應(yīng)用K—means聚類算法劃分曲面及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

吳明陽+張芮+岳彩旭+劉獻(xiàn)禮+丁云鵬+朱磊

摘要：針對大型覆蓋件模具整體加工質(zhì)量難以保證問題，采用曲面分片劃分的方法，將所選曲面按照一定精度進(jìn)行離散，通過求取離散點(diǎn)的幾何參數(shù)和加工參數(shù)，將曲面進(jìn)行粗略劃分；采用K-means聚類算法進(jìn)一步確定劃分區(qū)域的曲面片數(shù)量和聚類中心數(shù)，利用Voronoi圖算法提取曲面的邊界；針對鋁合金材料劃分后的曲面的不同區(qū)域采用不同的加工方式進(jìn)行加工，通過傳統(tǒng)方法與曲面分片方法進(jìn)行加工對比試驗(yàn)，驗(yàn)證提出方法的正確性及可行性。

關(guān)鍵詞：曲面劃分；K-means算法；Voronoi圖；鋁合金

中圖分類號：TG506 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1007-2683（2017）01-0054-06

0 引言

現(xiàn)代產(chǎn)品復(fù)雜度越來越高，其表面各處曲率變化相對較大，零件整體由很多曲率相同或相似的區(qū)域組成，如果采用傳統(tǒng)的單一加工方式進(jìn)行加工難免會導(dǎo)致加工效率低、整體加工質(zhì)量下降等問題，因此，將自由曲面按照曲率相似進(jìn)行分片，對不同曲面片采取不同的加工方式進(jìn)行加工是很必要的。

由于自由曲面的輪廓型面曲率實(shí)時變化，一般情況下，三軸數(shù)控機(jī)床對其加工的加工效率和加工精度均很低。華中科技大學(xué)的陳濤和彭芳瑜深入研究了三軸數(shù)控加工自由曲面的軌跡的生成算法及其軌跡優(yōu)化，以此來提高自由曲面的加工效率；為了彌補(bǔ)三軸數(shù)控機(jī)床加工自由曲面加工條件的限制，Bedi et al.提出在五軸數(shù)控加工中的加工路徑規(guī)劃，該方法中加工刀具的方向取決于自由曲面曲率變化決定的運(yùn)算法則；基于五軸機(jī)床成本高、結(jié)構(gòu)剛性小且易產(chǎn)生顫振、刀路軌跡規(guī)劃復(fù)雜的問題，ZezhongC.Chen L提出了一種曲面自動分片和軌跡生成方法。該方法按照復(fù)雜自由曲面幾何特征差異將其分成若干子曲面，然后，根據(jù)每個子曲面的加工特性自動為每個子曲面設(shè)定五軸聯(lián)動數(shù)控加工刀具路徑；Sonthi等提出了一種特征識別方法，該方法是基于曲率區(qū)域，采用將零件的輪廓模型用曲率區(qū)域圖表達(dá)的方式，通過分析曲面上每一個點(diǎn)曲率的變化，將整體曲面分成凸區(qū)域、凹區(qū)域、過渡區(qū)域以及平緩區(qū)域，最后再對不同的劃分區(qū)域進(jìn)行有針對性的軌跡規(guī)劃；美國學(xué)者Lee、Ma和Je-gadesh提出了一種能確定發(fā)生過切的關(guān)鍵區(qū)域的滾球算法和邊界匹配算法曲面分析方法；印度學(xué)者Bezbarush提出了一種自由曲面加工方法，該方法是將所選曲面用凸曲率和平滑度最大的多個曲面組成；趙麗等提出一種曲面歸分方法，該方法將模糊c均值聚類法與減法聚類法相結(jié)合，將整體曲面劃分為確定數(shù)量的曲面片，并計算每個曲面片中心的位置和曲面邊界；鄭慧江等提出了一種的曲面劃分新方法，該方法面向STL模型，通過遍歷無向圖算法進(jìn)行曲面分片，同時建立拓展拓?fù)潢P(guān)系；朱燏等提出一種二叉空間劃分復(fù)雜曲面的算法，該算法基于聚類算法和法矢方向錐；林潔瓊根據(jù)結(jié)合計算機(jī)圖形學(xué)知識和NURBS曲面結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，提出一種曲面分片規(guī)劃算法，該算法將曲率與模糊中值算法相結(jié)合，將模具型面的幾何信息和加工工藝信息相同或相似的曲面歸為一類，這樣整體曲面就被分為多個曲面片，并對該方法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，證明該方法可以解決模具自由曲面研拋效率低下的問題；王宏遠(yuǎn)等首次解析曲面銑削加工過程中的分片規(guī)劃方法，根據(jù)計算機(jī)圖形和曲面信息構(gòu)造特點(diǎn)，提出基于曲率的和模糊中值法相結(jié)合的自由曲面邊界提取及分片規(guī)劃的通用算法；馮志新等提出一種基于k_均值聚類的模具型腔曲面分片方法。

根據(jù)加工允許誤差的要求，以自由曲面的幾何模型為基礎(chǔ)，通過對自由曲面做一些變換處理或者映射處理，便可生成加工模型。自由曲面加工模型最初是通過離散曲面建立的，Duncan等通過離散自由曲面的方法建立曲面模型。無干涉刀路軌跡通過對離散模型進(jìn)行等距偏置獲得，但是，偏置會導(dǎo)致相鄰面片之間產(chǎn)生間隙、相交甚至重疊等問題。Jerard等采用曲面建模技術(shù)對數(shù)控加工過程進(jìn)行仿真，通過Z-Buffer法將離散網(wǎng)格點(diǎn)的z坐標(biāo)值與刀具模型的Z坐標(biāo)值進(jìn)行比較。Choi提出了一種將刀具在構(gòu)型空間內(nèi)映射為一點(diǎn)的幾何加工模型。閆光榮提出了一種新的考慮零件加工過程中的實(shí)際狀況的基于留量的幾何模型的數(shù)控加工智能仿真和驗(yàn)證模型。

本文在K-means聚類算法的基礎(chǔ)上，結(jié)合Voronoi圖算法對復(fù)雜曲面進(jìn)行分片規(guī)劃，針對劃分后的曲面曲率的差異采取不同的加工方式進(jìn)行加工。K-means聚類算法在matlab中可以直接調(diào)用，方法簡單容易實(shí)現(xiàn)、運(yùn)行速度快。

1 復(fù)雜曲面的特征劃分

1.1 曲面特征描述

能夠用來描述自由曲面的方法多種多樣，包括Coons、Bezier、均勻B樣條和非均勻有理B樣條（NUBRS）幾種曲面造型技術(shù)。因?yàn)镹UBRS曲面造型技術(shù)不僅保留其他幾種曲面造型技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)，而且還彌補(bǔ)了其他技術(shù)的不足，因此，本文選用NUBRS曲面造型技術(shù)來完成所選取面的造型。

NUBRS曲面造型技術(shù)的描述形式主要分為有理式描述和齊次坐標(biāo)表示，但是，無論自由曲面采用什么表達(dá)方式，對曲面的幾何形狀特征的曲率計算及曲面特征劃分的結(jié)果是相同的。本文選擇有理式描述的曲面進(jìn)行特征劃分。

在實(shí)際加工中，一個完整的復(fù)雜曲面是由許多的復(fù)合曲面組合而成，每個曲面的NURBS描述形式如下：式中：P（u，v）為復(fù)雜曲面S的參數(shù)方程；P_i（u，v）為第；個曲面片的參數(shù)方程；Q_i為4×4的方陣，表示第i個曲面片的矢量方陣；u，v為參數(shù)曲面方程的兩個參數(shù)，且滿足0≤u，v≤1；k為曲面片的個數(shù)。

需要進(jìn)行曲面劃分的曲面要滿足一定的復(fù)雜度，即包含凸曲面、凹曲面以及馬鞍面等，這樣曲面劃分才有意義，因此，本文所選用的曲面如圖1所示。

1.2 復(fù)雜曲面離散

在實(shí)際應(yīng)用中，復(fù)雜曲面一般是用參數(shù)形式表達(dá)的。但是若直接用參數(shù)曲面來規(guī)劃刀具軌跡，在進(jìn)行數(shù)值迭代過程中往往會導(dǎo)致不穩(wěn)定。因此，復(fù)雜曲面常常按照精度要求離散成網(wǎng)格形式，再對其進(jìn)行運(yùn)算，曲面信息由離散的點(diǎn)云信息來代替。

2 復(fù)雜曲面分片的具體過程

曲面的內(nèi)在性質(zhì)主要包括法失、切平面和曲率。內(nèi)在性質(zhì)是局部性質(zhì)，它們在曲線或曲面上是逐點(diǎn)變化的。它們都是幾何造型中最有用的內(nèi)在因素，本文所考慮的曲面內(nèi)在性質(zhì)包括在一點(diǎn)處的法矢、曲率當(dāng)中的主曲率、平均曲率和高斯曲率。曲面的分片主要分為曲面的粗分和曲面的細(xì)分。

2.1 復(fù)雜曲面粗分

曲面粗分的過程：通過空間離散復(fù)雜曲面記錄型值點(diǎn)，然后計算離散型值點(diǎn)處平均曲率、高斯曲率、主曲率和曲面法矢。通過判斷高斯曲率和平均曲率正負(fù)將曲面整體劃分為凹面、凸面和馬鞍面，其中馬鞍面又分為鞍脊、鞍谷和極小面，表1為高斯曲率和平均曲率符號決定的曲面形狀。

主曲率對曲面形狀的影響：

對于曲面上的每一點(diǎn)，總是存在一個最大法曲率和一個最小法曲率。設(shè)k₁為最大主曲率，k₂為最小主曲率，根據(jù)主曲率可計算出高斯曲率和平均曲率：

高斯曲率為：K=k₁k₂

平均曲率為：H=（k₁+k₂）/2

從上面兩式可以看出，k₁、k₂是下面二次方程的兩個根：

K²-2HK+K=0

因此，k₁、k₂可以由每一個點(diǎn)處的高斯曲率K和平均曲率日計算得到，在一個曲面上，K=H²的點(diǎn)叫臍點(diǎn)，表示兩個主曲率相等，同時也代表每個方向都可以是主方向，即臍點(diǎn)的法曲率是常數(shù)，這就要求臍點(diǎn)附近的曲面必須是球面或平面。

曲面主曲率是一對非常有效的曲率描述符，分析兩個主曲率與分析高斯曲率、平均曲率具有相同的效果，但是兩個主曲率和高斯曲率、平均曲率在應(yīng)用時卻各有裨益。

1）曲面的兩個主曲率與方向有關(guān)，而曲面的平均曲率和高斯曲率卻與方向無關(guān)。

2）曲面兩個主曲率的符號可以決定6種曲面形狀，分別為峰面、脊面、鞍面、平面、谷面、和凹面。曲面的平均曲率和高斯曲率符號可以確定8種曲面形狀，分別為峰面、脊面、鞍脊、平面、極小面、凹面、谷面和鞍谷。其中鞍脊、鞍谷、極小面均屬于鞍面范疇。

3）兩個主曲率的計算要比平均曲率和高斯曲率的計算復(fù)雜。

4）曲面的高斯曲率是曲面的內(nèi)在特性，它具有等距不變性。兩個主曲率和平均曲率是曲面的外在特性。

通過以上分析，本文采用高斯曲率和平均曲率來判定曲面的形狀。圖2為曲面粗分的MATTJAB仿真圖。

2.2 復(fù)雜曲面細(xì)分

曲面細(xì)分過程：在將曲面進(jìn)行初步劃分后，利用K-means算法進(jìn)一步得到足夠數(shù)量的曲面片、每個曲面片的聚類中心，將曲率相似又相近的點(diǎn)歸為一類，形成劃分區(qū)域。

K-means算法是將n個待計算點(diǎn)分類到預(yù)設(shè)的k個聚類中，使得每個待計算點(diǎn)距離其相應(yīng)的聚類中心點(diǎn)的距離最小。反復(fù)進(jìn)行以上計算，并將計算所得的數(shù)據(jù)分成不同的種類使得聚類效果最好，進(jìn)而使得每個劃分的類別緊湊、獨(dú)立。

假定選定樣本為{x^（1），…，x^（2）}，每個x^（i）∈R^N。隨機(jī)選取五個聚類中心點(diǎn)為μ₁，μ₂，…μ_k∈Rⁿ。對于每一個樣例i，計算其應(yīng)該屬于的類

對于每一個類.j，重新計算該類的聚類中心

k是計算之前預(yù)設(shè)的聚類數(shù)目，c（i）表示第i個樣本與預(yù)設(shè)k個類距離最近的類，其值為l到k中的任意一個值。質(zhì)心μj代表樣本中心點(diǎn)屬于同一類的概率。

K-means聚類算法迭代的具體過程如下：

1）從所有的點(diǎn)中抽取k個作為初始聚類中心點(diǎn)，對其余的點(diǎn)進(jìn)行遍歷計算，尋找與其距離最近的聚類中心點(diǎn)，并將其加入到初始類中。

2）將新加入的聚類中心點(diǎn)作為新的聚類進(jìn)行重新計算，找到與其距離最近的中心點(diǎn)，加入到該聚類中。

3）反復(fù)進(jìn)行2），直到連續(xù)的兩次迭代中出現(xiàn)相同的聚類中心點(diǎn)為止。

下圖3展示了對n個樣本點(diǎn)進(jìn)行K-means聚類的效果，這里k取2。

2.3 曲面邊界提取

采用K-means聚類算法劃分成不同區(qū)域的曲面邊界并沒有確切的定義。為了獲得確切的邊界，在此引入Voronoi圖。Voronoi圖又叫泰森多邊形或Dirichlet圖，其概念是由Dirichlet于1850年首先提出。Voronoi圖是一系列相鄰兩點(diǎn)垂直平分線連接而成的多邊形。N個在平面上有區(qū)別的點(diǎn)，按照最鄰近原則劃分平面；每個點(diǎn)與它的最近鄰區(qū)域相關(guān)聯(lián)。生成Voronoi圖的方法有矢量方法和柵格方法。下圖4為選用矢量方法生成的曲面邊界。

Voronoi圖多邊形圖由點(diǎn)集生成為擴(kuò)展為由點(diǎn)、線、面集生成后，Voronoi圖就具有了以下特性：

1）每個Voronoi圖多邊形內(nèi)有一個生成元；

2）每個Voronoi圖多邊形內(nèi)點(diǎn)到該生成元距離短于到其他生成元距離；

3）多邊形邊界上的點(diǎn)到生成此邊界的生成元距離相等；

4）鄰接圖形的Voronoi多邊形界線以原鄰接界線作為子集。

3 曲面劃分實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證采用K-means方法劃分曲面在加工過程中的有效性，將整體采用等參數(shù)線法加工與本文提出的方法進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)。其中本文劃分的區(qū)域中曲率變化明顯的區(qū)域采用等殘留高度法進(jìn)行加工，曲率變化不明顯的區(qū)域采用等參數(shù)線法進(jìn)行加工。

3.1 實(shí)驗(yàn)條件

實(shí)驗(yàn)設(shè)備：VDL-1000E三軸數(shù)控銑床、粗加工和半精加工采用‘P30的環(huán)形刀，精加工采用（P8的球頭刀、工件材料為2A12鋁合金、工件的加工尺寸為：40mm×40mm。各階段加工參數(shù)如表2所示。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下表3所示。

由表3可以看出，在加工參數(shù)相同，并滿足一定精度要求的情況下，采用本文提出的方法加工的零件路徑長度更短，加工時間也相應(yīng)的縮短了39%。加工零件表面質(zhì)量對比如圖6所示，其中，圖6（a）為傳統(tǒng)方法加工，圖6（b）為本文提出方法的加工。從圖6可以看出，本文所提出的方法由于是分區(qū)域加工，每個區(qū)域的曲率相近，并且不同的區(qū)域根據(jù)其曲率的差異選用不同的加工方式，所以曲率跳動過大引起的振動比傳統(tǒng)方法的小，因此，加工后的零件表面震紋更小，殘留高度也比較均勻，加工零件的表面光順性更好。

實(shí)驗(yàn)過程中所選用的刀具及樣件以及加工方式均是通用的，因此，優(yōu)化方法可以在實(shí)際生產(chǎn)加工中推廣使用。

4 結(jié)論

為了解決復(fù)雜曲面單一加工加工質(zhì)量差和效率低的問題，將K-means聚類算法與Voronoi圖算法相結(jié)合，對復(fù)雜曲面進(jìn)行劃分，針對劃分的曲面選擇適當(dāng)?shù)募庸し绞竭M(jìn)行加工。

1）通過對曲面內(nèi)在性質(zhì)的分析，掌握曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率對曲面凸凹性的影響，并通過計算離散曲面各點(diǎn)的主曲率、高斯曲率和平均曲率初步確定劃分區(qū)域，結(jié)合K-means聚類算法和Voronoi圖算法完成曲面最終劃分；

2）通過一組相同型面、相同參數(shù)、不同加工方式的對比試驗(yàn)，對傳統(tǒng)加工方式和劃分后曲面分片加工后零件的表面進(jìn)行分析，證明本文提出方法是正確及可行的，并且本文提出的方法縮短了加工路徑，縮短了39%的加工時問，提高加工效率，減小零件表面震紋，改善了加工質(zhì)量。

（編輯：王萍）