期權(quán)定價的Monte Carlo模擬精度改進(jìn)技術(shù)及其R軟件實(shí)現(xiàn)

摘要： 提高模擬精度是蒙特卡洛模擬應(yīng)用于解決實(shí)際問題的關(guān)鍵。在介紹對偶變量法、控制變量法、重要抽樣技術(shù)以及分層抽樣法的基本原理基礎(chǔ)上，將這四種精度提高技術(shù)應(yīng)用于標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)的模擬定價，基于R軟件平臺給出它們的實(shí)現(xiàn)程序，對比這些方法與普通蒙特卡洛模擬方法所給出期權(quán)定價的精度提高效果，結(jié)果表明它們都有較好的提高精度效果，尤其是分層抽樣法，精度可以達(dá)到一般蒙特卡洛模擬精度的5倍之多。

關(guān)鍵詞：期權(quán)定價；Monte Carlo模擬；精度改進(jìn)；R軟件

中圖分類號：TP311 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2017）04-0244-03

Precision Improvement Techniques of Monte Carlo Simulation and Implementation by R in Options Pricing

XIONG Bing-zhong

（College of Nanhu， Jiaxing University， Jiaxing 314001，China）

Abstract： The key point to applying Monte Carlo simulation to solve practical problems is to improve the simulation accuracy. Based on the rational of dual variable method， control variable method， importance sampling technique and stratified sampling method， we apply the 4 techniques to the standard pricing of European options with their implementations programmed by the R. The results show that these techniques can all improve the accuracy in option pricing compared with the general Monte Carlo simulation. Especially the simulation of stratified sampling whose precision is 5 times as much as the general Monte Carlos.

Key words： Option Pricing； Monte Carlo Simulation； Precision Improvement； R Software

1 概述

由于期權(quán)既是高效的風(fēng)險對沖工具又是高效的投資工具，在現(xiàn)代金融市場中其越來越受到廣大投資者的青睞。自1973年著名學(xué)者Black與Scholes等[1]基于一些假定的條件下給出標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)定價公式以來，國內(nèi)外眾多學(xué)者以及金融業(yè)界人士就期權(quán)定價問題開展了廣泛的研究，但隨著研究的深入人們發(fā)現(xiàn)只有在特定的條件下一些期權(quán)才具有解析解，大多數(shù)的情形下，期權(quán)都沒有解析解或是解析解求解非常困難，于是期權(quán)定價的數(shù)值求解法，諸如二叉樹（或三叉樹）法[2]、有限差分法以及隨機(jī)模擬[3]等方法尤其是其中的蒙特卡洛模擬法由于其具有良好的適用性引起人們特別的重視。特別是針對多標(biāo)的資產(chǎn)、標(biāo)的資產(chǎn)既帶跳躍又是隨機(jī)波動率的條件，期權(quán)模型又要考慮與標(biāo)的資產(chǎn)路徑相關(guān)[4-5]，甚至在市場利率也設(shè)定為隨機(jī)過程等非常復(fù)雜的情形。但是蒙特卡洛模擬方法也有自身的不足，就是模擬結(jié)果的精度、波動性等受到模擬的路徑數(shù)量的重大影響[6-7]，具體來說就是模擬誤差每降低1%，模擬次數(shù)就要增大10000倍，這樣就會極大增加計算負(fù)擔(dān)、影響運(yùn)行速度從而降低了方法的實(shí)用性。為此人們重點(diǎn)研究如何提高模擬的精確度技術(shù)來實(shí)現(xiàn)更加有效的模擬，其中的對偶變量法、控制變量法、分層抽樣法以及重要性抽樣是當(dāng)前最為重要的模擬精度改進(jìn)技術(shù)[8]。下文將在介紹這四種提高模擬精度技術(shù)的數(shù)學(xué)原理基礎(chǔ)上重點(diǎn)說明其在歐式期權(quán)模擬定價上的使用，然后基于R軟件給出每一種方法的詳細(xì)實(shí)現(xiàn)程序并運(yùn)行程序得到在各種方法下的模擬誤差與精度值。

2 對偶變量法及其在期權(quán)定價中應(yīng)用的R實(shí)現(xiàn)

對偶變量法主要是利用變量之間的負(fù)相關(guān)性來提高模擬的精度，該方法在執(zhí)行時需要產(chǎn)生兩個隨機(jī)數(shù)，一個用一般的方法，譬如逆變換法來生成，另一個則通過直接改變前一個的符號來得到，然后利用這兩個隨機(jī)數(shù)來計算標(biāo)的資產(chǎn)價格下期權(quán)的算術(shù)平均數(shù)，該方法提高精度效果一般比較明顯。

2.1 對偶變量法原理簡介

如果[X1，X2]是有相同均值的隨機(jī)變量，一般情況下有

當(dāng)[X1，X2]不相關(guān)時有[VarX1+X22=14Var（X1）+Var（X2）]，這表明只要[X1，X2]負(fù)相關(guān)就可以減少模擬的方差。若[X1，…，Xn]是由逆變換法得到的隨機(jī)數(shù)。記[ui?unif（0，1）]，則[Xi=F-1X（ui）]，[ui]與[1-ui] 都是（0，1）區(qū)間上的均勻分布并且負(fù)相關(guān)。令[yi=g（F-1X（ui）），y′i=g（F-1X（1-ui））]，其中[g]函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則[yi]與[y′i]負(fù)相關(guān)。對[X?N（0，1）]，則[Xi=Φ-1X（ui）]，[-Xi=Φ-1X（1-ui）]。因此，如果需要生成[n]個服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，先生成[n2]個標(biāo)準(zhǔn)均勻分布的隨機(jī)數(shù)，再用逆變換法生成[X1，…，Xn2]，然后得到[yi=g（Xi），i=1，…，n/2]，再直接取[Xi]的相反數(shù)[-Xi]來計算，得到[y′i=g（-Xi），i=1，…，n/2]，需要估計的量[θ=E（g（X））]便可以以式（）來近似，對偶變量法下歐式看漲期權(quán)的模擬價格[CAV]就可以按式（2-3）模擬得到。

2.2 對偶變量法期權(quán)定價模擬R實(shí)現(xiàn)程序及結(jié)果

基于R軟件編寫對偶變量法期權(quán)模擬定價函數(shù)CAV如下：

設(shè)定股票初始價格S0，執(zhí)行價格K，期權(quán)到期時限T=5/12，無風(fēng)險利率r=5%，標(biāo)的資產(chǎn)年波動率[σ=30%]，按照BS公式可以得到期權(quán)真實(shí)值，依照一般的蒙特卡洛模擬5萬次得到模擬值，運(yùn)行一般模擬函數(shù)與對偶變量函數(shù)各重復(fù)模擬100次，按照相對誤差計算式[RE=1N真實(shí)值-模擬值真實(shí)值]求出它們的模擬誤差，以模擬值的標(biāo)準(zhǔn)差的倒數(shù)[τ]表示模擬的精度，得到不同敲定價格下的模擬精度和相對誤差比較，見表1。

3 變量控制技術(shù)及其在期權(quán)定價中應(yīng)用的R實(shí)現(xiàn)

另一種常用的提高模擬精度的方法是控制變量法。該方法原理是找到一個與需要估計證券有比較相似性質(zhì)的指標(biāo)作為控制變量，對它們同時進(jìn)行價格模擬，再利用控制變量來估計期權(quán)價格的方法。

3.1變量控制技術(shù)原理簡介

設(shè)[θ=E（g（X））]，現(xiàn)有另一個隨機(jī)變量[f（X）]，且[E（f（X））=μ]已知，[f（X）]與[g（X）]相關(guān)，則可選[f（X）]作為控制變量，[g（XC）=g（X）+c（f（X）-μ）]，c是待定參數(shù)，有[E（g（XC））=θ]，可知[g（XC）]是[g（X）]無偏估計。

按照優(yōu)化算法選擇[c?=cov（g（X），f（X））Var（f（X））]，得到[Var（g（XC））=Var（g（X））-[cov（g（X），f（X））]2Var（f（X））]

結(jié)果表明只要[f（X）]與[g（X）]相關(guān)，就可以減少模擬的方差，提高精度?？刂谱兞糠ㄓ玫綒W式期權(quán)模擬定價中，先采用一般的蒙特卡洛模擬得到歐式期權(quán)價格設(shè)為[C]，然后可以選定該期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價格[S（T）]為控制變量，最后得到變量控制技術(shù)下的模擬定價為：

3.2 控制變量技術(shù)期權(quán)定價模擬R實(shí)現(xiàn)程序及結(jié)果

按照控制變量法的算法原理編寫其期權(quán)模擬定價函數(shù)CCV如下，然后在R軟件平臺運(yùn)行。CCV=function股票初始價格S0、執(zhí)行價格K、期權(quán)到期時限T、無風(fēng)險利率r、標(biāo)的資產(chǎn)年波動率[σ]、隨機(jī)模擬次數(shù)、模擬函數(shù)運(yùn)行次數(shù)等設(shè)置與對偶變量法模擬相同，依照相對誤差與模擬精度計算式子得到該方法與一般模擬法的在不同執(zhí)行價格下的結(jié)果如表1所示。

4 分層抽樣算法及其在期權(quán)定價中應(yīng)用的R實(shí)現(xiàn)

分層抽樣算法是將樣本空間劃分成若干個小區(qū)間，通過在每個小區(qū)間上抽樣來實(shí)現(xiàn)提高模擬精度，當(dāng)變量維數(shù)較低時，方法效果相當(dāng)明顯，當(dāng)變量維數(shù)較高時，該方法不容易實(shí)現(xiàn)。

4.1分層抽樣算法原理簡介

設(shè)[θ=E（X）]，又設(shè)[X]依賴于另一個變量[Y]，[P{Y=yj}=pj（j=1，…，m）]，其中[m]有限。因此

[E（X）=j=1mE（X|Y=yj）Pj]，令[θS]為[θ]的分層估計量，則有[θS=j=1mPj1Njk=1NjXjk]，[Nj]表示第j單元的獨(dú)立抽樣數(shù)量，[Xjk]表示第j單元的第k個抽樣。記[σ2j=Var（X|Y=Yj），Nj=NPj]，則

4.2分層抽樣算法期權(quán)定價模擬R實(shí)現(xiàn)程序及結(jié)果

按照分層抽樣法的算法原理編寫其期權(quán)模擬定價函數(shù)CMS如下，股票初始價格、期權(quán)執(zhí)行價格、期權(quán)存續(xù)期、無風(fēng)險利率、標(biāo)的資產(chǎn)年波動率、隨機(jī)模擬次數(shù)、模擬函數(shù)運(yùn)行次數(shù)等與對偶變量法、控制變量法模擬相同，其中分層的數(shù)量取為25，依照相對誤差與模擬精度計算式子得到該方法與一般模擬法、對偶變量法、控制變量法在不同執(zhí)行價格下的結(jié)果見表1。

5重要性抽樣法及其在期權(quán)定價中應(yīng)用的R實(shí)現(xiàn)

重要性抽樣方法是提高模擬精度中常用的方法之一，其思想是尋找到一個新的概率測度來替換原來的概率測度，然后在新的概率測度下進(jìn)行期望值的求解，一般要求在新的概率測度下，對估計量貢獻(xiàn)大的樣本出現(xiàn)概率也要大，它的概率測度變換以似然比值為轉(zhuǎn)換因子來實(shí)現(xiàn)。

5.1重要性抽樣算法原理簡介

設(shè)[X]的概率密度函數(shù)為[f（x）]，則有

因此[θ]的估計量[θ=1ni=1ng（Xi）f（Xi）h（Xi）]，[Xi（i=1，…，n）]是來自概率密度函數(shù)為[h（x）]的隨機(jī)數(shù)，易知[θ]是[θ]的無偏估計。

[Var（θ）=Var（g（X）f（X）h（X））=g2（x）f2（x）h（x）dx-θ2]，當(dāng)選擇[h（x）=f（x）g（x）θ]時，[Var（θ）=0]

但由于[θ]未知，因此只能選擇[h（x）]與[f（x）g（x）]成比例就可能減少估計量的方差。在歐式期權(quán)定價中，一般[g（x）]為收益支付的折現(xiàn)值，[f（x）]為標(biāo)的資產(chǎn)風(fēng)險中性概率密度，因此重要性密度函數(shù)就選為它們的乘積。若標(biāo)的資產(chǎn)初始價格為[S0]，無風(fēng)險利率為r，則其到期的風(fēng)險中性價格為[S0erT]，為提高模擬的效率選擇[S0eμT=K]，[μ=1Tlog（K/S0）]，從而選擇重要性密度為

5.2重要性抽樣算法期權(quán)定價模擬R實(shí)現(xiàn)程序及結(jié)果

按照重要性抽樣的方法原理編寫其期權(quán)模擬定價R函數(shù)CSI如下，股票初始價格、期權(quán)執(zhí)行價格、期權(quán)存續(xù)期、無風(fēng)險利率、標(biāo)的資產(chǎn)年波動率、隨機(jī)模擬次數(shù)、模擬函數(shù)運(yùn)行總次數(shù)等各項(xiàng)數(shù)據(jù)的設(shè)置與分層抽樣、對偶變量法、控制變量法模擬中的相等，計算出期權(quán)定價的相對誤差與模擬精度與一般模擬法、對偶變量法、控制變量法、分層抽樣法在不同執(zhí)行價格下的結(jié)果對比見表1。

6 結(jié)束語

本文給出了蒙特卡洛模擬中常用來提高模擬精度的對偶變量法、控制變量法、分層抽樣法以及重要性抽樣法的原理，并將其應(yīng)用于期權(quán)定價的模擬計算中，基于R軟件平臺，給出這四種精度提高技術(shù)的詳細(xì)運(yùn)行程序，使用相對誤差與精度兩項(xiàng)指標(biāo)，對比了四種精度改進(jìn)技術(shù)下的定價結(jié)果。從計算結(jié)果來看，使用這些技術(shù)都能較好提高期權(quán)模擬定價的精度，其中分層抽樣在精度提高上效果最好，對各種執(zhí)行價格下精度值都達(dá)到一般模擬法相應(yīng)值的5倍之多，其次是對偶變量法，其在模擬定價精度上提高也是非常的明顯，重要性抽樣技術(shù)方法比較 （下轉(zhuǎn)第249頁）

（上接第246頁）

復(fù)雜，特別是其重要性密度函數(shù)選擇靈活性大，從其方法原理上看應(yīng)該比較適合于與稀有事件發(fā)生相關(guān)的金融產(chǎn)品模擬定價。將幾種提高精度技術(shù)相互融合使用以及利用擬蒙特卡洛技術(shù)于更加復(fù)雜的金融產(chǎn)品的模擬定價中的編程與實(shí)現(xiàn)、分析它們的在不同情景下的精度提高效果分析等問題有待進(jìn)一步研究。

參考文獻(xiàn)：

[1] Black F ， Scholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities [J].Journal of Political Economics， 1973（81）：637-659.

[2] Cox J， Ross S， Rubinstein M. Option Pricing： A Simplified Approach [J]. Journal of Financial Economics， 1979（7）：229-264.

[3] Boyle P. Option， A Monte Carlo approach[J].Journal of Financial Economic，1977（4）：323-338.

[4] Longstaff F A， Schwartz E S. Valuing American Options by Simulation： A Simple Least-Squares Approach [J]. The Review of Financial Studies， 2001，14（1）：229-264.

[5] 熊炳忠，馬柏林. 基于貝葉斯MCMC算法的美式期權(quán)定價[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2013，30（2）：55-62.

[6] Jaeckel P. Monte Carlo Methods in financial [M]. New York： Wiley，2003：78-183.

[7] Glasserman， P. Monte Carlo method in financial engineering[M].New York ： Springer，2004：289-365.

[8] 陳輝.期權(quán)定價的蒙特卡洛模擬方差縮減技術(shù)研究[J].統(tǒng)計與信息論壇，2008，23（7）：86-96.