指導(dǎo)“再創(chuàng)造”發(fā)現(xiàn)“海王星”
——《三角板中的奧秘》教學(xué)實(shí)踐與思考

牛獻(xiàn)禮（特級(jí)教師）

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版四年級(jí)上冊(cè)第42頁。

【教學(xué)思考】

人教版教材四年級(jí)上冊(cè)《角的度量》單元中有一道習(xí)題“用一副三角板能拼出多少度的角？”筆者認(rèn)為此題目?jī)?nèi)涵豐富，在教學(xué)時(shí)不能局限于解決這樣一個(gè)具體問題，而應(yīng)深入挖掘三角板中有關(guān)數(shù)學(xué)思考的內(nèi)容，將之拓展、開發(fā)成一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維水平，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的積極情感，從而更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)內(nèi)容的教育價(jià)值。那么，圍繞三角板的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)又該以怎樣的邏輯線索展開呢？

弗賴登塔爾認(rèn)為，作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)不應(yīng)該是現(xiàn)成的數(shù)學(xué)，而應(yīng)該是學(xué)生做出來的數(shù)學(xué)?！皩W(xué)生應(yīng)當(dāng)通過再創(chuàng)造來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，這樣獲得的知識(shí)與能力才能更好地理解，而且能保持較長(zhǎng)久的記憶。”他這里強(qiáng)調(diào)的是“再創(chuàng)造”，也就是說學(xué)生的創(chuàng)造不是創(chuàng)造成人不知道的東西，而是“創(chuàng)造”人類已經(jīng)創(chuàng)造出來的東西?？赡芩麆?chuàng)造的東西，成人都知道，教師都知道，但是對(duì)學(xué)生來說，它是新的。所以，“再創(chuàng)造”的核心是數(shù)學(xué)過程再現(xiàn)，這是學(xué)生的數(shù)學(xué)化和數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)化的不同之處。在數(shù)學(xué)化過程當(dāng)中，教師的教和學(xué)生的學(xué)應(yīng)該在數(shù)學(xué)的活動(dòng)中實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一，實(shí)現(xiàn)“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”。教師的責(zé)任就是創(chuàng)設(shè)適合于學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)化活動(dòng)的具體的、現(xiàn)實(shí)的情境，并有效地指導(dǎo)他們參與到數(shù)學(xué)化的各個(gè)方面中去。

基于此，本節(jié)課的教學(xué)思路逐漸清晰了起來，教學(xué)應(yīng)該圍繞“用一副三角板能畫出多少度的角”和“用兩副三角板能拼成哪些圖形”這兩個(gè)核心問題展開探究。圍繞“用一副三角板能畫出多少度的角”，指導(dǎo)學(xué)生從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過合情推理去探索思路，推斷結(jié)果，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，促使學(xué)生在“再創(chuàng)造”過程中不斷迸發(fā)出學(xué)習(xí)熱情和創(chuàng)新“火花”；圍繞“用兩副三角板能拼出哪些圖形”，指導(dǎo)學(xué)生將動(dòng)手操作與有序思考相結(jié)合，積累幾何活動(dòng)的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，豐富直觀體驗(yàn)，發(fā)展空間想象能力和理性思維?？梢?，有序思考、數(shù)學(xué)推理、幾何直觀一個(gè)不少，綜合地發(fā)生在“畫角、拼圖”的探究性學(xué)習(xí)過程之中，不僅加深了學(xué)生對(duì)于相關(guān)知識(shí)的理解，同時(shí)也使學(xué)科核心素養(yǎng)的培育得到了有效的落實(shí)。

【教學(xué)過程】

一、看一看，發(fā)現(xiàn)三角板中角的特點(diǎn)

師：我們先來猜一個(gè)謎語：“一對(duì)親兄弟，都有一直角；既能畫直線，也能來畫角”，打一學(xué)習(xí)用具。

生：三角板。

師：是的，謎底是三角板。把你的三角板拿出來看一看，一副三角板有幾塊？都是什么樣子的？知道每塊三角板中三個(gè)角的度數(shù)分別是多少嗎？

生：一副三角板有兩塊，一塊三角板三個(gè)角的度數(shù)是90°、30°、60°；另一塊三角板三個(gè)角的度數(shù)是90°、45°、45°。

師：為了便于交流，我們把含有30°的這塊三角板叫作含30°的三角板，把含有45°的這塊叫作含45°的三角板。

【思考：課始，讓學(xué)生“猜謎語”，以游戲的方式為本節(jié)課的學(xué)習(xí)定向；通過觀察三角板，喚醒學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，為接下來的探究學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備?！?/p>

二、畫一畫，探究三角板中角的奧秘

出示探究任務(wù)：用一副三角板畫角，你能畫出哪些度數(shù)的角？

1.在練習(xí)本上畫角，并標(biāo)出角的度數(shù)。

2.如果是兩塊三角板拼起來畫出的角，標(biāo)出是哪兩個(gè)角拼成的。

3.把你畫出的所有角按照從小到大的順序排列起來。

生：畫出的角從小到大是30°、45°、60°、75°、90°、105° 、120° 、135° 、150° 、180°。

師：這些角中有哪些角是依照三角板上的角直接畫出來的？

生：30°、45°、60°、90°。

師：有哪些度數(shù)的角是用兩個(gè)三角板拼起來畫成的？分別是由哪兩個(gè)角拼成的？

生：75°是由 30°和45°拼成的；105°是由 45°和60°拼成的；120°是由30°和90°拼成的；135°是由45°和90°拼成的；150°是由60°和90°拼成的；180°是由90°和90°拼成的。（板書）

師：除了剛才大家說的這些角之外，還能畫出其它度數(shù)的角嗎？

生：不能了吧。

師：兩個(gè)角相加可以拼成新的角，如果兩個(gè)角相減呢？想一想，自己試著畫一畫。

（學(xué)生獨(dú)立思考、嘗試畫角）

生：我畫出了15°的角！

教師讓學(xué)生在黑板上示范畫15°的角：先畫出45°的角，再在里面畫出一個(gè)30°的角，剩下的就是15°的角。

生：還可以用60°和45°的角畫出15°的角。

師：你怎么想的？

生：60°-45°=15°。

師：非常好！現(xiàn)在我們仔細(xì)觀察這些從小到大排列起來的角，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)它們都是15的倍數(shù)。

生：我發(fā)現(xiàn)它們之間都是相差15°。

生：不對(duì)，有兩個(gè)角相差的不是15°，150°和180°相差的是30°。

師：還真是這樣啊！

生：我有個(gè)想法！很可能有一個(gè)165°的角我們還沒有畫出來，如果畫出來了，每?jī)蓚€(gè)角之間都會(huì)相差15°。

師：這倒是一個(gè)很有價(jià)值的猜想！不過，凡是猜想都需要驗(yàn)證。怎么驗(yàn)證呢？其實(shí)只要能畫出來，就驗(yàn)證了猜想是正確的。可是，165°的角怎么用一副三角板畫出來呢？

（學(xué)生獨(dú)立思考，小組內(nèi)討論165°的畫法）

生：先畫出15°的角，再以一條邊為基礎(chǔ)，畫出150°的角，15°和150°加起來就是165°。

師：可以是可以，但是有沒有更簡(jiǎn)便的畫法呢？

生：先畫出15°的角，再把15°角的一條邊延長(zhǎng)，就得到了165°的角。

（如下圖）

師：誰看懂他的意思了？說說這個(gè)角為什么是165°？

生：這兩個(gè)角合起來是一個(gè)平角，即180°,180°-15°=165°。

師：這種畫法確實(shí)簡(jiǎn)便多啦！我們回顧一下剛才尋找角的過程，哪個(gè)角最不容易想到？

生：165°的角。

師：那我們是怎么找到165°的角的？

生：我們是先根據(jù)規(guī)律猜想到會(huì)有165°的角，再畫一畫，去驗(yàn)證。

師：沒錯(cuò)！我們是先找到了這些角的排列規(guī)律，發(fā)現(xiàn)相鄰的兩個(gè)角都是相差15°，只有150°和180°相差了30°；接著，我們就猜想可能它們之間還有一個(gè)角沒有找到，這個(gè)角就是165°；然后，我們就想辦法畫出165°的角，根據(jù)15°角畫出了165°的角。你覺得在找到165°角的這個(gè)過程中，什么最重要？

生：猜想最重要。

師：確實(shí)，猜想最重要，但猜想并不是“瞎猜”，而是從已有的事實(shí)出發(fā)，根據(jù)規(guī)律進(jìn)行合情推理（板書：推理）?？茖W(xué)家們?cè)诳茖W(xué)研究中經(jīng)常用到這種研究方法，比如天文學(xué)家就是運(yùn)用這樣的方法發(fā)現(xiàn)了太陽系中的海王星。

（教師介紹科學(xué)史上“海王星的發(fā)現(xiàn)過程”：海王星最開始并不是用望遠(yuǎn)鏡發(fā)現(xiàn)的，而是在筆尖上被發(fā)現(xiàn)的。自從發(fā)現(xiàn)太陽系的第七顆行星（天王星）之后，科學(xué)家們便開始研究天王星運(yùn)行的軌道，在研究過程中發(fā)現(xiàn)天王星和計(jì)算出來的軌道不完全一樣。天文學(xué)家推測(cè)有可能在天王星之外還有一顆未知的行星在干擾天王星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。但是，這顆尚未被發(fā)現(xiàn)的行星究竟在哪里呢？英國(guó)人亞當(dāng)斯運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法，用了2年多時(shí)間推算出了這顆行星的位置。幾乎在同一時(shí)間，一位法國(guó)天文學(xué)家也同樣用數(shù)學(xué)方法推算出這顆行星的位置。1846年，天文學(xué)家把望遠(yuǎn)鏡指向用數(shù)學(xué)方法推算出的行星位置，在那里真的有一顆新的行星存在。這個(gè)“在筆尖上”發(fā)現(xiàn)的行星就是太陽系的第八顆行星——“海王星”）

【思考：上述以解決問題“用一副三角板能畫出多少度的角”為載體的探究學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生積極參與其中，經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證等探索活動(dòng)，在收獲經(jīng)驗(yàn)與感悟的同時(shí)，創(chuàng)新火花不斷迸發(fā)。學(xué)生將畫出的角度從小到大有序排列，其實(shí)就是在進(jìn)行理性思維；學(xué)生依據(jù)已有規(guī)律猜測(cè)可能存在165°的角，實(shí)際上是在進(jìn)行合情推理；“海王星發(fā)現(xiàn)過程的介紹”開闊了學(xué)生視野，讓學(xué)生更加深切地感受到數(shù)學(xué)的魅力與價(jià)值?？梢?，學(xué)科核心素養(yǎng)的培育在上述探究性學(xué)習(xí)中得到了有效落實(shí)?！?/p>

三、拼一拼，探究三角板中邊的奧秘

出示探究任務(wù)：用兩副三角板能拼成哪些平面圖形？

1.同桌合作，用兩副三角板拼圖形。

2.每拼出一種圖形，就畫出它的示意圖，并標(biāo)上圖形名稱。比一比，哪個(gè)小組拼出的圖形多？

生：用兩個(gè)含30°角的三角板拼圖形，有六種拼法。

生：用兩個(gè)含45°角的三角板拼圖形，有三種拼法。

師：想一想，要拼出這么多圖形，怎么才能做到不重復(fù)、不遺漏呢？

生：先用含30°角的兩塊三角板去拼圖，再用含45°角的兩塊去拼，就不容易遺漏。

生：拼圖時(shí)，要固定一個(gè)三角板，然后不斷變換另一塊三角板，這樣不容易亂。

生：我是先重合直角邊，找全了之后，再重合斜邊去找。

師：同學(xué)們的方法盡管不完全相同，但共同點(diǎn)都是有序思考（板書：有序思考），有序思考容易做到不重復(fù)、不遺漏。

（課件演示：有序拼圖的過程）

師：再想一想，同樣是兩塊三角板，為什么含30°角的三角板和含45°角的三角板拼出的種數(shù)不同呢？

生：因?yàn)楹?0°角的三角形三條邊都不相等，每重合一條邊就有兩種拼法。含45°角的三角形有兩條邊相等，這樣就有幾個(gè)拼法是重復(fù)的，所以拼出的種數(shù)少。

【思考：“兒童的智慧在他的手指尖上”，拼圖活動(dòng)的價(jià)值不在于結(jié)果，而在于過程，在于實(shí)踐活動(dòng)中所積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和獲得的直觀體驗(yàn)。從某種意義上說，幾何直觀就是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不斷積累所形成的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)主要包括實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)和思維的經(jīng)驗(yàn)兩個(gè)方面，兩者都依賴于學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，獲得切實(shí)的過程性體驗(yàn)。上述教學(xué)中，通過“拼圖形”等操作活動(dòng)，積累實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)；通過反思和提煉，進(jìn)一步將實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)上升為思維經(jīng)驗(yàn)。】

四、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，想象三角板旋轉(zhuǎn)后形成的立體圖形

師：如果把三角板繞一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，會(huì)形成什么圖形？

（全班交流匯報(bào)不同的旋轉(zhuǎn)方法，課件動(dòng)態(tài)演示直角三角形旋轉(zhuǎn)形成圓錐的過程）

【思考：通過猜測(cè)“旋轉(zhuǎn)三角形所形成的立體圖形”，啟發(fā)學(xué)生思考、想象，幫助學(xué)生形成表象，為后續(xù)“認(rèn)識(shí)圓錐”的學(xué)習(xí)做了有意義地滲透，促進(jìn)學(xué)生空間想象能力的發(fā)展?！?/p>