化歸思想在常微分方程教學(xué)中的應(yīng)用

韓曉方

（南昌工學(xué)院，江西 南昌 330108）

化歸思想在常微分方程教學(xué)中的應(yīng)用

韓曉方

（南昌工學(xué)院，江西 南昌 330108）

通常來說，一個(gè)數(shù)學(xué)問題有多種解題方法，其中，化歸思想便是較常用的一種，在常微方程的解法中也多有應(yīng)用。如果能夠在常微分方程中較好的學(xué)習(xí)使用化歸思想，那么便能夠更好的學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)常微分方程，掌握常微分方程的理論和解決方法，同時(shí)學(xué)生的思維能力和實(shí)際應(yīng)用能力也能夠得到很大的提升。由此，作為教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用化歸思想，借以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)思維能力。

化歸思想；常微分方程；教學(xué)

化歸思想是一種常見的重要的解題思想，也是人類基本的思維方法，與此同時(shí)，它更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式。所謂的化歸思想方法，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)通過運(yùn)用某種手段將問題變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決問題的方法。一般來說就是將復(fù)雜問題簡單化；將難解的問題轉(zhuǎn)化為容易求解的問；將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題。總之，化歸思想在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用十分廣泛，化歸思想概括來說就是將生疏化成熟悉，復(fù)雜化成簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。說到底，化歸思想的實(shí)質(zhì)就是以運(yùn)動(dòng)變化發(fā)展的觀點(diǎn)來看待問題，注重事物之間相互聯(lián)系，相互制約的關(guān)系，從此出發(fā)對(duì)所要解決的問題進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，從而使問題得以解決。

1 一階常微分方程

在一階常微分方程中，最基礎(chǔ)的兩個(gè)是分離變量方程和恰當(dāng)方程，其他的比較復(fù)雜的方程比如齊次方程、線性方程、伯努利方程等都可以通過化歸思想，將它們變換轉(zhuǎn)化為分離變量方程或恰當(dāng)方程，將復(fù)雜變簡單，變成已經(jīng)解決的問題，這就是化歸思想在一階常微分方程中的體現(xiàn)。下面舉例子為證。

求解：dx/dy=8x3-4xy3+4x/6x2y2-12y5+6y2

分析：等式右邊的式子中都有公因式，可以將之提出來，整個(gè)式子就變成了dx/dy=4x(2y2-y3+1)/6y2(y2-2y3+1)

也就是6y2dx/4xdy=2y2-y3+1/y2-2y3+1,

在這里進(jìn)行等量代換,即 u=x2，v=y3，就變成了dv/du=6y2dx/4xdy，

這樣方程進(jìn)一步變成了dv/du=2u-v+1/u-2v+1

這道題計(jì)算到這里之后，還要再繼續(xù)進(jìn)行兩次等量變換，最終將式子簡化到變量分離方程式這樣的基礎(chǔ)方程式，之后兩邊通過積分求解解得最終答案。

通過這個(gè)例子，可以了解到一階常微分方程經(jīng)過多次等量變換，層層運(yùn)用化歸思想，最終將其變換成最基礎(chǔ)最簡單的分離變量方程進(jìn)行最后的求解，這樣的化歸思想的解題方法不僅加深了同學(xué)們對(duì)微分方程的理解，也更加了解化歸思想的實(shí)質(zhì)，對(duì)學(xué)生以后進(jìn)行數(shù)學(xué)解題的思維和應(yīng)用有很大的提升。

2 高階常微分方程

對(duì)于高階常系數(shù)的齊次線性方程來說，一般情況下都是通過求其特征根來求解的。運(yùn)用特征根求解首先要做的是求得其基本的解組，這樣做能夠使積分運(yùn)算的復(fù)雜程度有效降低，將復(fù)雜問題簡單化。對(duì)于某些高階非齊次線性方程應(yīng)該首先將其轉(zhuǎn)化為該方程對(duì)應(yīng)的齊次線性方程求其通解，然后在運(yùn)用待定系數(shù)法求得其結(jié)果。這些也都是化歸思想在常微分方程上的應(yīng)用，都將問題盡量簡單化，變換成可以解決的問題，降低了解決數(shù)學(xué)問題的難度，提高了解決問題的效率。以下面的為題為例做說明。

例：求解微分方程x（4）-2x“+x=t2-3

首先應(yīng)寫出其對(duì)應(yīng)齊次線性方程的特征性方程，求出其特征根，求出其通解，然后在運(yùn)用待定系數(shù)法求出該方程的另一個(gè)通解。學(xué)生可以通過這個(gè)例子來感受化歸思想在高階常微分方程中的運(yùn)用方法，然后進(jìn)一步提升自己運(yùn)用化歸思想解決問題的能力。

3 線性微分方程組

化歸思想在非其次線性方程中也有運(yùn)用。如果我們要對(duì)一個(gè)非齊次線性方程組求得其解，那么求解的關(guān)鍵部分就在于如何求得該方程組對(duì)應(yīng)的基解矩陣。只要求出其對(duì)應(yīng)的基解矩陣，那么就可以在這個(gè)基解矩陣中求得該非齊次線性方程組對(duì)應(yīng)的所有解。一般來說系數(shù)矩陣是通過求解常微分齊次線性方程而得到的，這個(gè)矩陣是常數(shù)矩陣，那么同樣的，基解矩陣就可以通過前面求出的系數(shù)矩陣來進(jìn)行求解。這個(gè)求解過程一般運(yùn)用拉普拉斯變換法或者是特征向量法。上述的整個(gè)過程便是化歸思想在線性微分方程組求解中的體現(xiàn)，它將包含有常系數(shù)的線性微分方程組轉(zhuǎn)換成為一般的簡單的代數(shù)問題，大大降低了問題的難度，以下面的例題為例做說明。

例：試求微分方程組x‘=Ax+f（t）的解。

應(yīng)該先求得其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基解矩陣，再通過非其次線性方程組通解公式求得其最終結(jié)果。

化歸思想作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種基本思維，雖然在面臨不同的題目不同的情況下化歸思想的體現(xiàn)并不是完全一樣的，但是其本質(zhì)大體相同，都是將復(fù)雜的問題簡單化，將抽象的問題具象化直觀化，將模糊的問題變得更加清楚。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中掌握化歸思想的運(yùn)用后有助于他們更好的理解數(shù)學(xué)抽象的理論知識(shí)，更加清楚地理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，在生活中更好的解決問題。因此，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)的教學(xué)時(shí)，一定要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生用化歸思想的方法解決問題，從而進(jìn)一步提供他們的思維能力和綜合素質(zhì)。

[1]何天榮.化歸思想在一階微分方程初等解法中的體現(xiàn)[J].科技風(fēng)，2016，（18）：43.

[2]張恩賓.化歸思想在常微分方程求解中的應(yīng)用[J].河南科技，2014，（22）：244-245.

韓曉方，女，講師，碩士研究生，主要研究方向：常微分方程。

作者簡介：鄭惠清（1964-），女，廣西南寧人，工程師，會(huì)計(jì)師，主要研究方向：機(jī)械設(shè)備維修管理、液壓與氣動(dòng)技術(shù)、工業(yè)企業(yè)經(jīng)濟(jì)教學(xué)與研究。