿件沉降的微分方程，均可用傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行求解[12-13]，并且傅里葉級(jí)數(shù)解的精度高，可以視為微分方程的精確解，而且可以用于判斷打靶法或其他近似方法計(jì)算結(jié)果的精度。

本文針對(duì)地鐵盾構(gòu)隧道開(kāi)挖引起鄰近管線(xiàn)沉降較大的情況，列出管線(xiàn)大變形的控制微分方程，推導(dǎo)土層沉降及管線(xiàn)沉降的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)計(jì)算公式，給出沉降和內(nèi)力的計(jì)算公式；基于文獻(xiàn)[11]中的數(shù)據(jù)，采用推導(dǎo)的變形和內(nèi)力計(jì)算公式計(jì)算管線(xiàn)沉降隨土層沉降的級(jí)數(shù)解，并與近似解的求解結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證級(jí)數(shù)解的正確性。

1　管線(xiàn)大變形的控制微分方程

管線(xiàn)微元的受力如圖1所示。圖中：w為管線(xiàn)沉降，m，向上為正；x和y為管線(xiàn)坐標(biāo)，m；坐標(biāo)原點(diǎn)位于沉降槽中心；N為管線(xiàn)軸力，N；注意這里直接將N表示其物理分量，而文獻(xiàn)[11]中該處為g1N；g1為管線(xiàn)的一維度規(guī)(管線(xiàn)變形后長(zhǎng)度與變形前長(zhǎng)度的比)；Q為管線(xiàn)剪力，N；M為管線(xiàn)彎矩，N·m。根據(jù)圖1可得管線(xiàn)大變形的控制微分方程為[11]

(1)

式中：E為管線(xiàn)彈性模量，Pa；I為管線(xiàn)截面的慣性矩，m4；q為管線(xiàn)右端單位荷載，N·m，向上為正。

圖1　管線(xiàn)微元受力示意圖

考慮管線(xiàn)為無(wú)限長(zhǎng)管線(xiàn)，微分方程(1)的邊界條件可視為兩端固支，并且由于對(duì)稱(chēng)，中點(diǎn)的轉(zhuǎn)角也為0，有

(2)

式(1)和式(2)組成所求解的邊值問(wèn)題，而邊值問(wèn)題中的參數(shù)可分別按照如下公式計(jì)算得到。

(1)管線(xiàn)右端荷載q按Winkler地基反力計(jì)算。

考慮管線(xiàn)沉降是由土層沉降所引起的，地基反力的計(jì)算公式為

q=kD(S-w)

(3)

式中：k為地基系數(shù)，Pa·m-1；D為管線(xiàn)外徑，m；S為土層沉降，m。

土層及管線(xiàn)的沉降變形如圖2所示。圖中：S0和w0為x=0處土層及管線(xiàn)的最大沉降，m；i和j分別為土層及管線(xiàn)的沉降槽寬度，即沉降曲線(xiàn)反彎點(diǎn)距x=0處的水平距離，m。

圖2　土層及管線(xiàn)的沉降示意圖

參照?qǐng)D2，式(3)中土層沉降S可用Peck曲線(xiàn)表示為

(4)

(2)在式(1)中除管線(xiàn)沉降w外，g1和N也是待求的量。

為了降低式(1)的非線(xiàn)性程度，假設(shè)沉降槽附近范圍內(nèi)管線(xiàn)的軸向變形和軸力是均勻的，并且管線(xiàn)沉降后的長(zhǎng)度按Peck曲線(xiàn)進(jìn)行計(jì)算，即假定用于管線(xiàn)長(zhǎng)度計(jì)算的沉降曲線(xiàn)為

(5)

因此有[11]

(6)

(7)

式中：A為管線(xiàn)的截面積，m2；L為計(jì)算范圍的半寬，m。

(3)由梁的彎矩與曲率間的關(guān)系可計(jì)算管線(xiàn)彎矩M，再根據(jù)管線(xiàn)剪力Q與管線(xiàn)彎矩M間的關(guān)系可計(jì)算管線(xiàn)剪力，分別如下

(8)

(9)

2　基于傅里葉級(jí)數(shù)的計(jì)算公式

為了對(duì)式(1)采用傅里葉級(jí)數(shù)求解，需要把式(1)和式(3)中的S及w均展開(kāi)成三角級(jí)數(shù)。由于土層沉降及管線(xiàn)截面和約束關(guān)于沉降槽中心對(duì)稱(chēng)，管線(xiàn)沉降勢(shì)必也是對(duì)稱(chēng)的，因此可把土層沉降S在[-L, +L]上展成余弦級(jí)數(shù)，即

(10)

其中，

(11)

(12)

式中：S(x)為土層沉降，m；b0和bn為傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)；n為自然數(shù)。

為使計(jì)算范圍足夠大，L一般取3i以上。利用式(4)、式(11)和式(12)有[14]

(13)

(14)

把管線(xiàn)沉降w在[-L, +L]上同樣展成余弦級(jí)數(shù)，即

(15)

式中：w(x)為管線(xiàn)沉降，m；a0和an為待求的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。

根據(jù)式(15)，管線(xiàn)沉降的各階導(dǎo)數(shù)為

(16)

(17)

(18)

(19)

把式(13)和式(14)代入式(10)，然后把式(10)和式(15)代入式(3)，最后再將式(3)、式(17)和式(19)帶入式(1)，比較常數(shù)項(xiàng)及三角函數(shù)的系數(shù)，得到式(15)的系數(shù)為

a0=b0

(20)

(21)

需要說(shuō)明的是：式(15)在計(jì)算區(qū)間的端點(diǎn)和中點(diǎn)時(shí)已經(jīng)滿(mǎn)足式(2)所示的邊界條件；而且式(15)有各階導(dǎo)數(shù)，可以通過(guò)增大n的值達(dá)到任意精度。式(15)與式(5)的區(qū)別是：式(15)是本文的求解目標(biāo)，它不一定是Peck曲線(xiàn)；式(5)僅是在近似計(jì)算軸力及度規(guī)時(shí)需要用到；式(15)中的系數(shù)a0和an是通過(guò)級(jí)數(shù)的方法確定的，而式(5)中的參數(shù)w0和j目前只能采用近似方法確定；在已知a0和an后，可以計(jì)算w0和j，但反過(guò)來(lái)則不行。

比較式(5)和式(15)，有

(22)

至于式(5)中的j，可以通過(guò)式(17)計(jì)算管線(xiàn)沉降曲線(xiàn)的曲率，其正負(fù)變號(hào)之處對(duì)應(yīng)的x的值即為j。用公式表示時(shí)，j為如下方程的根：

(23)

圖3　管線(xiàn)沉降和內(nèi)力的計(jì)算框圖

至此，若土層沉降參數(shù)S0及i，地基系數(shù)k，以及管線(xiàn)參數(shù)A，E，I，D均已知，則可計(jì)算得到管線(xiàn)的沉降和內(nèi)力，計(jì)算框圖如圖3所示。

3　實(shí)例計(jì)算

采用文獻(xiàn)[11]的工點(diǎn)數(shù)據(jù)：土層最大沉降S0分別取0.05，0.90，1.80 m；土層沉降槽寬度i=1.8 m，地基系數(shù)k=8×107Pa·m-1，管線(xiàn)外徑D=426 mm，管線(xiàn)截面慣性矩I=1.746×108mm4，管線(xiàn)彈性模量E=2×1011Pa。

采用C語(yǔ)言編程實(shí)現(xiàn)本文的計(jì)算方法，對(duì)于該實(shí)例計(jì)算得到的級(jí)數(shù)解列于表1。為對(duì)比分析，將文獻(xiàn)[11]計(jì)算的近似解也列于表1中。不同土層最大沉降時(shí)土層和管線(xiàn)沉降的級(jí)數(shù)解曲線(xiàn)如圖4所示 。

表1　計(jì)算結(jié)果

圖4　不同土層最大沉降時(shí)土層和管線(xiàn)的沉降曲線(xiàn)

從表1及圖4可以得出如下結(jié)論。

(1)管線(xiàn)沉降曲線(xiàn)與正態(tài)曲線(xiàn)十分接近。也就是說(shuō)，在土層沉降曲線(xiàn)為Peck曲線(xiàn)的情況下，管線(xiàn)沉降曲線(xiàn)的形式也是Peck曲線(xiàn)。

(2)文獻(xiàn)[11]所得的近似解與本文級(jí)數(shù)解的計(jì)算結(jié)果比較接近。近似解的計(jì)算精度能夠接近級(jí)數(shù)解的原因在于：“管線(xiàn)沉降符合Peck曲線(xiàn)”的假定與實(shí)際吻合；近似解選擇了2個(gè)合適的位置(x=0及x=j)計(jì)算管線(xiàn)沉降槽的參數(shù)。

從求解過(guò)程來(lái)看，級(jí)數(shù)解比文獻(xiàn)[11]的近似解有如下優(yōu)越性。

(1)級(jí)數(shù)解不需要事先假定管線(xiàn)沉降曲線(xiàn)的形式。

(2)級(jí)數(shù)解除土層位移荷載外，還可以處理其他的荷載形式。對(duì)近似解來(lái)說(shuō)，在管線(xiàn)上增加土層位移荷載以外的其他荷載，將使管線(xiàn)變形后不再為Peck曲線(xiàn)，難于求解。

(3)級(jí)數(shù)解隨所取級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)的增加，求解精度穩(wěn)定提高。近似解求解結(jié)果的精度與選取的計(jì)算點(diǎn)位置有關(guān)，位置不同，結(jié)果的精度亦不同。

4　結(jié)　語(yǔ)

本文采用傅里葉級(jí)數(shù)求解管線(xiàn)的非線(xiàn)性沉降問(wèn)題，得到了滿(mǎn)意的結(jié)果。級(jí)數(shù)解本身可以通過(guò)增加級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)達(dá)到任意精度。但本文“在沉降槽附近范圍內(nèi)管線(xiàn)均勻伸縮”的假定仍會(huì)帶來(lái)計(jì)算結(jié)果的近似性，當(dāng)然這一假設(shè)與級(jí)數(shù)方法本身無(wú)關(guān)。在土層對(duì)管線(xiàn)握裹力不大的情況下，或者管線(xiàn)外表面比較光滑時(shí)，這種假設(shè)所所產(chǎn)生的影響更小。

級(jí)數(shù)解可以處理較為復(fù)雜的荷載形式，如管線(xiàn)上作用有集中荷載，或者土層抗力只作用在管線(xiàn)的部分區(qū)段上等。當(dāng)然，在處理這些復(fù)雜荷載時(shí)，傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)一般不能直接得到顯式表達(dá)，需要求解線(xiàn)性方程組。

關(guān)于小變形情況下地埋管線(xiàn)沉降的傅里葉級(jí)數(shù)解，因?yàn)槠渲皇谴笞冃喂皆谳S力和伸長(zhǎng)均等于零時(shí)的特殊情況，所以本文未進(jìn)行討論。

[1]ATTEWELL P B, YEATES J, SELBY A R. Soil Movements Induced by Tunnelling and Their Effects on Pipelines and Structures [M]. London: Blackie and Son Ltd, 1986.

[2]VORSTER T E B, KLAR Assaf, SOGA Kenichi, et al. Estimating the Effects of Tunneling on Existing Pipelines [J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 2005, 131(11): 1399-1410.

[3]KLAR A, VORSTER T E B, SOGA K, et al. Soil-Pipe Interaction Due to Tunnelling: Comparison between Winkler and Elastic Continuum Solutions [J]. Geotechnique, 2005, 55(6): 461-466.

[4]王霆，劉維寧，李興高，等.地鐵施工影響鄰近管線(xiàn)的研究現(xiàn)狀與展望[J].中國(guó)鐵道科學(xué)，2006，27(6)：117-123.

(WANG Ting, LIU Weining, LI Xinggao, et al. Current Situation and Prospect of Studies on Tunneling-Induced Effect of Adjacent Pipelines [J]. China Railway Science, 2006, 27(6): 117-123. in Chinese)

[5]駱建軍，張頂立，王夢(mèng)恕，等.地鐵施工對(duì)管線(xiàn)的影響[J].中國(guó)鐵道科學(xué)，2006，27(6)：124-128.

(LUO Jianjun, ZHANG Dingli, WANG Mengshu,et al. Influence of Metro Construction on Underground Pipeline [J]. China Railway Science, 2006, 27(6)：124-128. in Chinese)

[6]KLAR A， VORSTER T E B， SOGA K，et al. Elastoplastic Solution for Soil-Pipe-Tunnel Interaction [J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 2007, 133(7): 782-792.

[7]吳為義，孫宇坤，張土喬.盾構(gòu)隧道施工對(duì)鄰近地下管線(xiàn)影響分析[J].中國(guó)鐵道科學(xué)，2008，29(3)：58-62.

(WU Weiyi，SUN Yukun，ZHANG Tuqiao. Analysis of the Effects on the Adjacent Underground Pipelines by Shield Tunneling Construction [J]. China Railway Science, 2008，29(3)：58-62. in Chinese)

[8]孫宇坤，吳為義，張土喬.軟土地區(qū)盾構(gòu)隧道穿越地下管線(xiàn)引起的管線(xiàn)沉降分析[J].中國(guó)鐵道科學(xué)，2009，30(1)：80-85.

(SUN Yukun，WU Weiyi， ZHANG Tuqiao. Analysis on the Pipeline Settlement in Soft Ground Induced by Shield Tunneling across Buried Pipeline [J]. China Railway Science, 2009，30(1)：80-85. in Chinese)

[9]張坤勇，王宇，艾英缽.任意荷載下管土相互作用解答[J]. 巖土工程學(xué)報(bào)，2010，32(8)：1189-1193.

(ZHANG Kunyong, WANG Yu, AI Yingbo. Analytical Solution to Interaction between Pipelines and Soils under Arbitrary Loads [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2010, 32(8): 1189-1193. in Chinese)

[10]姜玲，汪中衛(wèi)，王旭東.隧道開(kāi)挖引起地下管線(xiàn)豎向位移的初參數(shù)法求解[J]. 南京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，32(4)：72-76.

(JIANG Ling, WANG Zhongwei, WANG Xudong. Initial Parameter Method for Solving Vertical Displacement of Buried Pipelines Caused by Tunnel Excavation [J]. Journal of Nanjing University of Technology: Natural Science Edition, 2010, 32(4): 72-76. in Chinese)

[11]楊成永，張彥斌，張倫政. 勻質(zhì)地下管線(xiàn)大變形的控制微分方程及其近似解 [J]. 中國(guó)鐵道科學(xué)，2014，35(1)：42-46.

(YANG Chengyong, ZHANG Yanbin, ZHANG Lunzheng. Governing Differential Equation and Approximate Solution for Large Deformation of Jointless Underground Pipeline [J]. China Railway Science, 2014，35(1)：42-46. in Chinese)

[12]嚴(yán)宗達(dá).結(jié)構(gòu)力學(xué)中的傅里葉級(jí)數(shù)解法 [M]. 天津:天津大學(xué)出版社，1989.

[13]楊維加.彈性地基梁的三角級(jí)數(shù)解法[M]. 北京：水利水電出版社，2005.

[14]數(shù)學(xué)手冊(cè)編寫(xiě)組.數(shù)學(xué)手冊(cè) [M]. 北京：高等教育出版社，1979.