例談求解概率問題的技巧

李引學

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2014）6-0253-02

概率知識與現(xiàn)實生活息息相關。而且概率問題與函數(shù)、不等式以及統(tǒng)計初步等其他數(shù)學知識交匯在一起，可以考察學生綜合運用概率的有關知識分析問題解決問題的能力，能體現(xiàn)數(shù)學高考在知識網(wǎng)絡的交匯點命題的特點。因此，概率問題越來越受到命題者的青睞。由于概率問題具有一定的難度，學生學習及運用中會產(chǎn)生許多困惑，為了讓學生能正確的理解并掌握，提高求解概率問題的技巧，本人結合具體實例談談幾點看法，僅供參考。

一、注重知識的前后聯(lián)系，處理好與排列組合的關系

求解概率問題時，往往要進行排列組合方面的思考，因此，具備嫻熟的解排列組合應用題的能力是處理好這種問題的必要條件。

例：甲，乙兩人參加普法知識競賽，共有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個，甲乙兩人依次各抽一題，問甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率是多少？

錯解 甲從選擇題中抽到一題的可能結果有個，乙從判斷題中抽到一題的可能結果有個，故甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的可能結果有+個，又甲，乙依次抽到一題的結果有+個，所以甲抽選擇題，乙抽到判斷題的概率為

錯因分析 把分步當作分類，錯把分步計數(shù)原理當作分類計數(shù)原理來計算。正確的解法是甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的可能結果有個，又甲，乙依次抽一題的可能結果有個，所以甲抽選擇題，乙抽到判斷題的概率為

二、正確轉譯和分解事件

許多學生在求解概率題時，不知道從何處下手，用什么樣的公式，怎樣來列算式。出現(xiàn)這種情況是因為這些學生沒有扎實掌握基本概念，不會把一個復雜事件分解為若干個互相排斥或相互獨立，既不重復也不遺漏的簡單事件，這一點正是求解概率的關鍵。由于事件是借助集合運算來實現(xiàn)的，因此事件與集合語言之間的互譯就成為本章的重點和關鍵了。

三、注重四種典型概率的模型作用，處理好概率運算中"+"、"-"、"×""、÷"的關系

解題時要對照概念，弄清楚題中各事件的關系，正確選用不同的運算類型。尤其是弄清楚四種典型概率中的"非等可能"與"等可能"；"互斥"與"對立"及"獨立"等主要概念的區(qū)別與聯(lián)系。

一般來說，主"+"型適用于互斥事件和的概率；主"-"型適用于對立事件中已知一方面的概率，再求對立事件的概率；主"×"型適用于相互獨立事件的概率；主"÷"型適用于等可能事件的概率。

四、挖掘巧用數(shù)學思想方法

在概率問題中，蘊含著豐富的數(shù)學思想方法，例如集合思想、等價轉化的思想、分類討論的思想、數(shù)形結合的思想、正難則反、遞推數(shù)列的思想等等，在求解概率問題時，盡可能的充分挖掘和運用數(shù)學思想方法，融匯和貫通與其他數(shù)學知識及其他學科的聯(lián)系。

例：2人相約7點到8點在某地會面，先到者等候另一人20min，這時可以離去，試求這2人能會面的概率。

分析 設x，y分別表示2人7點后到達的時刻，0≤x≤60，0≤y≤60（單位：min），則兩人會面的充要條件為.利用以上各式的幾何意義求解.

解 設x，y分別表示2人7點后到達的時刻，0≤x≤60，0≤y≤60（單位：min），則兩人會面的充要條件為.我們把滿足條件0≤x≤60，0≤y≤60的區(qū)域表示為邊長60（min）的正方形，結合線性規(guī)劃知識，在直角坐標系中畫出中x，y的可行域，運用數(shù)形結合思想，可得所求概率為：

五、注重概率問題情境生活化，用概率方法分析解決實際問題

加強概率知識與實際應用問題的聯(lián)系，通過對實際事例的探究，掌握概率知識的基本思想與方法，并能應用其解決實際問題，從中體會運用概率思考問題的特點.形成用概率方法觀察和分析問題的意識，同時使思維得以發(fā)散，個性得到發(fā)展.

例：某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對5家小型煤礦進行安全檢查（簡稱安檢），若安檢不合格，則必須整改。若整改后經(jīng)復查仍不合格，則強制關閉。設每家煤礦安檢是否合格是相互獨立的，且每家煤礦整改前的合格率是0.5，整改后安檢合格的概率是0.8，計算（結果精確到0.01）；

（1）恰好有兩家煤礦必須整改的概率；

（2）平均有多少家煤礦必須整改；

（3）至少關閉一家煤礦的概率。

解析 （1）每家煤礦必須整改的概率是1-0.5，且每家煤礦是否整改是相互獨立的.所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是：.

（2）由題設，必須整改的煤礦數(shù)服從二項分布B（5，0.5）.從而的數(shù)學期望是： .即平均有2.5家煤礦必須整改.

（3）某煤礦被關閉，即該煤礦第一次安檢不合該，整改后經(jīng)復查仍不合該，所以該煤礦被關閉的概率是P2=（1-0.5）×（1-0.8）=0.1，從而該煤礦不被關閉的概率是0.9.由題意，每家煤礦是否關閉是相互獨立的，所以至少關閉一家煤礦的概率是P3=1-0.95=0.41.

評注 本題是概率在實際生活中的一個非常典型的應用，該題以安檢、整改的實際問題情境出現(xiàn)，強化了概率的實用價值，體現(xiàn)了數(shù)學來源于生活、服務于生活的宗旨，同時考察了概率統(tǒng)計知識的綜合應用.

以上幾點，只是自己在教學實踐中的一點見解。沒有最好，只有更好，我們每一位教育工作者只有在教學中，認真學習、領會、理解課程改革的意圖，勤于思考，勇于實踐，大膽創(chuàng)新，才能更好地完成新課程改革所賦予我們的職責。