均質(zhì)三角形邊框剛體對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的簡明推導(dǎo)

于志明

(連云港師范高等專科學(xué)校物理系 江蘇 連云港 222006)

均質(zhì)三角形邊框剛體對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的簡明推導(dǎo)

于志明

(連云港師范高等?？茖W(xué)校物理系 江蘇 連云港 222006)

利用任意三角形的邊長與頂點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,直接推出任意三角形邊框的質(zhì)心到各邊中點(diǎn)的距離與三角形各邊邊長的關(guān)系,從而方便地求得任意均質(zhì)三角形邊框剛體對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 三角形邊框 質(zhì)心

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算是剛體力學(xué)研究的重要內(nèi)容.文獻(xiàn)[1,2]研究了任意均質(zhì)三角形邊框剛體對(duì)過質(zhì)心且和三角形所在平面垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算問題.文獻(xiàn)[1]利用幾何方法確定任意均質(zhì)三角形邊框剛體的質(zhì)心位置和質(zhì)心到各邊中點(diǎn)的距離,然后利用均質(zhì)細(xì)桿對(duì)其中心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和平行軸定理得到任意均質(zhì)三角形邊框剛體對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的公式.文獻(xiàn)[2]認(rèn)為文獻(xiàn)[1]中推導(dǎo)的過程比較繁瑣,又給出了一種新的推導(dǎo)方法.我們仔細(xì)閱讀文獻(xiàn)[2]后發(fā)現(xiàn),其中推導(dǎo)的過程也比較繁瑣,還要用到三角形邊框的中點(diǎn)形成的內(nèi)切圓,還要應(yīng)用從《數(shù)學(xué)手冊(cè)》中查出的有關(guān)關(guān)系式.我們認(rèn)為在計(jì)算任意均質(zhì)三角形邊框剛體對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí),最重要的是計(jì)算其質(zhì)心到三邊中點(diǎn)的距離與其邊長的關(guān)系,而利用三角形的邊長與頂點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系,可以方便快捷地解決這一問題.本文推導(dǎo)的方法思路清晰,計(jì)算簡單,對(duì)于處理其他任意多邊形邊框剛體對(duì)其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有啟發(fā)意義.

1 三角形的邊長和頂點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系

如圖1所示,設(shè)任意三角形(以下記為△ABC)的3個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B，C,3邊的邊長分別為a,b,c,3個(gè)夾角分別為α,β,γ.建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy,設(shè)三角形的3個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3),則三角形3條邊的邊長與3個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系為

(1)

(2)

(3)

由余弦定理得

a2=b2+c2-2bccosγ

(4)

b2=a2+c2-2accosα

(5)

c2=a2+b2-2abcosβ

(6)

圖1 三角形邊長和頂點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系分析圖

如果分別從△ABC的3個(gè)頂點(diǎn)起，沿兩邊引兩個(gè)邊矢量，則由矢量的標(biāo)乘得

(x2-x1)(x3-x1)+

(y2-y1)(y3-y1)=accosα

(7)

(x1-x2)(x3-x2)+

(y1-y2)(y3-y2)=abcosβ

(8)

(x1-x3)(x2-x3)+

(y1-y3)(y2-y3)=bccosγ

(9)

由式(4)～(9)得

(10)

(11)

(12)

式(1)～(3)和式(10)～(12)建立了△ABC邊長和頂點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系,利用它們我們就能解決△ABC的質(zhì)心到其3邊中點(diǎn)的距離與三角形的邊長的關(guān)系問題.

2 △ABC的質(zhì)心到其3邊中點(diǎn)的距離與其邊長的關(guān)系

由圖1可知,△ABC的3邊AB，BC，CA的中點(diǎn)坐標(biāo)分別為

(13)

(14)

(15)

而由△ABC的3邊組成的質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)可表示為

(16)

(17)

將式(13)～(15)代入式(16)、(17)得

(18)

(19)

△ABC的3邊組成的質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心到其3邊AB，BC，CA中點(diǎn)距離的平方分別為

(20)

(21)

(22)

將式(13)、(14)、(15)、(18)、(19)分別代入式(20)～(22),再應(yīng)用式(1)～(3)和式(10)～(12)經(jīng)化簡可得

(23)

(24)

(25)

式(23)～(25)就是我們得到的任意△ABC的質(zhì)心到其3邊中點(diǎn)的距離與其邊長的關(guān)系式.

3 三角形邊框剛體對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

設(shè)△ABC各邊單位長度的質(zhì)量為λ,利用大家熟知的均質(zhì)細(xì)桿對(duì)過其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和平行軸定理,可得△ABC的3邊組成的質(zhì)點(diǎn)系對(duì)與該三角形平面垂直且過其質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(26)

1 周國全,徐富斌.均質(zhì)邊框三角形剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式.大學(xué)物理,2012,31(12):8～9

2 李力.簡捷推導(dǎo)均質(zhì)三角形邊框剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.大學(xué)物理,2013,32(5):19

Simple Derivation on the Rotation Inertia of a Homogeneous Triangular Frame Rigid Body to the Axis through Its Mass Center

Yu Zhiming

(Department of Physics, Lianyungang Teachers College, Lianyungang, Jiangsu 222006)

Using the relationships between the side lengths and the coordinates of the triangle points, the distances from the mass center of the triangle frame to the midpoints of each side can be deduced directly. The rotation inertia of the rigid triangle frame about the axis through its mass center is obtained very briefly.

rotation inertia; triangle frame; mass center

于志明(1960- )，男，教授，主要從事大學(xué)物理的教學(xué)和研究工作.

2016-10-18)