基于影響矩陣?yán)碚摰膽宜鳂蛩髁?yōu)化

王會利，秦泗鳳，李盛洋

(1.大連理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，遼寧 大連　116023； 2.大連大學(xué) 材料破壞力學(xué)數(shù)值試驗(yàn)研究中心，遼寧 大連　116022； 3.湖北省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)院股份有限公司，湖北 武漢　430051)

懸索橋具有較強(qiáng)的幾何非線性，懸索系統(tǒng)在無應(yīng)力狀態(tài)下是無法成形的，只有在荷載和索力作用下纜索系統(tǒng)構(gòu)形才能穩(wěn)定，滿足平衡方程。纜索系統(tǒng)最終穩(wěn)定的構(gòu)形是在相應(yīng)荷載下的理想線形，理想線形對應(yīng)著理想索力，即這個(gè)“找形”的過程也就是索力優(yōu)化的過程。

很多學(xué)者對懸索橋索力優(yōu)化或“找形”展開研究。Vu[1]應(yīng)用非線性纜索單元分析纜索承重橋，他將拋物線作為初始線形，加快了計(jì)算收斂速度。Kim[2]基于Newton-Raphson迭代方法，應(yīng)用彈性懸鏈線單元，優(yōu)化了懸索橋在恒載下的線形，并在此基礎(chǔ)上，通過初始力消除塔梁的初始變形，獲得更精確的結(jié)果。Myung-Rag Jung[3]通過設(shè)置彈性懸鏈線單元的無應(yīng)力長度，得到懸索橋非線性纜索單元廣義切線剛度矩陣，進(jìn)而對結(jié)果進(jìn)行求解。Huu-Tai Thai[4]應(yīng)用彈性懸鏈線單元，同時(shí)考慮了材料非線性對多跨懸索橋進(jìn)行索力優(yōu)化。唐茂林[5]提出了節(jié)段懸鏈線法。羅喜恒[6]應(yīng)用割線剛度，發(fā)展完善了節(jié)段懸鏈線法，推導(dǎo)了纜索單元?jiǎng)偠鹊木_表達(dá)式。王超[7]等以最小彎曲應(yīng)變能法為理論基礎(chǔ)，引入優(yōu)化理論，運(yùn)用通用有限元軟件ANSYS與自主研發(fā)的SiPESC.OPT軟件系統(tǒng)對懸索橋進(jìn)行索力優(yōu)化。

影響矩陣法多用于斜拉橋、拱橋的索力優(yōu)化[8-9]，在懸索橋施工調(diào)索過程中也有所應(yīng)用[10]。但是懸索橋初期找形過程具有較強(qiáng)的非線性[11]，目前還未見在懸索橋索力優(yōu)化方面應(yīng)用的報(bào)道。本文基于非線性有限元，在初始剛度的基礎(chǔ)上計(jì)算懸索橋影響矩陣，通過迭代計(jì)算分析，完成懸索橋索力優(yōu)化。

1　懸索橋影響矩陣

1.1　影響矩陣

假設(shè)圖1所示的懸索橋有n根索。定義索力向

圖1　結(jié)構(gòu)示意圖

量為F=(f1,f2,…,fn)T，對應(yīng)主梁上拉索錨固點(diǎn)的位移向量為D=(d1,d2,…,dn)T。

當(dāng)某根索的索力fi發(fā)生索力變化Δi(i=1,2,…，n)時(shí)，D也隨之改變，令變化量為Ai=(a1i,a2i,…,ani)T。如果每根索都發(fā)生索力變化，且對應(yīng)的索力變化對角矩陣為Δ=Diga(Δ1,Δ2,…,Δn) ，那么D的變化量矩陣為

A=(A1A2…An)

(1)

式中：A為結(jié)構(gòu)的影響矩陣。

1.2　懸索橋影響矩陣的形成

將懸索橋恒載和初始索力定義為懸索橋的初始荷載。在初始荷載作用下，懸索橋具有的剛度稱為懸索橋的初始剛度。本文在考慮懸索橋初始剛度的基礎(chǔ)上，形成懸索橋結(jié)構(gòu)的影響矩陣。具體過程如下：

第1步，假定初始索力F0和初始主纜線形，計(jì)算初始荷載作用下懸索橋關(guān)鍵點(diǎn)的位移D0，一般情況下，關(guān)鍵點(diǎn)可以取主梁和主纜上的吊點(diǎn)；

第2步，計(jì)算在初始荷載和第i根索的索力變化值Δi作用下關(guān)鍵點(diǎn)的位移Di；

第3步，考慮懸索橋的初始剛度后，懸索橋基本屬于線性結(jié)構(gòu)[12]，根據(jù)疊加原理，通過Ai=Di-D0得到在第i根索索力變化值Δi作用下關(guān)鍵點(diǎn)的位移變化量；

第4步，重復(fù)上述過程，得到影響矩陣A=(A1A2…An)。

2　基于影響矩陣的懸索橋索力優(yōu)化

在確定優(yōu)化目標(biāo)后，即確定關(guān)鍵點(diǎn)的位移向量D后，通過求解方程AF=ΔD，就能得到索力向量F=A-1ΔD。由于懸索橋?qū)儆诜蔷€性結(jié)構(gòu)，需要迭代逼近優(yōu)化目標(biāo)D，因此其索力優(yōu)化是個(gè)迭代的過程，具體如下：

第1步，在形成影響矩陣的基礎(chǔ)上,索力向量F0更新為F1,F1=F0+A-1Δ(D-D0)；

第2步，將F1帶入有限元模型，計(jì)算懸索橋在恒載和F1作用下的結(jié)構(gòu)位移向量D1；

第3步，索力向量F1更新為F2,F2=F1+A-1Δ(D-D1)；

第4步，將F2帶入有限元模型，計(jì)算懸索橋在恒載和F2作用下的結(jié)構(gòu)反應(yīng)D2；

第5步，重復(fù)第2步—第4步，直到‖D-Dj‖<ε，得到最終的理想索力Fj,其中j為循環(huán)次數(shù)，j=1,2，…。

理想索力對應(yīng)的纜索系統(tǒng)形狀就是懸索橋合理成橋線形。流程如圖2所示。

圖2　流程圖

初始索力F0和初始主纜線形會影響收斂進(jìn)程，因此需要先估算索力和主纜線形，再進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。嚴(yán)格來說，主纜成橋線形是多段懸鏈線[13]，但是為了計(jì)算簡便，一般可以假設(shè)主纜初始線形為拋物線，并按內(nèi)力平衡法估算吊桿和主纜的初始索力[14]。

3　驗(yàn)　證

以圖3所示懸索結(jié)構(gòu)為例，驗(yàn)證上述方法的可行性。

圖3　某懸索結(jié)構(gòu) (單位：m)

在圖3所示懸索結(jié)構(gòu)中，有4段主纜，3個(gè)吊桿。主梁和主纜跨度均為20 m。主纜的截面面積為1.398×10-2m2，吊桿的截面面積為8.84×10-3m2，二者抗彎慣性矩為0 m4，不承擔(dān)彎矩。主纜和吊桿采用高強(qiáng)平行鋼絲，材料彈性模量為190 GPa。主梁的截面面積為0.84 m2，抗彎慣性矩為5.488×10-3m4，采用Q345鋼材，材料彈性模量為210 GPa。在主梁上作用均布荷載20 kN·m-1。

3.1　優(yōu)化目標(biāo)

優(yōu)化目標(biāo)包括：

(1) 吊桿保持豎直，B，C和D點(diǎn)沒有水平位移，即dxB=dxC=dxD=0；

(2) 主梁彎矩最小，G，H和I點(diǎn)沒有豎向位移，即dyG=dyH=dyI=0；

(3) 矢高不變，C點(diǎn)沒有豎向位移，即dyC=0。

未知索力包括4段主纜的索力fAB，fBC，fCD和fDE，以及3段吊桿的索力fBG，fCH和fDI，即

F=(fAB,fBC,fCD,fDE,fBG,fCH,fDI)T

(2)

3.2　優(yōu)化過程

按內(nèi)力平衡法初步估算吊桿和主纜的初始索力，得到主纜和吊桿的初始索力為100 kN，即F0=(100,100,100,100,100,100,100)T；令主纜單元索力變化值為10 000 kN，吊桿單元索力變化值1 000 kN，即Δ=Diga(10 00010 00010 00010 0001 0001 0001 000)。根據(jù)上述方法，經(jīng)過有限元計(jì)算，得到結(jié)構(gòu)的影響矩陣為

(3)

經(jīng)過4輪迭代后‖D-D4‖<0.01，所以索力

F4=(-6 386.26,3 579.63,3 568.88,

-6 385.14,34 855.19,141.06,

3 4849.18)T

因?yàn)镕是體內(nèi)力[9]，所以在結(jié)果中會有負(fù)值。位移和索力的收斂過程如圖4和圖5所示。從圖中可以看出，經(jīng)過2輪迭代，計(jì)算就基本收斂。

圖4　位移收斂過程

3.3　優(yōu)化結(jié)果

將F4帶入有限元模型中，可以得到懸索結(jié)構(gòu)的最終狀態(tài)，結(jié)構(gòu)的位移和索力如圖6和圖7所示。因?yàn)锽，C和D點(diǎn)的水平位移為0，所以沒有示出。從圖中可以看出，結(jié)果滿足提出的優(yōu)化目標(biāo)，同時(shí)索力均勻。B和D點(diǎn)豎向位移較大，這是由于在相應(yīng)的荷載作用下，主纜的初始線形不合理，而變形后主纜的線形才合理。

圖5　索力收斂過程

圖6　主梁、主纜位移

圖7　主纜、吊桿索力(單位：kN)

從上面的計(jì)算結(jié)果可以看出，本方法是可行的，并且收斂較快。與最小彎矩法和內(nèi)力平衡法[7]相比，本文方法能實(shí)現(xiàn)指定目標(biāo)效應(yīng)的優(yōu)化。本算例以關(guān)鍵點(diǎn)位移作為優(yōu)化目標(biāo)，在實(shí)際的工程項(xiàng)目中，優(yōu)化目標(biāo)可以包括內(nèi)力、應(yīng)力和位移等。

4　在大連星海灣跨海大橋中的應(yīng)用

大連星海灣跨海大橋?yàn)?跨雙層地錨式懸索橋， 如圖8所示，加勁梁為鋼桁架結(jié)構(gòu)，兩端設(shè)混凝土重力式錨碇。計(jì)算跨徑為180 m+460 m+180 m=820 m，主橋桁架軸線寬24 m。混凝土橋塔高112 m，矢跨比1/6.6。設(shè)計(jì)時(shí)速80 km·h-1，主梁縱坡1.5%，車行道橫坡1.5%，人行道向內(nèi)橫坡1.0%。有限元模型如圖9所示。

優(yōu)化目標(biāo)為吊桿水平位移小于2 cm，主梁豎向位移小于5 cm，主纜跨中豎向位移小于5 cm。以上優(yōu)化目標(biāo)并沒有嚴(yán)格要求為0，是為了加快收斂速度。位移值相對于主跨460 m而言，在工程上是可以被接受的。

圖8　星海灣跨海橋立面布置圖(單位：m)

圖9　有限元模型

結(jié)構(gòu)中有164段主纜和158個(gè)吊桿，經(jīng)過8輪迭代，計(jì)算收斂。結(jié)構(gòu)的位移和索力如圖10、圖11和圖12所示。圖10中吊桿位移為水平位移。圖11和圖12同時(shí)給出了文獻(xiàn)[15]的計(jì)算結(jié)果，通過對比發(fā)現(xiàn)，本文計(jì)算結(jié)果和文獻(xiàn)[15]計(jì)算結(jié)果基本一致。

圖10　主梁、主纜、吊桿位移

圖11　主纜索力

圖12　吊桿索力

優(yōu)化計(jì)算結(jié)果滿足優(yōu)化目標(biāo)。在橋塔處，結(jié)構(gòu)位移和索力有突變，是因?yàn)闃蛩聶M梁上的支座對主梁有約束作用。

5　結(jié)　語

本文提出了1種基于影響矩陣的懸索橋索力優(yōu)化方法。首先在恒載和假定初始索力的作用下，形成懸索橋的初始剛度。然后在初始剛度基礎(chǔ)上得到懸索橋的影響矩陣。最后基于影響矩陣迭代更新索力，直至收斂，得到懸索橋理想索力和合理成橋線形。本文方法應(yīng)用于主跨460 m的懸索橋，經(jīng)過8次迭代計(jì)算，優(yōu)化計(jì)算結(jié)果為吊桿水平位移小于2 cm，主梁豎向位移小于5 cm，主纜跨中豎向位移小于5 cm，滿足工程要求，并且索力計(jì)算結(jié)果與已有文獻(xiàn)計(jì)算結(jié)果基本一致。本文方法包括懸索橋影響矩陣形成過程和索力迭代求解過程，與其他方法相比，力學(xué)概念簡單，收斂較快，并能實(shí)現(xiàn)指定目標(biāo)效應(yīng)的優(yōu)化。

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