導數(shù)在高中物理中的應(yīng)用*

王朝祥

(北京市第八十中學 北京 100102)

導數(shù)在高中物理中的應(yīng)用*

王朝祥

(北京市第八十中學 北京 100102)

函數(shù)對自變量的瞬時變化率，稱為導數(shù).在日常教學中將導數(shù)思想滲透入物理課堂，能深化對物理概念和規(guī)律的理解，把握物理知識的內(nèi)在聯(lián)系；在解決實際問題時引入導數(shù)，能有效解決物理量的非均勻變化問題、極值問題，有利于提升學生應(yīng)用數(shù)學知識處理物理問題的能力.

導數(shù) 瞬時變化率 極值問題

微積分的創(chuàng)立為人們研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段.導數(shù)是微積分的核心概念之一，在解決實際問題中有著廣泛的應(yīng)用.

人教版高中數(shù)學教材選修2-2講授了導數(shù)的概念，介紹了導數(shù)的幾何意義、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則，這為高中物理學習提供了全新的數(shù)學方法.筆者在日常教學中嘗試著將導數(shù)思想滲透到物理課堂，教學效果良好，現(xiàn)與讀者分享.

1 導數(shù)的數(shù)學定義

函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率，稱為函數(shù)在該點的導數(shù)，記作f′(x0)，即

導數(shù)f′(x0)反映函數(shù)y=f(x)在x=x0處的增減趨勢和變化快慢.在圖像中，導數(shù)f′(x0)的幾何意義為：曲線y=f(x)在x=x0處切線的斜率.

2 結(jié)合導數(shù)思想深化對物理概念和規(guī)律的理解

高中物理中，很多物理量都是通過變化率定義的，如：速度是位移對時間的變化率，加速度是速度對時間的變化率，力是動量對時間的變化率，功率是能量對時間的變化率，電流是電荷量對時間的變化率，感應(yīng)電動勢是磁通量對時間的變化率.

學過導數(shù)以后，學生知道導數(shù)就是函數(shù)對自變量的瞬時變化率.教師不妨引導學生從導數(shù)的角度重新認識瞬時速度、瞬時加速度、瞬時功率、瞬時感應(yīng)電動勢等物理量，這樣能深化學生對物理概念、物理規(guī)律的理解，把握物理知識的內(nèi)在聯(lián)系，體會數(shù)學方法與物理思想的完美結(jié)合.

例如，在高中物理教材中，法拉第電磁感應(yīng)定律的呈現(xiàn)形式為

在學生掌握導數(shù)的概念和運算法則后，可以將定律拓展到磁感應(yīng)強度B與有效面積S都隨時間變化的復(fù)雜問題，此時磁通量

Φ=B(t)S(t)

代入法拉第電磁感應(yīng)定律可得

然后分3種情況討論：

(1)若磁場恒定，即

感應(yīng)電動勢

這種由于回路面積變化而產(chǎn)生的電動勢稱動生電動勢.

(2)若回路的面積保持不變，即

感應(yīng)電動勢

這種由于磁感應(yīng)強度變化而產(chǎn)生的電動勢稱感生電動勢.

(3)若B和S都隨時間變化，此時既有動生電動勢又有感生電動勢，感應(yīng)電動勢是二者的疊加.(參見2003年高考江蘇卷第18題)

上述拓展在借助數(shù)學方法打開學生思路的同時不忘回扣課本知識，有助于學生準確地理解法拉第電磁感應(yīng)定律的內(nèi)涵.

3 利用導數(shù)思想拓展解決問題的思路

分析和解決實際物理問題的過程離不開數(shù)學方法.將導數(shù)思想引入物理教學，能有效拓寬學生的思路，并能化解僅用初等數(shù)學知識難以解決的問題，提升學生運用數(shù)學工具處理物理問題的能力.現(xiàn)結(jié)合一些常見問題舉例說明.

3.1 利用導數(shù)描述和研究物理量的非均勻變化

【例1】如圖1所示，A，B兩物體通過不可伸長的輕質(zhì)細繩跨過定滑輪相連，物體A在拉力F作用下沿水平地面勻速向右運動，判斷繩子彈力大小的變化情況.

圖1 例1題圖

分析：將物體A的速度記為vA，當右側(cè)繩子與豎直方向夾角為θ時，根據(jù)速度的合成與分解求得，物體B的速度大小vB=vAsinθ.

將vB對時間t求導，得物體B的加速度大小

aB=vB′=vAωcosθ

分析物體B的受力情況，由牛頓第二定律得，繩子彈力T=mB(g+aB).

由題意，物體A向右運動過程中，繩子與豎直方向的夾角θ增大，繩子轉(zhuǎn)動的角速度ω減小，物體B的加速度aB減小， 因此繩子的彈力T逐漸減小.

點評：本題中物體B的速度vB隨時間非均勻變化，利用初等數(shù)學方法難以計算其加速度，引入導數(shù)后，其加速度的計算迎刃而解.

3.2 利用導數(shù)研究物理極值問題

【例2】如圖2所示，真空中相距為2r的M，N兩點處分別放置等量的正點電荷，電荷量大小為Q，求兩電荷連線的中垂線上電場強度的極大值.

圖2 例2題圖

分析：取兩電荷連線的中垂線上任意點A，將AM與MN的夾角記為θ，A點的合場強為

將E對θ求導

點評：若函數(shù)在某點的一階導數(shù)為零，二階導數(shù)大于零，函數(shù)在該點取極小值；若函數(shù)在某點的一階導數(shù)為零，二階導數(shù)小于零，函數(shù)在該點取極大值.本題中，場強E是以θ為自變量的函數(shù)，請讀者自行計算E對θ的二階導數(shù)，體會函數(shù)的極值條件.

*北京市教育科學“十二五”規(guī)劃課題“高中創(chuàng)新實驗班物理與數(shù)學課程整合實踐研究”成果之一，項目編號：DBB15072

王朝祥(1977- )，男，中教高級，主要從事中學物理教學及研究.

2016-10-26)