預應力纖維加固管線的屈曲理論分析研究★

王懿鑫 王汝恒 賈 彬

(西南科技大學土木工程與建筑學院，四川 綿陽 621010)

預應力纖維加固管線的屈曲理論分析研究★

王懿鑫 王汝恒 賈 彬

(西南科技大學土木工程與建筑學院，四川 綿陽 621010)

基于大撓度理論與小撓度理論，推導了管道在預應力作用下的臨界屈曲方程，并通過理論應用分析了影響臨界屈曲的因素，結(jié)果表明：徑厚比和鋼管等級對鋼管的臨界屈曲影響較大，隨著徑厚比的降低，鋼管等級的提高，臨界屈曲應力也得到提高。

鋼管,臨界屈曲,大撓度理論，小撓度理論

0 引言

鋼管在運行過程中，可能受到多種荷載作用，多年運行之后，難免會發(fā)生破壞?，F(xiàn)如今，國內(nèi)外對于存在缺陷的管道進行修復或者提高管道承受內(nèi)壓能力的方法很多，例如焊接修復補強類型，夾具修復補強類型，內(nèi)襯修復補強類型[1]。近年來，采用預應力纖維加固損傷鋼管的技術(shù)受到了人們的青睞[2,3]。采用預應力FRP加固鋼管，不僅可以提高鋼管承受內(nèi)壓的能力，還能恢復結(jié)構(gòu)變形。隨著現(xiàn)代技術(shù)的發(fā)展，如今工程所用的管道其強度越來越高，厚度越來越薄，由于鋼管在正常運行中，還受到了諸如土壓力、溫度應力等的作用，而鋼管在預應力作用下，綜合各類荷載，可能會發(fā)生屈曲問題。

目前針對管道問題的研究主要集中在管道在外壓作用下、軸向荷載作用下的臨界屈曲研究，以及探討影響管道臨界屈曲的主要因素。孫彥彥[4]通過有限元分析方法，對鋼管在內(nèi)壓和彎曲載荷聯(lián)合作用下的數(shù)值仿真計算，發(fā)現(xiàn)徑厚比、內(nèi)壓、鋼級對臨界屈曲應變有較大影響；張華等人[5]通過量綱分析獲得了臨界壓縮屈曲應變公式和彎曲臨界屈曲應變公式，并分析了影響臨界屈曲應變的主要因素；李明哲[6]采用有限元手段分析了失穩(wěn)因素對管道截面穩(wěn)定性的影響，發(fā)現(xiàn)水平撓度是判定管道截面穩(wěn)定性的重要指標；Bresses[7]運用小變形理論，對薄壁圓環(huán)在均勻外壓下的臨界屈曲進行了研究，并得出薄壁圓環(huán)在均勻外壓作用下的臨界屈曲公式；Fairbairn[8]對薄壁鋼管在均勻外壓下的屈曲進行了試驗研究，管道的徑厚比對于薄壁管道承受均勻外壓的臨界屈曲起著主要作用。

預應力作用下，當達到或超過管道承受的臨界壓力時，由于管道具有薄壁特點，屬于薄殼結(jié)構(gòu)，管道圓形截面不穩(wěn)定，管道徑向方向產(chǎn)生較大變形，在管道的運行過程中，可能會受到局荷載的作用，使得管道發(fā)生局部屈曲問題。在外壓作用下傳統(tǒng)的研究

方法是基于小撓度理論，未考慮初始屈曲和管線變形時的幾何非線性的影響；本文采用小撓度理論和大撓度理論對預應力纖維加固鋼管的臨界屈曲展開研究，分析二者的差異性，并對影響管道的臨界屈曲的相關(guān)因素進行探討。

1 基于大撓度理論下的臨界屈曲

判別臨界狀態(tài)的穩(wěn)定準則分為兩類，平衡的小穩(wěn)定性準則和大穩(wěn)定性準則。平衡的小穩(wěn)定性準則以小撓度線性理論為基礎(chǔ)，而后者是以大撓度為基礎(chǔ)建立起來的穩(wěn)定性準則。

設管道的半徑為R，計算長度為R，對半徑為R、長為L的圓柱殼沿軸向，徑向采用右手坐標系，其內(nèi)任一點P坐標的表示x,θ和z,x為該點到端部的軸向距離，θ為環(huán)向轉(zhuǎn)角坐標，z為該點距中面的距離。另外,環(huán)向坐標還可用y表示，y=Rθ。其坐標建立如圖1所示。

在體力素中，沿x,y方向的平衡方程中忽略剪切力的影響，在曲率改變中，忽略u,v位移的影響。

位移和荷載不成線性關(guān)系的彈性力學稱為非線性彈性力學，引起非線性彈性力學的因素很多，主要是從幾何變形關(guān)系、物理關(guān)系、平衡關(guān)系去進行分析。產(chǎn)生非線性的根源有兩種：一是應變和位移之間的非線性；二是有限的變形物體需要根據(jù)變形后的關(guān)系建立平衡方程。而這都是屬于集合非線性問題。在大變形的情況下，材料的應力—應變不再是線性關(guān)系，而是非線性關(guān)系，這類問題屬于物理非線性。

鋼管在預應力作用下其母線是水平的，并且平行于x軸，單元體是由兩相鄰母線和兩垂直于母線的兩個截面構(gòu)成，其位置由x和角度θ決定，作用在單元體上的力如圖2所示。

根據(jù)圖2可得管道的平衡方程：

(1)

(2)

(3)

同理，可得單元體力矩平衡方程：

(4)

(5)

考慮初始曲率以及幾何非線性的影響，可得彎曲中面應變方程：

(6)

(7)

(8)

由應變方程可得中面應變變形協(xié)調(diào)方程：

(9)

由胡克定律可知，彈性殼體的物理方程為：

(10)

(11)

(12)

(13)

由變形協(xié)調(diào)方程、力和力矩平衡方程，可得管道屈曲時的控制微分方程：

(14)

設滿足簡支邊界條件的屈曲撓度函數(shù)為：

(15)

其中，L為管道軸向方向的計算長度;R為管道半徑。

由上可得管道能承受的極限預應力為：

(16)

(17)

基于大撓度理論，考慮初始曲率和變形后的彎曲變形的影響，建立了管道在預應力作用下的控制微分方程，通過簡支邊界條件的屈曲撓度函數(shù)，獲得了管道在預應力作用下的屈曲控制方程。

2 基于小撓度理論下的臨界屈曲公式

鋼管在預應力作用下其母線是水平的，并且平行于x軸，單元體是由兩相鄰母線和兩垂直于母線的兩個截面構(gòu)成，其位置由x和角度θ決定，作用在單元體上的力如圖3所示。

由于不考慮初始曲率和管道彎曲變形后的影響，則其應變方程為：

(18)

(19)

由圖3可得：

(20)

(21)

由胡克定律可得：

(22)

(23)

由對稱性可知在圓周方向曲率沒有變化。x方向的曲率為-d2ω/dx2,則有：

(24)

由此可得鋼管的撓度微分方程為：

(25)

解此微分方程，并利用邊界條件可得:

(26)

管道在荷載對稱中心處取得極限應變：

(27)

而當ε=εmax，可求得極限外壓q2:

(28)

3 理論應用及影響臨界屈曲因素分析

為了探討基于大撓度理論和小撓度理論之間是否存在較大差異，本文進行了案例應用分析，并探討了影響管道在預應力作用下發(fā)生臨界屈曲的相關(guān)因素。理論應用分析中，主要分析了徑厚比、鋼管等級對管道臨界屈曲的影響。

目前服役管道的徑厚比主要集中在30～100之間。據(jù)加拿大CSA S16.1—1994規(guī)定，當D/t≤13 000/Fy，管道在屈曲時全截面進入塑性狀態(tài)；當D/t≤66 000/Fy，管道在截面全塑形彎矩發(fā)展前進入全塑性狀態(tài)；當D/t≤18 000/Fy，管道破壞介于兩者之間。為了使所研究的內(nèi)容能包含以上3種失效類型，徑厚比選擇30,50,70,90。對鋼管等級選擇X42,X56,X65,X80(見表1)。

表1 工程工況

圖4～圖7表達的是通過大撓度理論和小撓度理論計算下的預應力極值的對比分析圖，依據(jù)圖4～圖7可以看出，通過小撓度理論得出的結(jié)構(gòu)均比通過大撓度理論計算的理論值較低，這是因為通過小撓度理論得出的公式未考慮管道的初始曲率的影響，并忽略了管道變形后對其產(chǎn)生的影響，所以最后的計算結(jié)果比通過大撓度理論計算出來的結(jié)果高一些，二者產(chǎn)生的誤差均在5%～20%之間。

從圖4～圖7中可以看出，管道的徑厚比對管道的屈曲影響很大，從圖4～圖7可以看出，隨徑厚比的增加，管道所承受的臨界

屈曲應力呈線性降低，由此可見，管道的徑厚比對管道臨界屈曲影響較大。由于管道的剛度與管道厚度的三次方成正比，隨著管道徑厚比的增加，管道的厚度相較于管道的直徑在減小，管道的剛度也在降低，而管道抵抗變形的能力也在降低。

鋼管的臨界屈曲應力隨著鋼管等級的增加而增加。管道的彈性模量和屈服強度隨著鋼管等級的增加而增加，而管道的剛度與管道的彈性模量成正比，隨著管道等級的提高，材料的屈服強度也相應增加。所以，管道的整體剛度隨管道等級的提高而提高，承受外壓的能力也相應提高。

4 結(jié)語

本文采用理論應用分析的方法，對管道在預應力作用下的臨界屈曲展開研究，分別采用大撓度理論和小撓度理論的分析方法，建立了管道在預應力下的臨界屈曲公式，并對此進行了理論應用分析，得出結(jié)論如下：

1)本文建立了預應力纖維加固鋼管的模型，基于大撓度理論，考慮初始屈曲和變形后的影響，建立了管道屈曲時的控制微分方程，依據(jù)簡支邊界條件的屈曲撓度函數(shù)方程，推導出了管道的臨界屈曲方程；基于小撓度理論，不考慮初始屈曲和變形后的影響，建立了管道在預應力作用下的屈曲方程。

2)通過理論應用分析，比較了基于大撓度理論和小撓度理論得出的臨界屈曲預應力極值，通過比較發(fā)現(xiàn)，基于小撓度理論的結(jié)算結(jié)果均比基于大撓度理論得出的結(jié)果高，二者差異在5%～20%之間。

3)徑厚比是影響管道臨界屈曲的關(guān)鍵因素，臨界屈曲應力隨著徑厚比的增加而呈線性降低；對管道臨界屈曲影響較為明顯的因素還有鋼管等級，隨著鋼管等級的提高，臨界屈曲應力也相應提高。

[1] 張志偉.碳纖維布加固壓力管道強度研究[D].綿陽：西南科技大學,2014.

[2] 盧亦焱.預應力FRP加固工程結(jié)構(gòu)技術(shù)研究進展[J].中國工程科學,2008(8):40-44.

[3] 盧 毅.預應力玄武巖纖維布加固鋼管的預應力損失研究[J].工業(yè)建筑，2015,45(6)：22-26.

[4] 孫彥彥.在內(nèi)壓和彎曲載荷下鋼管臨界屈曲應變的確定[J].油氣儲運,2013,32(9):1022-1026.

[5] 張 華.基于量綱分析的管道臨界屈曲應變準則研究[J].焊管，2008,31(6)：90-93.

[6] 李明哲.大口徑高等級鋼埋地管道截面穩(wěn)定性研究[D].成都：西南石油大學,2014.

[7] M.Bresse.Cours de mechaniqué,second edition,Paris,2007.

[8] W.Fairbrain.On the resistaince of tubes to collapse[J].Philophical transactions of the royal society of London，2012(148):389-413.

On buckling theory of prestressed fiber reinforcement pipelines★

Wang Yixin Wang Ruheng Jia Bin

(CollegeofCivilEngineeringandArchitecture,SouthwestUniversityofScienceandTechnology,Mianyang621010,China)

Based on the large deflection and small deflection theories, the paper induces the pipelines’ critical buckling equation, analyzes the factors affecting the buckling with the theories, and proves that the radius-thickness ratio and steel pipe grades have more influence on the critical buckling of the pipe and that the critical buckling stress increases along with the grades under the reduction of the radius-thickness ratio.

steel pipe, critical buckling, large deflection theory, small deflection theory

1009-6825(2017)05-0039-03

2016-12-04★:國家自然科學基金資助項目(51408513)；四川省科技計劃資助項目(2014HH0062)

王懿鑫(1990- )，男，在讀碩士

TU311

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