基于分形理論的頁巖氣分支水平井產(chǎn)能數(shù)學(xué)模型

李忠厚吳小斌Zhongwei DU任茜瑩

1.延安大學(xué)石油工程與環(huán)境工程學(xué)院；2. Faculty of Engineering and Applied Science, University of Regina；3.中國石油大學(xué)（北京）石油工程學(xué)院

基于分形理論的頁巖氣分支水平井產(chǎn)能數(shù)學(xué)模型

李忠厚1吳小斌1Zhongwei DU2任茜瑩3

1.延安大學(xué)石油工程與環(huán)境工程學(xué)院；2. Faculty of Engineering and Applied Science, University of Regina；3.中國石油大學(xué)（北京）石油工程學(xué)院

利用分形幾何法，研究了頁巖儲集層內(nèi)水平井分支數(shù)目和長度的分形維度，以及水平井各分支井段壓降擾動的傳播規(guī)律，得到壓降漏斗邊界隨時間變化的關(guān)系，考慮了頁巖儲集層解吸吸附、擴(kuò)散系數(shù)和啟動壓力梯度的影響，建立了頁巖氣分支水平井產(chǎn)能數(shù)學(xué)模型。采用拉普拉斯變換法，求解了水平井外邊界定壓條件下的不穩(wěn)定滲流的產(chǎn)能方程。結(jié)合四川某海相頁巖氣藏儲集層參數(shù)，計(jì)算分析了頁巖氣分支水平井產(chǎn)能特征及影響因素。研究表明：在頁巖氣生產(chǎn)過程中，同一分形維度下，水平井分支數(shù)目越大，氣井的產(chǎn)量增大越快；分支井的井段長度越大，對主干井的流量影響越大。吸附頁巖氣的解吸使得壓降漏斗的邊界傳播速度減慢，地層壓力下降緩慢；產(chǎn)氣量越大，井底壓力隨時間下降越快，但是下降的趨勢隨時間逐漸減緩。

頁巖氣；分支水平井；分形維數(shù)；產(chǎn)能；數(shù)學(xué)模型

頁巖氣水平井流動特征是氣藏工程、產(chǎn)能分析、氣藏?cái)?shù)值模擬以及采氣工程研究的基礎(chǔ)。頁巖氣在納米～微米級頁巖孔隙及裂縫中流動時，主要為解吸吸附、擴(kuò)散、滑脫等，為低速強(qiáng)非線性滲流［1-5］。郭小哲［6］等在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上認(rèn)為，頁巖對內(nèi)壓具有很強(qiáng)的敏感效應(yīng)；朱維耀等［7-9］認(rèn)為，頁巖氣儲集層滲流具有啟動壓力梯度；分支水平井在生產(chǎn)時，氣體在地層中呈三維流向主干井和分支井，其滲流規(guī)律就是一個頁巖氣平面徑向流的壓降漏斗動邊界問題；然后頁巖氣又沿著分支井與主干井匯合，最后沿著主干井流向垂直井的井底。分支水平井的產(chǎn)量方程的建立和求解較難，考慮壓降漏斗動邊界擾動問題則更難。中國頁巖氣整體處于工業(yè)起步階段，雖然目前國內(nèi)外通過壓裂手段對頁巖氣的開發(fā)已進(jìn)入快速發(fā)展階段，然而由于頁巖氣儲層的納米級孔隙復(fù)雜，對頁巖孔隙分形特征和水平井產(chǎn)能預(yù)測的研究，大多數(shù)研究成果給出的僅是頁巖氣壓裂改造的滲流規(guī)律及其影響因素，盡管也有部分文獻(xiàn)提出了具體的滲流方程，但考慮的因素尚少［10-15］，方程過于簡化，難于更好地反映分支水平井的產(chǎn)能變化規(guī)律。為此，有必要揭示其頁巖氣的非線性流動規(guī)律，研究頁巖氣分支水平井產(chǎn)能變化特征，以便選取合理有效的開發(fā)方式和增產(chǎn)手段，為頁巖氣的開發(fā)提供理論依據(jù)。

基于分形理論對頁巖儲集層內(nèi)水平井主干井和各分支井段長度和分支數(shù)目問題進(jìn)行研究，進(jìn)而建立考慮了頁巖儲集層解吸吸附、水平井分支數(shù)目和長度影響的頁巖氣分支水平井不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型，并推導(dǎo)和求解。結(jié)合中國四川某海相頁巖儲集層參數(shù)，分析頁巖氣分支水平井產(chǎn)能變化特征及其影響因素。

1 壓力傳播規(guī)律

Pressure propagation law

當(dāng)頁巖氣分支水平井投入開發(fā)，打開儲集層后，頁巖氣的流動不僅有各井段滲流過程，還存在頁巖氣擴(kuò)散、滑移、解吸流動，流動阻力比常規(guī)天然氣大。水平井主干井開采形成的壓力降將逐漸向外傳播，地層各點(diǎn)壓力分布是繞井軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成的曲面，如圖1所示，設(shè)某時刻t，壓力傳播到地層r處，在r范圍內(nèi)形成壓降漏斗；r即為頁巖氣滲流過程中的壓降漏斗邊界。r隨時間逐漸增大，壓降漏斗邊界上的壓力等于原始地層壓力。

圖1 頁巖氣分支水平井平面徑向流示意圖Fig. 1 Schematic areal radial flow of shale-gas multilateral horizontal well

1.1 吸附和擴(kuò)散系數(shù)對壓力傳播的影響

Effect of adsorption and diffusion coefficients on pressure propagation

頁巖氣藏是自生自儲式氣藏，是一種非均勻性的多孔儲集層，主要為納米～微米級孔隙，具有復(fù)雜的孔隙結(jié)構(gòu)。頁巖氣賦存方式主要是分散在孔隙和裂縫中的游離態(tài)和吸附在干酪根和黏土礦物顆粒上的吸附態(tài)兩大類［16］，以直井方式單純依靠天然的孔-縫滲流不可能形成較大規(guī)模的產(chǎn)量。為了提高單井產(chǎn)量并獲得較高的采收率，分支水平井技術(shù)在國內(nèi)外得到了廣泛的應(yīng)用。當(dāng)以分支水平井開始生產(chǎn)時，分支水平井的地層氣體流量的變化不僅有以往水平井的地層氣體流量的變化，還存在水平井各分支之間地層氣體流量的變化。因此，在不穩(wěn)定滲流過程中，分支水平井地層氣體流量的變化是一個擾動壓降漏斗邊界問題。

對于氣體流動已偏離達(dá)西定律的納米～微米孔隙頁巖儲集層，朱維耀等［16-20］建立了考慮擴(kuò)散、滑脫系數(shù)的具有復(fù)雜孔隙結(jié)構(gòu)的氣體流動方程

則任一瞬間，以水平井某分支為壓降漏斗的中心井軸時，附近地層壓力為

任一瞬間，以水平井主干井為壓降漏斗的中心井軸時，附近地層壓力為

如圖 2所示，在地層中距離水平井某一分支為r處取微小圓環(huán)體， 水平長度為l，厚度為 dr，此單元體中游離態(tài)氣體的原始儲量為2πrlφiρidr。某一任意時刻 t，該單元體中殘留氣體儲量為2πrlφρdr，因此，從單元體孔隙中采出的游離態(tài)氣體儲量為2πrl（φiρiφρ）dr。考慮吸附態(tài)氣體的解吸，采出的總氣體量為

圖2 頁巖氣水平井分支平面徑向流示意圖Fig. 2 Schematic areal radial flow of branch holes of shale-gas horizontal well

聯(lián)立式（3）、式（4）代入氣體狀態(tài)方程，進(jìn)一步求得

按氣體穩(wěn)定滲流公式，頁巖氣分支水平井流量可寫為

假設(shè)水平井采用定產(chǎn)量生產(chǎn)，即qsc1=const，聯(lián)立式（5）、式（6）可得

由此根據(jù)Qsc=qsc1t和式（7）得出頁巖儲集層任一時刻壓降漏斗邊界與水平井分支參數(shù)n變化的關(guān)系為

中國四川海相頁巖氣F氣藏孔隙度為3.0%～6.0%，絕對滲透率（0.3～7）×10-4mD，真實(shí)氣體壓縮因子0.87，氣體黏度 0.031 mPa·s，平均解吸量4.611 7× 10-10kg/（m3·s），儲層壓力為37.57 MPa，井筒半徑0.1 m，水平井段長度1 182 m，儲層深度2 785 m，氣藏厚度80.5 m，定產(chǎn)量18.2× 104m3/d。

利用四川F氣藏基本參數(shù)，根據(jù)式（8）繪制水平井不同分支數(shù)目條件下頁巖氣儲集層壓降漏斗邊界隨時間變化關(guān)系圖（圖3）。同一時刻，分支井分支數(shù)目越多，壓降漏斗動用的區(qū)域越大；在生產(chǎn)初期，各個壓降漏斗邊界單獨(dú)傳播，不產(chǎn)生擾動，在生產(chǎn)進(jìn)行到一定階段后，曲線上出現(xiàn)拐點(diǎn)，表明不同分支產(chǎn)生的壓降漏斗邊界產(chǎn)生相互干擾，拐點(diǎn)的參數(shù)表明產(chǎn)生干擾的次數(shù)和強(qiáng)度，因此頁巖氣儲集層中壓力傳播需要考慮水平井分支的影響。

圖3 不同分支數(shù)下壓降漏斗邊界與分支井半徑比值隨時間變化關(guān)系Fig. 3 Relationship of the ratio of pressure drop funeral boundary to branch hole radius vs. time for different branch hole amounts

1.2 啟動壓力梯度對壓力傳播的影響

Effect of startup pressure gradient on pressure propagation

在頁巖氣開采過程中，由于頁巖孔隙結(jié)構(gòu)對頁巖氣賦存和運(yùn)移的影響，宏觀上氣體流動出現(xiàn)類似低滲油藏壓力啟動梯度現(xiàn)象。因此，建立考慮啟動壓力梯度的穩(wěn)態(tài)徑向流氣體常微分方程

其中

求解得到考慮啟動壓力梯度的頁巖氣分支水平井滲流表達(dá)式

考慮解吸，地層中采出的總氣體量

將式（11）代入式（10），得到頁巖儲集層考慮啟動壓力梯度壓降邊界與時間的關(guān)系為

圖 4為不同啟動壓力梯度下壓降邊界隨時間變化關(guān)系，可以看出，在同一時刻，啟動壓力梯度越大，壓降漏斗傳播邊界越小。

圖4 不同啟動壓力梯度下壓降漏斗邊界與主干井半徑比值隨時間變化關(guān)系Fig. 4 Relationship of the ratio of pressure drop funeral boundary to main hole radius vs. time for different startup pressure gradients

2 產(chǎn)能模型及求解

Productivity model and its solution

分形理論由于其具有描述不規(guī)則物體的優(yōu)越性和精確性，是研究自然界中不規(guī)則性和不均勻性幾何形態(tài)的有力工具。頁巖氣水平井分支在地層是一種不規(guī)則分布，分支段可以認(rèn)為是水平井段的自相似性的分形，計(jì)算分支水平井的分形維數(shù)，就可以近似計(jì)算分支水平井的產(chǎn)能模型。

分支水平井的水平井段長度為L，分支數(shù)目為n，分支段長度為Lm；以分支井與主干井的交點(diǎn)為分割點(diǎn)，水平井段分為數(shù)目n+1與水平井相似的分形，分支井為n個與水平井相似的分形，則分支水平井的分形維數(shù)為

在考慮頁巖儲集層解吸吸附和水平井分支數(shù)目、長度的基礎(chǔ)上，利用分形理論的分支井長度的分形維數(shù)法，建立頁巖氣分支水平井不穩(wěn)定滲流模型，并進(jìn)行推導(dǎo)和求解。

基于頁巖氣滲流的連續(xù)性方程、運(yùn)動方程和狀態(tài)方程以及頁巖氣解吸吸附的Langmuir模型［17-18］，考慮不穩(wěn)定滲流過程中水平井分支和啟動壓力梯度對壓降漏斗傳播的影響，建立頁巖氣分支水平井不穩(wěn)定滲流控制方程

引入擬壓力函數(shù)和無因次量，并定義如下

則（14）式可轉(zhuǎn)換為

當(dāng)頁巖氣水平井以某一恒定產(chǎn)量生產(chǎn)時，外邊界定壓，則其定解條件為

對于分支數(shù)為n的頁巖氣水平井，運(yùn)用拉普拉斯變換法求解其在氣藏中的擬壓力函數(shù)可表示為

其中，βn為方程（20）的根。

將擬壓力函數(shù)代入式（19），求得分支井水平井的產(chǎn)量為

3 不穩(wěn)定滲流儲集層產(chǎn)能預(yù)測與分析

Prediction and analysis on the productivity of reservoirs with unsteady seepage

根據(jù)上文推導(dǎo)出的考慮水平井分支、啟動壓力梯度、解吸吸附的頁巖氣分支水平井產(chǎn)量變化規(guī)律，結(jié)合四川F氣藏基本參數(shù)，對頁巖氣分支水平井不穩(wěn)定滲流壓力分布及其影響因素進(jìn)行分析。

圖 5為不同分支長度對氣井生產(chǎn)的影響曲線，縱坐標(biāo)表示分形維度計(jì)算下的氣井產(chǎn)量QDn與單一水平井氣井產(chǎn)量Q之比。由圖可見，同一分形維度下，水平井分支數(shù)目越大，氣井的產(chǎn)量增大越快；分支井的井段長度越大，對主干井的流量影響越大。

圖5 不同分支長度對氣井生產(chǎn)的影響Fig. 5 Effect of branch hole length on gas well production

圖6 為吸附解吸氣體量對氣井生產(chǎn)的影響。由圖可見，考慮吸附頁巖氣解吸量時分支水平井日產(chǎn)量變化幅度不大，分支水平井的累計(jì)產(chǎn)量變化較大，具有明顯的產(chǎn)量提升；吸附頁巖氣的解吸使得頁巖氣的產(chǎn)量增加。

圖6 吸附解吸氣體量對氣井生產(chǎn)的影響Fig. 6 Effect of adsorption/desorption gas volume on gas well production

圖7 為基于分形模型的氣井模擬值與實(shí)際產(chǎn)量對比圖。圖中水平井的水平段長度1 182 m，分支段長度450 m，分支數(shù)目為1，帶入式（13）計(jì)算出分形維數(shù)Dn為1.14.根據(jù)同地層單一水平井的生產(chǎn)數(shù)據(jù)帶入分形維數(shù)產(chǎn)能模型計(jì)算出分支井的模擬數(shù)據(jù)，并與分支井的實(shí)際數(shù)據(jù)相比較。由圖可見，分支井的產(chǎn)量初期明顯高于單一水平井，模擬值與實(shí)際產(chǎn)量擬合較好；由于水平分支井與主干井之間的相互干擾，分支井產(chǎn)量遞減較快；隨著生產(chǎn)時間的增加，模擬值與實(shí)際產(chǎn)量變化逐漸平穩(wěn)，并且擬合較好。

圖7 基于分形模型的氣井模擬值與實(shí)際產(chǎn)量對比Fig. 7 Comparison between actual production and simulated value of gas wells based on fractal model

4 結(jié)論

Conclusions

（1）利用幾何分形法得出了分支水平井井段長度的有效分形維數(shù)表達(dá)式。同一分形維度下，水平井分支數(shù)目越大，氣井的產(chǎn)量增大越快；分支井的井段長度越大，對主干井的流量影響越大。

（2）考慮吸附頁巖氣解吸量時分支水平井日產(chǎn)量變化幅度不大，分支水平井的累計(jì)產(chǎn)量變化較大，具有明顯的產(chǎn)量提升

（3）基于分形理論的分支井模型模擬值與實(shí)際產(chǎn)量的擬合曲線，在生產(chǎn)初期和遞減期擬合較好，中間擬合度較差。

符號說明：

Symbol description:

a為修正系數(shù)；b為滑脫系數(shù)，m2/s；C為氣體的等溫壓縮系數(shù)，Pa-1；Dn為水平井段長度的分形維數(shù)；Ei為冪積分函數(shù)；F為擬壓力函數(shù)，Pa/s；J0為第一零階貝塞爾函數(shù)；J1為一階貝塞爾函數(shù)；K0為儲集層絕對滲透率，m2；kB為玻爾茲曼常數(shù)；L為氣層水平井長度，m；Lm為氣層水平分支長度，m；l為氣層水平長度，m；n為水平井分支數(shù)（m=0，1，2，3，…，n）；p為儲集層壓力，MPa；pa為某一已知壓力，MPa；pe為原始地層壓力，MPa；pL為Langmuir壓力，表示吸附量為最大吸附量一半時的壓力，Pa；psc為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下壓力，MPa；pwm為水平井分支井底壓力，MPa；Qsc為地層中采出的總氣體量，m3；qd為單位體積頁巖單位時間的解吸量，kg/（m3·s）； qsc1為標(biāo)準(zhǔn)條件下氣井流量，m3/s；qsc2為啟動壓力梯度影響下氣井流量，m3/s； R1（t）為水平井分支影響壓降漏斗邊界，m；R2（t）為啟動壓力梯度影響壓降漏斗邊界，m；r為壓降漏斗邊界距井筒距離，m；re為氣井供給半徑，m；rw為井筒半徑，m；rwm為分支井井筒半徑，m；rLm為水平井第m分支井徑向距離，m；T為地層溫度，K；Tsc為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下溫度，K；t為生產(chǎn)時間，d；VL為Langmuir體積，表示最大吸附量，m3；v為氣體滲流速度，m/s；Z為氣體壓縮因子，無因次；Zsc為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氣體壓縮因子，無因次；δ為氣體分子的碰撞直徑，m；θm為水平井第m分支與主干井夾角角度，rad；λ為啟動壓力梯度，Pa/m；μ為氣體黏度，Pa·s；ρ為氣體密度，kg/m3；ρi為地層原始?xì)怏w密度，kg/m3；ρgsc為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氣體密度，kg/ m3；φ為儲集層孔隙度，小數(shù)；φi為儲集層原始孔隙度；Ψ為非線性擬壓力函數(shù)，Pa/s；Ψw為井底非線性擬壓力函數(shù)，Pa/s。下標(biāo)D表示無因次。

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（修改稿收到日期 2016-12-16）

〔編輯 朱 偉〕

A mathematical model for productivity calculation of shale-gas multilateral horizontal wells based on fractal theory

LI Zhonghou1, WU Xiaobin1, Zhongwei DU2, REN Qianying3

1. School of Petroleum Engineering and Environmental Engineering, Yan’an University, Yan’an 716000, Shaanxi, China; 2. Faculty of Engineering and Applied Science, University of Regina, S4S 0A2; 3. College of Petroleum Engineering, China University of Petroleum (Beijing), Beijing 102249, China

In this paper, the fractal dimension of length and branch hole amount of horizontal wells in shale reservoirs and the propagation laws of pressure drop disturbance of each branch were investigated by means of fractal geometry. Accordingly, the relationship between the pressure drop funnel boundary and the time was figured out. Then, a mathematical model for calculating the productivity of shale-gas multilateral horizontal wells was developed by analyzing the effects of desorption, adsorption, diffusion coefficient and startup pressure gradient of shale reservoirs. The productivity equation of unsteady seepage while the pressure at the external boundary of horizontal well is constant was solved by means of Laplace transformation method. Finally, the productivity characteristics of shalegas multilateral horizontal wells and their influential factors were calculated and analyzed based on the reservoir parameters of a certain marine shale gas reservoir in Sichuan. It is indicated that in the same fractal dimension, the production rate of gas wells increases in the process of shale gas production as the number of branch holes of horizontal well increases. The longer the branch hole is, the more the flow rate of main hole is affected. Due to the desorption of adsorbed shale gas, the propagation velocity of pressure drop funeral bound-ary decreases and the decline of formation pressure also slows down. The higher the gas production rate is, the faster the bottom hole pressure drops over the time, but the decline tendency slows down gradually as the time goes.

shale gas; multilateral horizontal well; fractal dimension; productivity; mathematical model

李忠厚，吳小斌，Zhongwei DU，任茜瑩.基于分形理論的頁巖氣分支水平井產(chǎn)能數(shù)學(xué)模型［J］ .石油鉆采工藝，2017，39（1）：7-13.

TE328

A

1000 – 7393（ 2017 ） 01 – 0007 – 07

10.13639/j.odpt.2017.01.002

:LI Zhonghou, WU Xiaobin, Zhongwei DU, REN Qianying. A mathematical model for productivity calculation of shalegas multilateral horizontal wells based on fractal theory［J］. Oil Drilling & Production Technology, 2017, 39(1): 7-13.

國家科技重大專項(xiàng)“井震結(jié)合油藏精細(xì)結(jié)構(gòu)表征技術(shù)”（編號：2011ZX05010-001）；陜西省高水平大學(xué)建設(shè)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（編號：2013SXTS03）；延安大學(xué)專項(xiàng)科研基金項(xiàng)目（編號：YDK2012-1）。

李忠厚（1982-），2008年畢業(yè)于中國石油大學(xué)（華東）油氣田開發(fā)工程專業(yè)，現(xiàn)為延安大學(xué)講師，從事物理法采油，非常規(guī)油氣田開發(fā)方面的研究工作。通訊地址：（716000）中國陜西延安市圣地路580號延安大學(xué)石油工程與環(huán)境工程學(xué)院。電話：18329909987。E-mail：wo119944595er@163.com