基于Lax差分格式的電力電纜故障測距仿真研究

馬貴東, 王紅艷， 朱建忠， 張鵬， 吳恒

(南京工程學(xué)院，江蘇 南京　211167)

0　引　言

隨著城市的發(fā)展，電纜的應(yīng)用越來越廣泛，但接踵而來的電纜故障也越來越頻繁。為了更好地解決電纜故障問題，減少停電造成的經(jīng)濟(jì)損失，電纜故障的準(zhǔn)確定位成為了亟待解決的關(guān)鍵問題。

目前，行波法是應(yīng)用最為廣泛的電纜故障測距方法，當(dāng)行波在電纜中遇到阻抗不匹配點(diǎn)會發(fā)生波反射，根據(jù)發(fā)射的波形與反射的波形之間的時(shí)間差，結(jié)合電纜的行波速度以此求出電纜的故障距離或電纜全長，主要包括低壓脈沖法、脈沖電壓法、脈沖電流法以及二次脈沖法等[1]。但是，行波法得到的波形較為復(fù)雜，缺少經(jīng)驗(yàn)的檢修人員不能對波形進(jìn)行準(zhǔn)確的分析，本文通過模擬仿真行波法電纜故障得到故障波形，以此對檢修人員進(jìn)行理論培訓(xùn)，從而對故障距離有更好地把握。

另外，傳輸線方程本質(zhì)是一階雙曲線型偏微分方程組，對于電纜傳輸線的時(shí)域分析，許多學(xué)者從數(shù)值方法對電纜的傳輸線方程進(jìn)行分析。目前，對偏微分方程的分析方法主要有Upwind差分格式Lax差分格式、Lax-Wendroff格式[2-4]。Upwind是基于特征線的走向來選取差分格式的[5]，但是隨著空間偏導(dǎo)數(shù)的數(shù)值越來越大，該差分格式的穩(wěn)定性越差，而且產(chǎn)生的震蕩越大，對于精度的影響也越來越大，另外Lax-Wendroff格式是二階精度，出現(xiàn)間斷點(diǎn)時(shí)，間斷的過渡區(qū)太窄，不易于波形分析[6]。而對于Lax差分格式來說，采用中心差商的思想，截?cái)嗾`差小，而且產(chǎn)生的震蕩小，精確度高。綜合考慮，本文利用Lax差分格式對電纜傳輸線進(jìn)行時(shí)域分析，模擬出電纜故障的情形，分析電纜傳輸線在各種故障下的情形，利用該差分格式來分析傳輸線方程，建立低壓脈沖、脈沖電流法的測距模型，確定了首端末端的邊界條件，模擬出了電纜發(fā)生故障時(shí)的情形，給出了故障點(diǎn)的差分方程，結(jié)合MATLAB得到波形，以此求出電纜故障距離。

1　Lax差分格式的建立

有限差分法的思想是把將連續(xù)的時(shí)間空間坐標(biāo)離散后，得到時(shí)間空間的網(wǎng)格，在網(wǎng)格點(diǎn)上利用差商來代替方程中的微商，形成了某種差分格式，本文采用Lax差分格式[7-8]。根據(jù)每行所有網(wǎng)格上的節(jié)點(diǎn)的差分格式，得到線性代數(shù)方程組，再通過電纜首端和末端的邊界條件，以及出現(xiàn)故障時(shí)，故障點(diǎn)處的差分格式，迭代求出所有節(jié)點(diǎn)的數(shù)值，包括電纜首端末端以及故障點(diǎn)處的電壓電流的數(shù)值。

對于均勻傳輸線的一階雙曲線方程組[9]：

(1)

其中該方程組與時(shí)間和距離有關(guān)。首先將連續(xù)分布的時(shí)間和空間進(jìn)行剖分，以此得到時(shí)間空間的網(wǎng)格圖。其中時(shí)間步長設(shè)置為k，空間步長設(shè)置為h，設(shè)任意距離表示為xm，任意時(shí)間為tn，則時(shí)間空間網(wǎng)格上任意一點(diǎn)可以表示為(xm,tn)。

對于傳輸線方程中的電壓電流對距離的偏導(dǎo)，用中心差商代替，即：

(2)

對于電壓電流的時(shí)間偏導(dǎo)，采用向前差分，即：

(3)

(4)

結(jié)合方程組(1)，(2)，(3)，(4)，得到基于Lax的差分格式，即：

文獻(xiàn)[3]利用傅里葉的方法分析了該差分格式的穩(wěn)定性條件為：

(6)

2　電纜故障測距方法建模

2.1　低壓脈沖法

如圖1所示，是低壓脈沖法的電路模型圖。低壓脈沖法是向電纜中注入一定寬度的低壓脈沖，當(dāng)行波遇到電阻不匹配點(diǎn)時(shí)會產(chǎn)生反射波形，根據(jù)入射波形與反射波形間的時(shí)間差，來計(jì)算得到故障距離。圖1中，R0，G0，L0，C0為電纜的特性參數(shù)，Rf為故障點(diǎn)等效電阻。

圖1　低壓脈沖法電路模型圖

低壓脈沖法的首端條件，可以根據(jù)基爾霍夫定律來推導(dǎo)，即由圖1可得，

(7)

其中令dx=h，dt=k，對電流的時(shí)間的導(dǎo)數(shù)采用向前差分，于是便可以得到低壓脈沖法的首端邊界條件，即：

(8)

另外，由電路圖1可得，當(dāng)m=M時(shí)處于電纜末端，即電纜末端滿足：

(9)

將其帶入Lax差分格式公式(5)，便可以得到低壓脈沖法的末端條件，即：

(10)

當(dāng)電纜在x處發(fā)生故障，如低壓脈沖法模型電路圖1所示，在x處接入故障的等效電阻Rf，由此根據(jù)基爾霍夫定理可以得到，故障點(diǎn)處的電壓電流關(guān)系，即：

(11)

對時(shí)間導(dǎo)數(shù)采用向前差商，可得：

(12)

公式(12)就是電纜發(fā)生故障時(shí)，故障點(diǎn)的條件。

2.2　脈沖電流法

脈沖電流法電路模型如圖2所示，G為球形間隙，C為高壓儲能電容，Us為交流電源，交流電源不斷給電容充電，直到球形間隙G擊穿，電容開始對電纜放電。球形間隙的擊穿電壓設(shè)為Ug，脈沖電流法的首端邊界條件的推導(dǎo)，是以球形間隙G被擊穿時(shí)開始的，也就是球形間隙被擊穿后，電容上具有等于Ug大小的電壓Uc。

圖2　脈沖電流法電路模型圖

在圖2中，根據(jù)基爾霍夫定律，得：

(13)

對關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)采用向前差分進(jìn)行離散，同時(shí)令dx=h，dt=k，即可以得到脈沖電流法的首端邊界條件：

(14)

脈沖電流法的末端邊界條件和低壓脈沖法的相同，即為公式(10)。脈沖電流法的故障點(diǎn)條件同低壓脈沖法的相同，即公式(12)，但是需要實(shí)時(shí)監(jiān)測故障點(diǎn)是否被擊穿，若故障點(diǎn)的電壓大于故障點(diǎn)的擊穿電壓，則發(fā)生閃絡(luò)故障，此刻故障點(diǎn)的關(guān)系式為：

(15)

對時(shí)間導(dǎo)數(shù)采用向前差分，得到：

(16)

即公式(16)為電纜故障點(diǎn)被擊穿時(shí)的故障條件。

3　參數(shù)設(shè)置及仿真實(shí)現(xiàn)

在確定了測距方法的首端末端條件以及故障點(diǎn)的條件時(shí)，利用MATLAB編程[10]，其流程圖如圖3所示。

圖3　算法流程圖

設(shè)置電纜的分布參數(shù)為：

R0=3.256 8×10-5Ω/m,G0=8.132 5×10-12S/m

L0=122.8×10-9H/m,C0=329.60×10-12F/m

電纜全長L=800 m,電纜分成400段，即M=400段，設(shè)置故障距離x=400 m，設(shè)置仿真時(shí)間為T=50 μs。電纜行波速度為：

波阻抗為：

空間步長：

時(shí)間步長：

則得到的故障距離為：

其中Δt=步長×步數(shù)。

3.1　低壓脈沖法測距得到的波形及分析

設(shè)置低壓脈沖幅度Us=10 V，電源內(nèi)阻Rs=150，脈沖寬度τ=2 μs。如圖4所示為低壓脈沖法仿真得到的電纜無故障的首段電壓U1的波形。在圖4中，由于電纜末端開路，第一個(gè)脈沖為發(fā)射脈沖，第二個(gè)脈沖為反射脈沖，其極性與發(fā)射脈沖相同，且電壓幅值增大，其后的反射波行逐漸衰減。圖中t1=6 500，t2=13 000，t3=19 500，可得:

Δt=k×t1=k×(t2-t1)=k×(t3-t2)

電纜長度為：

與實(shí)際設(shè)置的電纜長度相差6 m，誤差小于1% 。

圖4　低壓脈沖法得到的電纜無故障波形

設(shè)置電纜的故障點(diǎn)電阻Rf=50 Ω時(shí)，電纜發(fā)生低阻故障，低壓脈沖法仿真得到的電纜首端電壓U1的波形，如圖5所示。第一個(gè)波形是發(fā)射脈沖，第二個(gè)脈沖極性與發(fā)生脈沖相反，發(fā)生低阻或者短路故障，第三個(gè)脈沖為末端開路反射波形，與第一個(gè)脈沖波形極性相同，之后的故障點(diǎn)反射波形和電纜末端反射波逐漸衰減。在圖5中，t1=3 100，t2=6 300，t3=12 600。電纜的故障距離：

與實(shí)際設(shè)置的故障點(diǎn)400 m，相差21.33 m，誤差為5%左右。仿真波形得到的電纜的長度為：

或

計(jì)算得769.56 m，與實(shí)際800 m相差21.44 m，誤差為2%左右。

圖5　低壓脈沖法得到的電纜低阻波形

設(shè)置故障點(diǎn)的等效電阻Rf=700 Ω時(shí)，電纜發(fā)生高阻故障，低壓脈沖法仿真得到的電纜首端電壓U1的波形，如圖6所示。第一個(gè)脈沖為發(fā)射脈沖，第二個(gè)波只有很小的一點(diǎn)，出現(xiàn)負(fù)極性，之后第三個(gè)波形為電纜末端反射波。對于高阻故障，用低壓脈沖法來測距，波形不是很明顯，只有很小的一部分，該類故障用個(gè)脈沖電流法測距效果更好。

圖6　低壓脈沖法得到的電纜高阻故障波形

3.2　脈沖電流法測距得到的波形及分析

脈沖電流法是在球形間隙G擊穿時(shí)開始仿真的，此刻設(shè)置電容C的初始值為球形間隙的擊穿電壓Ug，故障點(diǎn)的臨界擊穿電壓Uf=10 kV，高壓儲能電容C=3 μF。脈沖電流法是通過線性電流耦合器的電流I的波形來進(jìn)行分析的。仿真可以得到電流首端電流的變化量I，其等價(jià)于線性耦合器得到的電流波形。

設(shè)置Ug=3 kV，故障點(diǎn)等效電阻Rf=700 Ω，故障點(diǎn)處的電壓沒有達(dá)到臨界擊穿電壓，故障點(diǎn)沒有被擊穿，得到首端電流的變化量I的波形如圖7所示。故障點(diǎn)沒有被擊穿，由于電纜末端開路，電流行波發(fā)生負(fù)極性反射，電容端相當(dāng)于短路，電流行波發(fā)生正極性反射，即圖7中正負(fù)交替的行波。在圖7中，t1=14 200，t2=20 700，t3=27 300，可以得到電纜的長度:

圖7　脈沖電流法得到的故障點(diǎn)未擊穿波形

設(shè)置Ug=3 kV，故障點(diǎn)等效電阻Rf=700 Ω，故障點(diǎn)處的電壓達(dá)到臨界擊穿電壓，故障點(diǎn)被擊穿，得到首端電流的變化量I的波形如圖8所示。由于故障點(diǎn)直接被擊穿，相當(dāng)于短路點(diǎn)，電流行波遇到時(shí)發(fā)生正極性反射，又由于電容端相當(dāng)于短路，電流行波在此處也發(fā)生正極性反射，即如圖中8的波形出現(xiàn)都是同極性波形，在圖8中，t1=7 300，t2=10 500，t3=14 300，所得到的故障距離：

故障距離與設(shè)置的實(shí)際故障點(diǎn)距離400 m相差9.22 m，誤差在2%左右。

圖8　脈沖電流法得到的故障點(diǎn)擊穿波形

4　結(jié)束語

利用Lax差分格式進(jìn)行電纜傳輸線的時(shí)域分析，根據(jù)仿真結(jié)果和實(shí)際設(shè)置的故障點(diǎn)相比較，誤差相對較小，驗(yàn)證了Lax差分格式的可行性。建立在Lax差分格式的基礎(chǔ)上得到的低壓脈沖波形與脈沖電流波形，與文獻(xiàn)[5]的Upwind的差分格式相比較，Lax的差分格式消除了寄生震蕩，得到的波形更加理想圓滑，對時(shí)間步數(shù)區(qū)分更加細(xì)致，在選兩波形點(diǎn)進(jìn)行時(shí)間差計(jì)算式更加準(zhǔn)確，從而得到故障點(diǎn)距離的精確度更高。根據(jù)Lax差分格式來分析電纜傳輸線方程，建立了電纜故障測距方法的模型，即低壓脈沖法和脈沖電流法模型，可以很好地應(yīng)用于電纜的開路，低阻故障，高阻故障的測距。仿真模型的建立，可以給檢修人員提供更好的理論知識的培訓(xùn)，為以后的電纜故障檢修提供了方便。行波法是建立在離線的基礎(chǔ)之上的，隨著技術(shù)的不斷發(fā)展，在線監(jiān)測會逐漸替代離線方法，但是目前行波法是最可靠的電纜故障測距方法。

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