半球諧振陀螺的拉格朗日力學(xué)建模方法

金鑫　滿春濤

摘要：陀螺儀是慣性技術(shù)的核心元件，半球諧振陀螺已成為空間應(yīng)用的首選之一。對半球諧振子進(jìn)行詳細(xì)的動力學(xué)模型建立是研究其原理的基礎(chǔ)。將半球諧振子視為半球彈性薄殼，求取其彈性伸長量及角變從而求得彈性薄殼的彈性勢能，進(jìn)而采用基于虛功原理和變分法的拉格朗日力學(xué)方法，求取彈性薄殼的動能，代入拉格朗日算子建立拉格朗日方程，得到系統(tǒng)整體的動力學(xué)模型。建模過程中通過廣義坐標(biāo)的選取，使最終模型等效為質(zhì)量塊在二維空間的簡諧振動的等效模型，從而簡化對半球諧振陀螺的分析。

關(guān)鍵詞：半球諧振陀螺；動力學(xué)建模；彈性薄殼；拉格朗日力學(xué)

中圖分類號：V249.32 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1007-2683（2017）01-0041-07

0 引言

作為慣性技術(shù)核心的慣性敏感元件，陀螺儀已經(jīng)被應(yīng)用于國防和民用的多個領(lǐng)域，包括導(dǎo)彈、飛機、潛艇制導(dǎo)，衛(wèi)星姿態(tài)控制，石油、礦藏開采，海底電纜鋪設(shè)等眾多方面。半球諧振陀螺是固態(tài)振動陀螺中最典型的一種，因其諧振子為半球形而得名。半球諧振陀螺因其具有易小型化和抗沖擊能力強的特點而成為空間應(yīng)用的首選慣性器件之一，而陀螺儀的精度是決定系統(tǒng)性能的主要因素，因此需要對陀螺儀進(jìn)行詳細(xì)的建模和性能分析。本文主要研究半球諧振陀螺振動模態(tài)的動力學(xué)模型建立方法，為研究半球諧振子中受哥式力影響產(chǎn)生進(jìn)動的原理打下良好的基礎(chǔ)。

從半球諧振陀螺問世至今，國內(nèi)外學(xué)者對半球諧振陀螺建模進(jìn)行了積極的研究，并發(fā)表了與之相關(guān)的大量文章。學(xué)者M(jìn)ichael Y.Shatalov研究了中空的各向同性球體在充滿非粘滯性介質(zhì)時的陀螺效應(yīng)，為求取系統(tǒng)的進(jìn)動因子，首先假設(shè)外界轉(zhuǎn)動頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)最低的諧振頻率從而將慣性力忽略，然后采用復(fù)函數(shù)的方法得到進(jìn)動因子。學(xué)者M(jìn)ichael Y.Shatalov又研究了質(zhì)量不平衡球體慢速旋轉(zhuǎn)時駐波的進(jìn)動角速率的影響因素，發(fā)現(xiàn)進(jìn)動角速率不受阻尼的影響但受正交振型和外界輸入大小的影響，正交項的存在會出現(xiàn)駐波的捕獲效應(yīng)，使得進(jìn)動成周期性的變化而不是與外界輸入成比例。學(xué)者C.O.Chang對半球體波的進(jìn)動情況采用攝動法進(jìn)行建模，分析駐波諧振頻率及進(jìn)動因子的影響因素，發(fā)現(xiàn)駐波的諧振頻率受離心力影響，而進(jìn)動因子則不受影響。學(xué)者樊尚春采用Lord Rayleigh中面不擴張理論，研究了等厚度和變厚度的軸對稱殼體中駐波的進(jìn)動情況，給出了振動模態(tài)的進(jìn)動因子與諧振頻率的具體解析表達(dá)式。學(xué)者Jiayi Qi等研究了半球諧振陀螺的進(jìn)動因子和諧振頻率并根據(jù)薄殼理論給出了表達(dá)式。這些研究成果的理論分析非常全面，對半球諧振陀螺的研究有很大的促進(jìn)作用，不足之處主要是因建模采取古典力學(xué)理論而表達(dá)式都非常的復(fù)雜，沒有清晰的動力學(xué)模型建模方法。

本文在借鑒這些理論研究的成果上，依據(jù)薄殼振動理論，得出半球諧振陀螺的基本運動方程；基于虛功原理與變分法采用拉格朗日方程對半球諧振陀螺的諧振子進(jìn)動情況進(jìn)行了詳細(xì)地建模研究，得出了將半球諧振子復(fù)雜進(jìn)動模型等效為廣義空間上一個質(zhì)點二維簡諧振動的模型，使半球諧振陀螺的模型得到了簡化。

1 系統(tǒng)建模

1.1 半球諧振子建模假設(shè)

半球諧振陀螺的機理主要是利用諧振子的布萊恩效應(yīng)，即當(dāng)一個振蕩的軸對稱殼體繞其對稱中心軸旋轉(zhuǎn)時，環(huán)向振型不再相對殼體靜止，而是相對殼體成比例地進(jìn)動。半球諧振陀螺結(jié)構(gòu)如圖1所示。

為了得出理想狀態(tài)下諧振子的進(jìn)動因子，并建立理想條件下的諧振子進(jìn)動模型，首先假設(shè)外界轉(zhuǎn)動頻率遠(yuǎn)小于諧振子的固有振動頻率，諧振子的轉(zhuǎn)動離心力可以忽略，離心力不影響諧振子的進(jìn)動因子。并且假設(shè)石英的阻尼系數(shù)不加以考慮，因為阻尼系數(shù)亦不會影響諧振子的進(jìn)動因子。諧振子的不完美，如質(zhì)量不平衡，非等彈性等因素也先不加以考慮，其目的是為了首先得出理想條件下半球諧振陀螺的動力學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上再分析各誤差項對半球諧振陀螺的影響。

對諧振子動力學(xué)的分析主要是建立在薄殼理論的基礎(chǔ)之上，由LOVE提出的薄殼理論最著名的幾點假設(shè)分別為：

1）殼體的厚度遠(yuǎn)小于殼體的其他尺寸，比如中面半徑；

2）變形與位移足夠的小以至于變形量與位移量的二階和高階量相對于一階；

3）平行于中面的法向應(yīng)力與其它應(yīng)力相比，可以忽略不計，此假設(shè)可以稱之為殼層無擠壓假設(shè)；

4）變形前垂直于中面的直線在變形后仍然是直的，且與變形后的中面垂直，長度保持不變。

半球諧振陀螺工作時半球諧振子處于微幅振動狀態(tài)，其振動位移條件滿足以上4點假設(shè)，因此本文基于以上假設(shè)建立半球諧振陀螺的動力學(xué)模型。

1.2 半球諧振子球殼的基本方程

半球諧振子殼體中面如圖2所示，在半球殼體中，中曲面的兩個主曲率半徑都為r，曲率坐標(biāo)系選取為緯度角φ和經(jīng)度角θ作為參數(shù)。

基于薄殼理論，半球諧振子中面上的任何點可以用如下坐標(biāo)表示：

r=r（φ，θ） （1）其中r是參數(shù)φ，θ的單值連續(xù)函數(shù)。依次給定θ一系列定值，同時連續(xù)改變φ，可以在曲面上得到一簇曲線；同樣依次給定φ一系列的定值同時變化φ就得到另外一簇曲線，則φ，θ為曲面的曲率坐標(biāo)系。r對φ，θ的導(dǎo)數(shù)為r_φ和r_θ，在曲面的每一點上分別與φ，θ線相切。r_φ和r_θ的長度A，B稱為曲面的拉梅系數(shù)，一般為φ，θ的函數(shù)，它們表示曲面的幾何性質(zhì)，球面坐標(biāo)系下殼體的拉梅系數(shù)分別為

（2）

考慮球殼的變形，如圖3所示。

向量ds表示曲面上點P形變前與相變后之間的弧長增量：

（3）

由于曲率坐標(biāo)系φ，θ為正交系，此線段的長度為

（4）

可得到沿φ坐標(biāo)線和θ坐標(biāo)線的弧長增量分別為

（5）

分別為與參變量dφ，dθ相對應(yīng)的弧長增量。設(shè)半球殼中面在φ線，θ線和中面法線Z方向的位移分量分別為u，v，w，變形前殼中面的坐標(biāo)向量為r，變形后的坐標(biāo)向量為r'，如圖3所示，則r'可以表示為

（6）

由向量ds及其沿φ、θ切向弧長的表達(dá)式可以求得φ、θ切向及Z方向的3個單位向量e₁，e₂和e_n分別如下：

（7）

e₁，e₂和e_n為服從右手螺旋法則的正交坐標(biāo)系，且e_n指向曲面突起的一側(cè)。由此可得r'的微商向量為

（8）

其中，

（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

（14）

（15）

（16）

（17）

（18）

（19）

（20）

（21）

（22）

（23）

（24）

（25）

（26）

（27）

（28）

以上幾個方程確定了半球諧振陀螺的殼層上任意點在φ線及θ線方向上的伸長率及其角變。在實際計算中，可以將上述幾個式子的分母用泰勒級數(shù)展開，略去z的二階以上小量，得到化簡的式子為

（29）

（30）

（31）

式（30）、（31）即為半球諧振子殼層上任意點在φ線及θ線方向上的伸長率及其角變，代表了半球諧振子的基本運動，是后續(xù)求取彈性薄殼彈性勢能所必須的基本量，以上的推導(dǎo)過程是后續(xù)求取殼體系統(tǒng)動力學(xué)模型的基礎(chǔ)。

1.3 拉格朗日方程法建立殼體動力學(xué)模型

設(shè)諧振子中面面半徑為r，厚度為h，密度為p，θ，φ分別為經(jīng)度角與緯度角，笛卡爾坐標(biāo)系原點與球心重合，如圖1所示，則中面上一點可以表示為

（32）

3個標(biāo)量方程在曲率坐標(biāo)系下等價于向量方程式（1）。半球殼中面上任一點變形時的位移矢量可以表示為

△=ui+vj+uk （33）

中面上的點變形后的坐標(biāo)向量為

r'=ui+vj+（r+w）k （34）

諧振子沿Z軸的轉(zhuǎn)動速率為Ω，其大小遠(yuǎn)小于陀螺的固有諧振頻率。則對于質(zhì)點p將Ω投影到i，j，k局部坐標(biāo)系中為：

（35）

（36）

（37）

（38）

（39）

（40）

依據(jù)推導(dǎo)的半球諧振子基本方程，將半球殼曲面的線微原伸長率和曲率變化代入薄殼彈性勢能，沿殼層厚度積分，略去高階小量并進(jìn)行化簡，可得到殼體的彈性勢能為

（41）

（42）

（43）

（44）

（45）

（46）

（47）

（48）

（49）

（50）

（51）

（52）

此式是半球諧振陀螺的二階模態(tài)振動方程，模態(tài)的幅值滿足一個二階線性并與外界輸入角速率有耦合項的微分方程。此方程表示的等價系統(tǒng)為一個質(zhì)量塊在二維空間的簡諧振動方程，如圖4所示。

（C，S）可以定義為半球諧振子的廣義坐標(biāo)，（C，S）表示二維空間中質(zhì)量塊的廣義位移。質(zhì)量塊m在二維空間中以一橢圓軌跡運動，其周期為T=2π/ω。在垂直于（C，S）平面的外界角速度Ω的激勵下，橢圓的長軸方位角以速率kΩ/2相對慣性空間產(chǎn)牛進(jìn)動。

3 結(jié)論

本文基于彈性薄殼理論及拉格朗日方程方法，建立了半球諧振陀螺諧振子在振動模態(tài)的動力學(xué)方程，該方法以古典的彈性薄殼理論為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出半球形薄殼的基本伸長率和角變，并結(jié)合拉格朗日力學(xué)，通過計算殼體的動能與勢能建立拉格朗日方程，得到諧振子整體的動力學(xué)方程，并且通過選取廣義坐標(biāo)，使系統(tǒng)模型等效為質(zhì)量塊在二維空間簡諧振動的模型，解決了以往的模型過于復(fù)雜且物理意義不明顯的問題。

（編輯：溫澤宇）