關(guān)于連續(xù)函數(shù)極值求法的分析

朱鵬翚

（安徽大學(xué)江淮學(xué)院，安徽合肥230000）

關(guān)于連續(xù)函數(shù)極值求法的分析

朱鵬翚

（安徽大學(xué)江淮學(xué)院，安徽合肥230000）

無論是在自然科學(xué)中還是社會(huì)科學(xué)中，都存在較多的函數(shù)極值問題.連續(xù)函數(shù)極值，就是連續(xù)函數(shù)在一定區(qū)域內(nèi)的極大值和極小值.而連續(xù)函數(shù)可以被劃分為一元連續(xù)函數(shù)和多元連續(xù)函數(shù)，在極值求取時(shí)則可以進(jìn)行分別討論.基于這種認(rèn)識(shí)，本文在解釋連續(xù)函數(shù)和極值定義的基礎(chǔ)上，分別對(duì)一元連續(xù)函數(shù)和多元連續(xù)函數(shù)的極值問題進(jìn)行了分析，并提出了連續(xù)函數(shù)的極值求法，以期為關(guān)注這一話題的人們提供參考.

連續(xù)函數(shù)；極值；求法

在自然界中，氣溫變化、植物生長等現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映就是函數(shù)的連續(xù)性.而在現(xiàn)實(shí)社會(huì)的各個(gè)研究鄰域，連續(xù)函數(shù)極值問題也都得到了廣泛研究.其中，一元函數(shù)和二元函數(shù)與實(shí)踐有著緊密聯(lián)系，所以得到了更多研究.但實(shí)際上，多元連續(xù)函數(shù)也能夠得到應(yīng)用，所以也應(yīng)對(duì)其極值求解問題展開分析.因此，還應(yīng)加強(qiáng)連續(xù)函數(shù)極值求法的分析，以便更好的解決連續(xù)函數(shù)的極值問題.

1 連續(xù)函數(shù)及極值的定義

1.1 連續(xù)函數(shù)

從定義上來看，假設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0鄰域內(nèi)存在定義，并且滿足，就可以認(rèn)為函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，并且將該點(diǎn)當(dāng)成是函數(shù)的連續(xù)點(diǎn).假設(shè)該函數(shù)在(a,b]內(nèi)有定義，并且在x=b左極限存在f (x)=f(b)，則函數(shù)在點(diǎn)b左連續(xù).假設(shè)該函數(shù)在[a,b)內(nèi)有定義，并且在x=a右極限存在f(x)=f(a)，則函數(shù)在點(diǎn)a右連續(xù).假設(shè)該函數(shù)在(a,b）內(nèi)有定義，并且在a點(diǎn)和b點(diǎn)連續(xù)，可認(rèn)為函數(shù)在[a,b]整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)，因此可以認(rèn)為函數(shù)為連續(xù)函數(shù)[1].由上述定義可知，想要使函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，應(yīng)確保其在該點(diǎn)左右都連續(xù).

由極限的定義，可以將上述定義轉(zhuǎn)化為另一個(gè)定義，即假設(shè)x從初值x1變到終值x2，其在x1處的增量為△x=x2-x1.而△x既可以為正數(shù)，也可以為負(fù)數(shù).在變量發(fā)生變化的條件下，函數(shù)值也隨之變化，得到的增量為△y.如果△x=x-x0，可以將x→x0等價(jià)為△x→0，因此.結(jié)合極限定義，可知|f(x0+△x)-f(x0)|=|△y|，可得函數(shù)連續(xù)另一個(gè)定義.由這一定義可知，在自變量在某點(diǎn)的增量無限接近0時(shí)，函數(shù)值增量也無限接近0，因此可以說明函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).

1.2 函數(shù)極值

極值的概念，實(shí)際上就是數(shù)學(xué)應(yīng)用中的最大值和最小值問題.在數(shù)學(xué)概念中，函數(shù)的極大值與極小值被一同稱為函數(shù)的極值.假設(shè)在x0附近存在函數(shù)f(x)，并且該函數(shù)有定義.如果函數(shù)在x0的去心鄰域中存在f（x）＜f（x0），可認(rèn)為f(x0)為函數(shù)的一個(gè)極大值；如果函數(shù)在x0的去心鄰域中存在f（x）＞f（x0），可認(rèn)為f(x0)為函數(shù)的一個(gè)極小值，因此函數(shù)對(duì)應(yīng)的極值點(diǎn)為x0.而極值點(diǎn)就是函數(shù)取得極值的點(diǎn)，在有界區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)應(yīng)存在最大值和最小值，但是如何確定函數(shù)在哪些點(diǎn)取得最大值或最小值卻是值得考慮的問題.如果極值點(diǎn)不為邊界點(diǎn)，就一定為內(nèi)點(diǎn)，所以還應(yīng)考慮內(nèi)點(diǎn)成為極值點(diǎn)的必要條件.假設(shè)函數(shù)的某一點(diǎn)在一個(gè)鄰域中，并且函數(shù)在該鄰域中每個(gè)點(diǎn)都存在定義，同時(shí)該點(diǎn)函數(shù)為最大值或最小值，說明該點(diǎn)為函數(shù)極值點(diǎn).如果該點(diǎn)的函數(shù)值比鄰域內(nèi)其他各點(diǎn)的函數(shù)值都大或都小，說明該點(diǎn)為極值點(diǎn)[2].此外，在極值點(diǎn)的左右，函數(shù)有不同的增減性.假設(shè)極值點(diǎn)左方鄰域內(nèi)函數(shù)呈單調(diào)遞增，右方就為單調(diào)遞減.從函數(shù)圖像上來看，極值點(diǎn)為極大值或者極小值點(diǎn)的橫坐標(biāo).但是，極值雖然為函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)的取值，卻不一定為整個(gè)函數(shù)定義域內(nèi)的最大值或最小值.

2 連續(xù)函數(shù)極值問題的提出

在連續(xù)函數(shù)極值求解方面，多數(shù)研究都集中在一元連續(xù)函數(shù)和二元連續(xù)函數(shù)的極值問題分析上，多利用求導(dǎo)方法進(jìn)行函數(shù)極值點(diǎn)的判斷，然后進(jìn)行函數(shù)極值求取.但在現(xiàn)實(shí)生活中，三元以上連續(xù)函數(shù)極值問題也將給人們探索極值問題帶來了困擾.而根據(jù)連續(xù)函數(shù)在極值點(diǎn)的微分特征，不僅能夠?qū)σ辉B續(xù)函數(shù)和二元連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)進(jìn)行確定，還能進(jìn)行三元以上連續(xù)函數(shù)極值的求取.因此，還應(yīng)從微分角度對(duì)連續(xù)函數(shù)的極值問題展開分析，以便完成連續(xù)函數(shù)極值求法的總結(jié)和分析.

2.1 一元連續(xù)函數(shù)極值問題

在求解一元連續(xù)函數(shù)的極值問題時(shí)，還應(yīng)先確認(rèn)極值存在的第一充分條件.即設(shè)f(x)在x0處連續(xù)，并在其去心鄰域U（x0）處可導(dǎo)，則可以得到：

若x∈(x0-δ，x0)時(shí)，f'(x)＞0，x∈(x0，x0+δ)，f'(x)＜0，則x0處的f(x)值極大；若x∈(x0-δ，x0)時(shí)，f'(x)＜0，x∈(x0，x0+δ)，f'(x)＞0，則x0處的f(x)值極?。蝗魓∈(x，δ)時(shí)，f'(x)符號(hào)沒有變化，則不存在極值.

從可微角度分析一元連續(xù)函數(shù)的極值問題，一元函數(shù)的極值點(diǎn)可能為駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)，假設(shè)x=x0，函數(shù)在點(diǎn)x的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，而△x為函數(shù)在點(diǎn)x0處的增量，其為負(fù)增量時(shí)x0+△x為左鄰域點(diǎn)，反之則為右鄰域點(diǎn).為簡化問題的分析，可假設(shè)函數(shù)自變量微分dx與△x擁有相同正負(fù)符號(hào)，所以在點(diǎn)x0+△x上存在dy=f'（x0+△x）△x.

首先，如果x0為函數(shù)極大值，則會(huì)在該點(diǎn)形成圖像上凸情況，函數(shù)左鄰域?qū)?yán)格遞增，可得dy＜0.同時(shí)，函數(shù)右鄰域?qū)?yán)格遞減，dy＜0，因此在極大值點(diǎn)去心鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，函數(shù)微分dy均為負(fù)值.

其次，如果x0為函數(shù)極小值，則會(huì)在該點(diǎn)形成圖像下凹情況，函數(shù)左鄰域?qū)?yán)格遞減，可得dy＞0.同時(shí)，函數(shù)右鄰域?qū)?yán)格遞增，dy＞0，因此在極大值點(diǎn)去心鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，函數(shù)微分dy均為正值.

再者，如果x0不是函數(shù)極值點(diǎn)，在x0的某鄰域內(nèi)，該點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)擁有相同單調(diào)性，所以可得dy≥0或dy≤0.由于假設(shè)自變量微分為正負(fù)，所以dy可能為正數(shù)、負(fù)數(shù)或零.

通過綜合分析可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一元連續(xù)函數(shù)來講，x0為駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)，△x為足夠小的增量，使得函數(shù)在x0的去心鄰域中可導(dǎo).如果△x為負(fù)增量，x0+△x為左鄰域點(diǎn)，反之則為右鄰域點(diǎn).在該鄰域內(nèi)，任意一點(diǎn)x0+△x的微分dx都有對(duì)應(yīng)△x.若dy＜0，可得x0為極大值點(diǎn)；若dy＞0，可得x0為極小值點(diǎn)；若微分dy可能為正值、負(fù)值或零，可得x0不是函數(shù)極值點(diǎn).由此可見，極值點(diǎn)出現(xiàn)在函數(shù)的駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)處.

2.2 多元連續(xù)函數(shù)極值問題

在多元連續(xù)函數(shù)極值問題分析方面，二元連續(xù)函數(shù)極值問題是常見問題.從空間圖像角度來看，二元連續(xù)函數(shù)為連續(xù)曲面，極值點(diǎn)應(yīng)為駐點(diǎn)或不可微點(diǎn).但是，這些點(diǎn)卻并不一定是二元連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)[3].在極值點(diǎn)的位置，二元連續(xù)函數(shù)圖像同樣會(huì)出現(xiàn)向極值點(diǎn)擠逼的情況，所以該點(diǎn)的圖像會(huì)是上凸或下凹形狀.如果二元連續(xù)函數(shù)的駐點(diǎn)或不可微點(diǎn)處的圖像未出現(xiàn)這些現(xiàn)象，說明這些點(diǎn)不是極值點(diǎn).由于二元連續(xù)函數(shù)單調(diào)性分析較為復(fù)雜，所以可以利用函數(shù)微分進(jìn)行極值點(diǎn)的分析.在極值點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)，各點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值應(yīng)均比極值點(diǎn)大或小.因此，針對(duì)極值點(diǎn)的某可微去心鄰域，其中任意點(diǎn)都能通過約定自變量微分確定其屬于負(fù)值或正值.比如針對(duì)極大值點(diǎn)的可微去心鄰域，就可以認(rèn)定任意點(diǎn)自變量微分為負(fù)值[4].針對(duì)極小值點(diǎn)的可微去心鄰域，可認(rèn)定任意點(diǎn)自變量微分為正值.針對(duì)非極值點(diǎn)可微去心鄰域，可知任意點(diǎn)自變量微分無法確保正負(fù)一致.

在求解二元連續(xù)函數(shù)的極值問題時(shí)，還應(yīng)先確認(rèn)極值存在的第一充分條件.即設(shè)z=f(x，y)在(x0,y0)的去心鄰域有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足fx (x0,y0)=0和fy(x0,y0)=0，需要令A(yù)=fxx(x0,y0)，B=fxy(x0,y0)，C=fyy(x0,y0)，則可以得到：AC-B2＞0時(shí)，存在極值，若A＜0，存在極大值，若A＞0，存在極小值；若AC-B2＜0，則不存在極值；若AC-B2=0，則不確定是否存在極值.

從可微角度分析一元連續(xù)函數(shù)的極值問題，應(yīng)假設(shè)二元連續(xù)函數(shù)z=f(x,y)的駐點(diǎn)或不可微分點(diǎn)為（x0,y0），該點(diǎn)處任意足夠小的自變量x,y的增量分別為△x和△y，使函數(shù)在該點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)可微[5].約定附加條件：函數(shù)在點(diǎn)（x0+△x,y0+△y）處微分取△x和△y，所以該區(qū)域任意點(diǎn)微分為dz=f'x（x0+△x,y0+△y）△x+f'y（x0+△x,y0+△y）△y.在dz小于0的條件下，點(diǎn)（x0,y0）為函數(shù)極大值點(diǎn)；在dz大于0的條件下，點(diǎn)（x0,y0）為極小值點(diǎn)；在dz的值不確定的條件下，點(diǎn)（x0,y0）不為極值點(diǎn).

針對(duì)三元以上連續(xù)函數(shù)，也可以采用類似的方法進(jìn)行極值問題的分析.例如針對(duì)三元連續(xù)函數(shù)u=f(x,y,z)，駐點(diǎn)或不可微分點(diǎn)為（x0,y0,z0），該點(diǎn)處任意足夠小的自變量x,y,z的增量分別為△x、△y和△z，使函數(shù)在該點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)可微.約定附加條件：函數(shù)在點(diǎn)（x0+△x,y0+△y，z0+△z）處微分取△x、△y和△z，所以該區(qū)域任意點(diǎn)微分為du=f'x（x0+△x,y0+△y,z0+△z）△x+f'y（x0+△x,y0+△y,z0+△z）△y+f'z(x0+△x,y0+△y,z0+△z)△z.在du小于0的條件下，點(diǎn)（x0,y0,z0）為函數(shù)極大值點(diǎn)；在du大于0的條件下，點(diǎn)（x0,y0,zo）為極小值點(diǎn)；在du的值不確定的條件下，點(diǎn)（x0,y0,z0）不為極值點(diǎn).

3 連續(xù)函數(shù)極值求法分析

3.1 一元連續(xù)函數(shù)極值求法

在實(shí)際進(jìn)行一元連續(xù)函數(shù)單變量函數(shù)的極值求解時(shí)，可以采用一階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行函數(shù)可能極值點(diǎn)的求取，然后利用一階導(dǎo)數(shù)完成函數(shù)在這些點(diǎn)的兩側(cè)單調(diào)性的判斷.具體來講，就是先求導(dǎo)數(shù)f'(x)，然后求方程f"(x)=0的根，最后檢查f'(x)在函數(shù)圖象左右的值的符號(hào)[6].經(jīng)過檢查，如果左正右負(fù)，可得函數(shù)這個(gè)根為極大值點(diǎn).如果出現(xiàn)左負(fù)右正的情況，函數(shù)的這個(gè)根為極小值點(diǎn).另外，也可以借助二階導(dǎo)數(shù)在駐點(diǎn)的取值情況進(jìn)行函數(shù)必然極值點(diǎn)的確定，以完成函數(shù)極值的求解.

例1已知函數(shù)y=f(x)=(x2-1)3+1，求函數(shù)極值.

解：f'(x)=6x(x+1)2(x-1)2.由f"(x)=0，可得函數(shù)有-1、0和1這三個(gè)駐點(diǎn)，無可導(dǎo)點(diǎn).在x0+△x處，如果x0=-1，則dy=6（△x-1）（△x-2）2△3x.在增量△x為正，并且小于1的條件下，dy小于0；在增量△x為負(fù)的條件下，dy大于0；因此dy可能為正值或負(fù)值，-1不是函數(shù)極值點(diǎn).如果x0=1，則dy=6（△x+1）（△x+2）2△3x.在增量△x為正，并且小于1的條件下，dy大于0；在增量△x為負(fù)的條件下，dy小于0；因此dy可能為正值或負(fù)值，1不是函數(shù)極值點(diǎn).如果x0=0，則dy=6（△x+1）（△x-1）2△3x＞0，因此0是函數(shù)極值點(diǎn).經(jīng)過計(jì)算，函數(shù)極小值為0.

由此可見，連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)必為函數(shù)駐點(diǎn)，函數(shù)駐點(diǎn)卻不一定為函數(shù)極值點(diǎn).因此，想要求解一元連續(xù)函數(shù)的極值時(shí)，還要對(duì)求導(dǎo)無意義的點(diǎn)進(jìn)行討論.在實(shí)際求解時(shí)，還要先將dy=0的根和無意義點(diǎn)進(jìn)行求解，然后將這些點(diǎn)列為可疑點(diǎn)，并利用極值點(diǎn)定義進(jìn)行判斷[7].

3.2 多元連續(xù)函數(shù)極值求法

針對(duì)二元連續(xù)函數(shù)，在求取極值時(shí)還要利用一階導(dǎo)數(shù)完成駐點(diǎn)求取，然后利用其連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)對(duì)駐點(diǎn)的取值情況進(jìn)行分析，以實(shí)現(xiàn)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)的判斷.具體在分析過程中，假設(shè)二元連續(xù)函數(shù)z=f(x,y)，應(yīng)先設(shè)f'x(x,y)=0和f'y(x,y)=0，然后進(jìn)行所有實(shí)數(shù)解的求取，以獲得一切駐點(diǎn).針對(duì)各駐點(diǎn)(x0,y0)，應(yīng)進(jìn)行二階偏導(dǎo)數(shù)值的求解[8].根據(jù)二階偏導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，可判定f(x0,y0)是否是極值，從而確定函數(shù)的極值點(diǎn).

例2已知函數(shù)z=f(x,y)=x3+y3-3xy，求函數(shù)極值.

解f'x(x,y)=3x2-3y,f'x(x,y)=3y2-3x.由f'x(x,y)=0和f'y(x,y)=0，可得函數(shù)有（0,0）和（1,1）這兩個(gè)駐點(diǎn)，無不可微點(diǎn).在（x0+△x,y0+△y）處，如果x0=y0=0，則dz=3（△x-△y）2+3△2x（△x+1）+3△2y（△y+1）.在增量△x大于-1，并且△y也大于-1時(shí)，dz大于0，所以（1,1）是函數(shù)極小值點(diǎn).經(jīng)過計(jì)算，該二元連續(xù)函數(shù)的極小值為-1.

采取一元連續(xù)函數(shù)和二元連續(xù)函數(shù)的極值求法，同樣也可以求解多元連續(xù)函數(shù)極值問題.例如，在求解三元連續(xù)函數(shù)的極值時(shí)，可以先進(jìn)行函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求解[9].而通過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)無駐點(diǎn)，但存在（0,0,0）這一不可微點(diǎn).為判斷該點(diǎn)是否為函數(shù)極值點(diǎn)，還應(yīng)在任意點(diǎn)（x0+△x,y0+△y，z0+△z）處進(jìn)行微分du的計(jì)算.經(jīng)過計(jì)算可得，du大于零，所以該點(diǎn)為函數(shù)的極小值點(diǎn)，函數(shù)極小值則為0.

4 結(jié)論

極值作為函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，得到了廣泛應(yīng)用.而在實(shí)際應(yīng)用連續(xù)函數(shù)極值時(shí)，還應(yīng)掌握極值的求法，才能真正利用函數(shù)極值求解實(shí)際問題.從本文的分析來看，在求解連續(xù)函數(shù)極值問題時(shí)，由于極值點(diǎn)應(yīng)為駐點(diǎn)或不可微點(diǎn).所以可以通過求導(dǎo)進(jìn)行函數(shù)極值點(diǎn)的判斷，然后進(jìn)行函數(shù)極值求取.采取該種方法，不僅能夠完成一元連續(xù)函數(shù)和二元連續(xù)函數(shù)的極值求取，也能解決三元以上連續(xù)函數(shù)的極值求取問題.

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2016-11-26

池州市非金屬材料研究中心項(xiàng)目(XKY201406)