Henstock積分Newton-Leibniz公式的簡捷證明

李偉

(集美大學(xué)理學(xué)院, 福建 廈門 361021)

宋述剛

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

Henstock積分Newton-Leibniz公式的簡捷證明

李偉

(集美大學(xué)理學(xué)院, 福建 廈門 361021)

宋述剛

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

Newton-Leibniz公式是微積分學(xué)基本定理的一個重要應(yīng)用，其建立了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)之間的聯(lián)系，使得計(jì)算定積分問題從求和式的極限轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的原函數(shù)值差的問題。在Riemann積分、Lebesgue積分、Newton積分和δ(x)精細(xì)分劃的基礎(chǔ)上，建立了Henstock積分有關(guān)的基本概念，簡述了Henstock引理及其證明，由此給出Henstock積分中的Newton-Leibniz公式，并給予簡捷證明。

Riemann積分；δ(x)精細(xì)分劃；Henstock積分；連續(xù)函數(shù)

Riemann積分[1](簡稱R-積分)建立之后，1902年在測度論[2]的基礎(chǔ)上又建立了Lebesgue積分[3](簡稱L-積分)。L-積分推廣了R-積分，但不是R-積分的全部推廣，比如廣義R-可積不一定是L-可積。從空間完備化觀點(diǎn)看，L-積分不過是C[a,b](連續(xù)函數(shù)類)中函數(shù)R-積分的一種完備化擴(kuò)張[4]，可見L-積分具有一定的局限性。因此，人們一直試圖尋找一種新的積分。1957～1958年，R.Henstock建立了一種完全Riemann型的積分，稱為Henstock積分[5](簡稱H-積分)。H-積分的本質(zhì)是“非絕對型”的，因此有時也稱之為非絕對型積分。H-積分既推廣了L-積分，又包括了Newton積分[6](簡稱N-積分)和反常R-積分。下面，筆者就非絕對型H-積分理論進(jìn)行研究：首先給出δ(x)精細(xì)分劃的定義，然后引進(jìn)區(qū)間[a,b]上的非絕對型H-積分，從而在Henstock引理的基礎(chǔ)上給出了H-積分中的Newton-Leibniz公式，并給予了簡捷證明。

1 相關(guān)定義與引理

定義1[7]設(shè)δ(x)為區(qū)間[a,b]上的正值函數(shù)，所謂[a,b]上的分劃D是δ(x)精細(xì)的，是指存在有序分點(diǎn)a=x0

ξi-δ(ξi)

即：

ξi∈[xi-1,xi]?(ξi-δ(ξi),ξi+δ(ξi))i=1,2,…,n

定義2[5]稱實(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上Henstock可積，其積分值為A，如果對?ε>0，?實(shí)函數(shù)δ(x)>0，對區(qū)間[a,b]上任作δ(x)精細(xì)分劃D：

a=x0

ξi∈[xi-1,xi]?(ξi-δ(ξi),ξi+δ(ξi))i=1,2,…,n

當(dāng)ξi∈[xi-1,xi]?(ξi-δ(ξi),ξi+δ(ξi))(i=1,2,…,n)時，總有：

或簡記為：

其中，[u,v]為分劃D中典型區(qū)間，滿足:

ξ-δ(ξ)

若f(x)在[a,b]上Henstock可積(以下簡稱為H-可積)，其積分記為：

定義2與R-積分不同之處在于：

1)R-積分定義中要求δ是正常數(shù)，這里的δ(x)為一正值函數(shù)而非常數(shù)；

2)R-積分定義中先取x1，x2，…，xn-1，再取ξ1，ξ2，…，ξn，此處先取ξ1，ξ2，…，ξn，對每一點(diǎn)ξi，有ξi∈[xi-1,xi]?(ξi-δ(ξi)，ξi+δ(ξi)),(i=1,2,…,n),假如以上區(qū)間組成一[a,b]的覆蓋，那么便能取x1，x2，…，xn-1符合以上條件。注意，集合{(ξ-δ(ξ),ξ+δ(ξ));ξ∈[a,b]}形成一開覆蓋，根據(jù)Heine-Borel有限覆蓋定理，肯定能找到一分劃D={[u,v];ξ}符合條件ξ-δ(ξ)

例1 令：

則f(x)在[0,1]上是H-可積的。

證明 ?ε>0，記[0,1]中的有理數(shù)為r1，r2，…。令：

取δ(x)精細(xì)分劃D={[u,v];ξ}，有(此處A=0)：

式中， ∑1表示各項(xiàng)f(ξ)(v-u)中ξ為有理數(shù)時之和。故f(x)為H-可積，且：

注：定義在[0,1]上的Dirichlet函數(shù)是R-不可積的[8]，但其是H-可積的，可見H-積分也是R-積分的推廣。

引理1 (Henstock引理[9]) 若f(x)在[a,b]上H-可積，且有原函數(shù)F(x)：

則?ε>0，?δ(x)>0,使得對[a,b]上的任何δ(x)精細(xì)子分劃：

a≤a1

ξi∈[ai,bi]?(ξi-δ(ξi),ξi+δ(ξi))i=1,2,…,n

有：

說明 精細(xì)子分劃是不要求[a,b]=∪[ai,bi]的精細(xì)分劃。

證明 由于f(x)在[a,b]上H-可積，故對?ε>0，在[a,b]上有δ(x)>0，凡δ(x)精細(xì)分劃所對應(yīng)的積分和，有：

這樣，每個Ji上的δi(x)精細(xì)分劃與ai,bi，ξi(i=1,2,…,n)構(gòu)成[a,b]上的δ(x)精細(xì)分劃，從而：

≤2ε

2 主要結(jié)論

定理1 若f(x)為[a,b]上N-可積，則f(x)于[a,b]上H-可積。

證明 因f(x)∈N，故?連續(xù)函數(shù)F(ξ)，有F′(ξ)=f(ξ)，其中ξ∈[a,b]，從而?ε>0，?δ(ξ)>0,當(dāng)ξ-δ(ξ)

|F(v)-F(u)-f(ξ)(v-u)|<ε(v-u)

任作[a,b]的δ(x)精細(xì)分劃D：

a=x0

ξi∈[xi-1,xi]?(ξi-δ(ξi),ξi+δ(ξi))i=1,2,…,n

則有:

=ε(b-a)

由ε的任意性得f(x)為H-可積。

定理2 設(shè)函數(shù)F(x)在[a,b]上連續(xù)，且在[a,b]中除去一零測集(測度為0的集)E外，F(xiàn)′(x)=f(x)，則f(x)在[a,b]上為H-可積，且：

證明 由假設(shè)令E={a1，a2，…}?[a,b]，?x∈[a,b]-E，有F′(x)=f(x)，故?ε>0，?δ(ξ)>0，ξ∈[a,b]-E,?u,v滿足ξ∈[u,v]?(ξ-δ(ξ),ξ+δ(ξ))時，恒有：

|F(v)-F(u)-f(ξ)(v-u)|<ε(v-u)

又因F(x)在[a,b]上連續(xù)，故當(dāng)ξ=ai時，?δi>0，使得當(dāng)u,v滿足ai∈[u,v]?[ai-δi,ai+δi]時，有：

|F(v)-F(u)|<ε·2-i

a=x0

ξi∈[xi-1,xi]?(ξi-δ(ξi),ξi+δ(ξi))i=1,2,…,n

有：

其中，[u,v]為區(qū)間[a,b]上分劃D的典型區(qū)間；∑分成2項(xiàng)部分和∑1與∑2，∑1取當(dāng)ξ∈[a,b]-E時的部分和，∑2=∑-∑1。上述不等式的第2項(xiàng)中，當(dāng)ξ=ai時，因：

故：

f(ai)(v-u)<ε·2-i

例2 設(shè)：

則：

f(x)滿足定理2的條件，但f(x)不是L-可積的，而是H-可積的。

3 結(jié)語

非絕對型H-積分推廣了L-積分，又包括了N-積分和反常R-積分。Newton-Leibniz公式在非絕對型H-積分理論中占有重要地位，但其證明在相關(guān)文獻(xiàn)中顯得較為復(fù)雜，筆者在Henstock引理的基礎(chǔ)上給出了該定理的一個簡捷證明，改進(jìn)了相關(guān)文獻(xiàn)中的證明方法。

[1]李成章.數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].第2版.北京：科學(xué)出版社，2016：196～201.

[2]DonaldLC.MeasureTheory[M].TheWorldBookPublishingCompany，2012：75～78.

[3] 王晶昕，王煒，任詠紅.實(shí)變函數(shù)論[M].北京：科學(xué)出版社，2016：68～86.

[4] 李忠寧.關(guān)于R可積函數(shù)空間的完備化[J].河西學(xué)院學(xué)報，2010,26(5)：14～18.

[5]HenstockR.Lecturesonthetheoryintegration[M].WorldScientific，1988：13～19.

[6] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊)[M].第7版.北京：高等教育出版社，2014：238～243.

[7] 丁傳松，李秉彝.廣義黎曼積分[M]. 北京：科學(xué)出版社，1989：5～8.

[8] 何越.狄利克雷函數(shù)與黎曼函數(shù)的性質(zhì)[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2013,22(4)：25～27.

[9]YeeLP.LanzhouLecturesonHenstockIntegration[M].WorldScientific,1989：15～65.

[編輯] 洪云飛

2016-11-15

福建省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2015J01585)。

李偉(1962-)，男，副教授，現(xiàn)主要從事函數(shù)論方面的教學(xué)與研究工作。

宋述剛(1961-)，男，教授，現(xiàn)主要從事函數(shù)論方面的教學(xué)與研究工作，2712281782@qq.com。

O171.2

A

1673-1409(2017)01-0040-04

[引著格式]李偉,宋述剛.Henstock積分Newton-Leibniz公式的簡捷證明[J].長江大學(xué)學(xué)報(自科版)，2017,14(1)：40～43.