“平行四邊形判定”教學(xué)中的思維活動(dòng)

莊麗

教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)分析：

首先，平行四邊形的判定和性質(zhì)定理實(shí)際上是對平行四邊形概念內(nèi)涵理解的發(fā)展和深化過程中生成的，對數(shù)學(xué)概念理解的深化體現(xiàn)在概念內(nèi)涵的豐富化和建立豐富的與之相關(guān)的概念間的聯(lián)系，概念內(nèi)涵表現(xiàn)為性質(zhì)定理，性質(zhì)定理的命題條件與結(jié)論的逆命題即構(gòu)成了對判定定理的探尋，這種概念與定理的生成分析與組織過程廣泛存在于幾何學(xué)習(xí)過程中，前面內(nèi)容學(xué)習(xí)獲得的思維經(jīng)驗(yàn)就成了類比聯(lián)想的參照，類比是合情推理的基礎(chǔ)之一，有助于新知的發(fā)現(xiàn)與學(xué)習(xí)。其次，經(jīng)由類比聯(lián)想發(fā)現(xiàn)知識(shí)發(fā)展的方向后，在發(fā)展知識(shí)的過程中，通過實(shí)驗(yàn)與觀察，進(jìn)而提出猜想，是重要的直觀思維活動(dòng)，而確認(rèn)結(jié)論的真假則必須以嚴(yán)格的演繹推理為基礎(chǔ)，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的理性精神和價(jià)值取向。整個(gè)探究活動(dòng)中包含的思維活動(dòng)過程，即“聯(lián)想發(fā)現(xiàn)→實(shí)驗(yàn)觀察→歸納猜想→推理論證”的過程，大量存在于各類問題解決活動(dòng)中。在學(xué)習(xí)階段經(jīng)歷這樣的過程，無論是從感悟數(shù)學(xué)思想的角度還是從積累思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的角度來講，對發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都具有重要的意義。

學(xué)生思維基礎(chǔ)和思維障礙分析：

學(xué)生在此前經(jīng)歷的平行線、角平分線、垂直平分線的性質(zhì)與判定的學(xué)習(xí)過程中積累的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是本課學(xué)習(xí)的思維基礎(chǔ)。此外，在此前幾何學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生對推理論證的必要性已經(jīng)有一定認(rèn)識(shí)，對全等三角形的判定有較為豐富的經(jīng)驗(yàn)，也有助于在本節(jié)課的探究活動(dòng)中主動(dòng)開展推理論證。在論證環(huán)節(jié)，初始的基礎(chǔ)只有定義，但學(xué)生的思維可能并不嚴(yán)密，會(huì)從實(shí)際成立但未經(jīng)論證的某個(gè)結(jié)論出發(fā)，在結(jié)論間互相進(jìn)行推理，造成循環(huán)論證，這反映出學(xué)生對公理化思想的理解不夠，但這也恰恰是使學(xué)生感悟公理化思想，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)推理素養(yǎng)的時(shí)機(jī)。

主要教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)與實(shí)施：

1.回憶舊知，提出課題

問題：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形的概念和性質(zhì)，由平行四邊的性質(zhì)我們可以知道它在邊、角和對角線方面具備一些特殊屬性。反之，對于一個(gè)四邊形，具備什么特點(diǎn)時(shí)，就可以判定該四邊形是平行四邊形呢？說明：如果學(xué)生有困難，教師可以提示學(xué)生回憶平行四邊形有哪些性質(zhì)，提示學(xué)生借助此前學(xué)習(xí)平行線、角平分線和垂直平分線的研究經(jīng)驗(yàn)。

2.問題探究，獲取新知

活動(dòng)：教師請學(xué)生分組進(jìn)行探究和猜想，學(xué)生可以利用不同長度的小紙條作為輔助學(xué)具，動(dòng)手拼擺，通過觀察提出猜想，將一個(gè)猜想寫在一張預(yù)先準(zhǔn)備好的長紙條上，并將本組寫好的紙條貼到黑板上來。說明：教師應(yīng)給予學(xué)生充分的探究時(shí)間和空間，對學(xué)生提出的猜想暫不給出正誤方面的判斷，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想。

問題1：這些猜想是如何想到的？請部分學(xué)生進(jìn)行說明，并結(jié)合說明過程，對黑板上貼的紙條進(jìn)行分類整理。說明：教師應(yīng)幫助學(xué)生將雜亂的思維逐步梳理至有序。根據(jù)條件的內(nèi)容，提出的結(jié)論大致可分為：定義、性質(zhì)定理的逆命題，摘取性質(zhì)定理中的部分條件進(jìn)行重組構(gòu)成的命題。整理過程中，將黑板上的紙條根據(jù)條件的內(nèi)容進(jìn)行分類，同類的排在一起，另外也可以對寫有相同結(jié)論的紙條統(tǒng)計(jì)出現(xiàn)頻數(shù)后，將多余的重復(fù)紙條摘去。

問題2：在黑板上的結(jié)論中，你能肯定哪些是正確的？請學(xué)生發(fā)表意見，交流證明過程或思路。說明：教師要關(guān)注學(xué)生是否會(huì)出現(xiàn)從新提出還未經(jīng)論證的某個(gè)結(jié)論出發(fā)，在結(jié)論間進(jìn)行互推的現(xiàn)象，必要時(shí)加以提示；如果學(xué)生形成了多種證明方法，應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生對不同方法進(jìn)行比較和分析。

問題3：在黑板上的結(jié)論中，你能肯定哪些是錯(cuò)誤的？請學(xué)生舉出反例。說明：教師要關(guān)注學(xué)生在舉反例時(shí)語言表達(dá)和圖形呈現(xiàn)的適當(dāng)使用，給學(xué)生充分的交流時(shí)間。

3.總結(jié)提升，承上啟下

教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞以下問題進(jìn)行小結(jié)：本節(jié)課我們得到了平行四邊形的哪些判定方法？我們是怎樣得出這些判定方法的？這樣的探索過程對你有什么啟發(fā)？

教師布置選做作業(yè)：本節(jié)課提出的結(jié)論中，還有一些暫時(shí)難以判斷正誤，請你課下繼續(xù)思考，正確的給出證明，錯(cuò)誤的舉出反例；如果你是教科書的編者，由你來設(shè)計(jì)平行四邊形的判定定理，你會(huì)把剛才證實(shí)的哪些真命題列入定理范圍？為什么？說明：在此環(huán)節(jié)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)關(guān)注思維方法方面的收獲。

（作者單位：中國人民大學(xué)附屬中學(xué)）