高中數(shù)學概念的特質(zhì)與“精準化建構(gòu)”策略

唐雪芳

[摘要]數(shù)學概念是高中數(shù)學教學的基石，具有抽象性、多元性、層次性、系統(tǒng)性等諸多特性。在學生獲得數(shù)學概念的過程中，我們既要遵循數(shù)學概念本體的特質(zhì)，也要研究學生獲得概念的學習心理。在教學中，教師要探析概念的形成過程，發(fā)掘概念的內(nèi)涵和外延，引領(lǐng)學生深刻把握概念間的關(guān)聯(lián)，讓學生靈活運用概念去解決問題。由此。讓學生獲得對數(shù)學抽象概念的“精準化建構(gòu)”！

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學概念：概念獲得：精準化建構(gòu)

在高中數(shù)學的學科教學中。數(shù)學概念具有基礎(chǔ)性、先導性。它既是數(shù)學知識的基本單元。同時也是學生展開數(shù)學思維的基本單位。在教學中。教師必須把握數(shù)學概念的特質(zhì)。研究學生獲得數(shù)學概念的基本方式。探尋學生對數(shù)學概念進行“精準化建構(gòu)”的策略。

高中數(shù)學概念的內(nèi)涵及其特質(zhì)

高中數(shù)學概念是指學生在數(shù)學學習過程中對數(shù)學知識、規(guī)律等形成的具有本質(zhì)意義的認識。數(shù)學概念建基于學生的生活經(jīng)驗。其形成依賴于學生的自主性、合作性、探究性的數(shù)學觀察、數(shù)學猜想、數(shù)學探究和數(shù)學實驗等。

1.數(shù)學概念的“過程性”特質(zhì)

高中數(shù)學概念兼具“過程屬性”和“對象屬性”。即高中數(shù)學的概念既表現(xiàn)為數(shù)學的實驗、數(shù)學的活動、數(shù)學的操作過程。又可以凝聚為特定的思維對象、建構(gòu)對象。例如，“橢圓”概念既表現(xiàn)為學生對諸如天體行星、衛(wèi)星運行軌道的認識。對畫橢圓實驗操作過程的理解。同時更表現(xiàn)為學生對“橢圓”概念的本質(zhì)理解——“平面內(nèi)與兩個定點的距離和等于常數(shù)的點的軌跡”。對橢圓標準方程推導過程的感悟。在高中數(shù)學教學過程中。如果我們將數(shù)學概念看作一個探究過程意味著數(shù)學概念的意義是動態(tài)的：將數(shù)學概念看成對象則意味著數(shù)學概念具有鮮明的本質(zhì)屬性！

2.數(shù)學概念的“表象性”特質(zhì)

高中數(shù)學概念具有深刻的數(shù)學內(nèi)涵和廣博的數(shù)學外延。學生在數(shù)學學習中往往依賴于概念表象來進行思維。例如?！皵?shù)列”的概念在教學時為了讓學生直觀感受到“等差數(shù)列”與“等比數(shù)列”（見蘇教版高中數(shù)學教材必修5第二章）。教師必須充實教材中的素材。讓學生觀察、比較。獲得“等差數(shù)列”和“等比數(shù)列”的表象支撐。豐富、鮮活的概念表象讓高中數(shù)學的概念教學不再是“抽象化”定義，而是一系列形象化、操作化的具體確證與表征。

3.數(shù)學概念的“系統(tǒng)性”特質(zhì)

高中數(shù)學概念是彼此關(guān)聯(lián)的。由此形成了數(shù)學概念的嚴密體系及豐富的數(shù)學概念結(jié)構(gòu)。在教學中。教師要善于從系統(tǒng)的角度去引導學生研究概念。讓學生織成“概念網(wǎng)”。例如。“復(fù)數(shù)”概念是非常抽象的。很多學生沒有精準把握。究其根本是因為學生對“數(shù)系擴充史”沒有把握。在教學中。筆者用“若x²=-1。求x的值”這一習題喚醒學生對“復(fù)數(shù)”的認知——“復(fù)數(shù)”概念并不高深。只是“數(shù)集”發(fā)展到一定歷史階段的必然_在高中數(shù)學中。存在著許多相互關(guān)聯(lián)的概念。如空間角和平面角。平行向量和平行線段，方程與不等式，映射與函數(shù)。等等。

高中數(shù)學概念的“精準化建構(gòu)”

高中數(shù)學概念的“精準化建構(gòu)”指學生在教師的引導下對數(shù)學概念的內(nèi)涵和外延進行深度探尋、精細加工。如果學生對數(shù)學概念的獲得僅停留在死記硬背的基礎(chǔ)上，那么學生將難以形成強的遷移能力。由此常常導致概念的生搬硬套、機械運用或運用不當?shù)?。學生對數(shù)學概念的“精準化建構(gòu)”要求學生對數(shù)學概念的內(nèi)涵、外延、限制條件、肯定例證、否定例證等有著精準的把握。

1.展現(xiàn)數(shù)學概念的生成過程

在高中數(shù)學概念的教學中。許多教師采用“效率高”的“告訴式教學”。讓學生占有而不是理解概念。其實。學生不是一張白紙，學生生活中的數(shù)學感悟、數(shù)學學習的“先在概念”都能在學生面對數(shù)學新概念時被有效激活。例如。許多學生對“橢圓的第二定義”感到費解。教材上的“第二定義”也顯得比較突兀。教學時。筆者從橢圓的第一定義的標準方程出發(fā)。引領(lǐng)學生自己進行公式推導。將橢圓的第二定義建立在標準方程的推導之上。讓學生觀察第二定義中方程的幾何特征。思考方程式中的分子代表什么。分母代表什么。由此學生自然理解了橢圓的第二定義不僅如此。學生深刻領(lǐng)悟到橢圓的第一定義與第二定義在本質(zhì)上是一致的。在后續(xù)學習中。如學習“雙曲線”時。學生也能實現(xiàn)方法上的遷移。自己推理出第二定義的方程式。進而深刻理解雙曲線的第二定義。

高中數(shù)學概念是人類理論和實踐智慧的結(jié)晶。在高中數(shù)學教學中。必須引領(lǐng)學生經(jīng)歷數(shù)學概念的“數(shù)學化”過程。展現(xiàn)抽象概念、定義從無到有，由粗疏到精密的演變過程。讓學生對數(shù)學的概念不僅僅“知其然”。更“知其所以然”。發(fā)展學生的數(shù)學認知方式、數(shù)學思維方式，提升學生的數(shù)學思想、數(shù)學方法等。

2.對接學生的“概念系統(tǒng)”

通常情況下。學生面對嶄新的數(shù)學概念時都能調(diào)動起自我的數(shù)學“前位概念”。對新概念進行理性思辨。在這個意義上。學生的概念學習過程可以認為是學生概念系統(tǒng)不斷擴張、不斷修正的過程。在高中數(shù)學教學中。教師要創(chuàng)設(shè)條件讓學生的“前位概念”與“新概念”之間進行同化與順應(yīng)。例如?！昂瘮?shù)”概念在初中數(shù)學已經(jīng)有所研究。在高中數(shù)學還要研究在初中數(shù)學中，我們是從變化的、運動的視角去研究函數(shù)的。即對于自變量任取一個數(shù)值，都有一個函數(shù)值與之對應(yīng)。而高中數(shù)學則是從集合、對應(yīng)的視角去研究函數(shù)的。即是將“原象集合”中的元素與“象集合”中的元素對應(yīng)起來。高中數(shù)學教學時。要將“函數(shù)概念”對接學生已有的“函數(shù)概念”。同時又必須提升和發(fā)展。即用圖像、公式、表格等表征函數(shù)的方式轉(zhuǎn)向用數(shù)學的抽象語言描述函數(shù)的本質(zhì)特征。對函數(shù)概念、特征（如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等）的理解學生要經(jīng)歷一個“概念同化”與“概念順應(yīng)”的過程。

3.對抽象概念進行“意義賦予”

高中數(shù)學概念是抽象的。教學中需要聯(lián)系學生可理解的概念和學生生活中的事件原型等。幫助學生理解概念。這是一個對抽象概念進行“意義賦予”的過程。如“函數(shù)”概念的講解可以聯(lián)系學生熟悉的數(shù)量關(guān)系。如行程問題中的函數(shù)關(guān)系、氣溫變化中的函數(shù)關(guān)系、生產(chǎn)中的函數(shù)關(guān)系等。讓抽象的概念具體化。又如“指數(shù)函數(shù)”的引入?？梢宰寣W生操作折紙，當學生對折到7、8次時就無能為力了，這時可以讓學生思考：一張厚度為0.1毫米的紙張對折30次有多厚呢。如此。學生不但理解了指數(shù)函數(shù)的內(nèi)涵。還感受到了指數(shù)增長的速度。體驗到“指數(shù)爆炸”的威力?！耙饬x賦予”是對抽象概念的形象化揭示。對數(shù)學概念進行“意義賦予”能為學生理解數(shù)學概念提供有力支撐。

4.在“概念結(jié)構(gòu)”中凸顯本質(zhì)內(nèi)涵

瑞士心理學家皮亞杰認為?！皵?shù)學是對結(jié)構(gòu)的構(gòu)建而建立起來的”。高中數(shù)學教學中。教師可以從數(shù)學概念的因果關(guān)系、屬種關(guān)系出發(fā)，在“概念結(jié)構(gòu)”中讓學生形成本質(zhì)化的理解和認識。例如。教學“分數(shù)指數(shù)冪”。教材上只是給出“指數(shù)冪”的定義。學生不理解其必要性和作用。為此，在教學時，筆者讓學生系統(tǒng)回顧了各種運算的必要性：如乘法是加法的簡便運算：乘方是乘法的簡便運算：為了將加減法統(tǒng)一為加法，我們引入了“相反數(shù)”的概念：為了將乘除法統(tǒng)一為乘法。我們引入了“倒數(shù)”的概念。由此，為了統(tǒng)一乘方和開方，我們引入了“分數(shù)指數(shù)冪”的概念。教師對相關(guān)、類似的數(shù)學概念進行“集約處理”。有助于學生理解概念的本質(zhì)內(nèi)涵和概念間的相互關(guān)聯(lián)。如此增進了概念的“生成力”。

高中數(shù)學概念是高中數(shù)學教學的基石，具有過程性、抽象性、系統(tǒng)性等諸多特性。學生對數(shù)學概念的理解是由膚淺到深刻、由淺表到本質(zhì)的過程。高中數(shù)學概念教學建基于學生的“生活理解”。發(fā)展于學生的“過程探究”。提升于概念的“集約結(jié)構(gòu)”。在這個過程中。要讓學生深刻體驗數(shù)學概念的創(chuàng)造性、再生性。理解數(shù)學概念的豐蘊意義。演繹出數(shù)學概念的生動發(fā)展歷程！