自適應(yīng)正則化反演研究

周寧+紀(jì)偉+屈佳欣

摘 要：大地電磁測深（MT）是一種以天然電磁為場源勘探地下介質(zhì)的電性結(jié)構(gòu)，它的原理是以不同頻率電磁波趨膚深度來測量地表由高到低的不同電磁響應(yīng)，MT正演問題是給定大地的地下結(jié)構(gòu)參數(shù)，當(dāng)平面電磁波垂直入射到大地表面時，求出在地面的電磁響應(yīng)，而地球物理反問題一般情況都是不適定的，這需要我們增強(qiáng)反演結(jié)果的穩(wěn)定性，所以文章簡單介紹了正則化方法中的自適應(yīng)方法，通過加入一個先驗?zāi)Ｐ图s束條件來減少反演結(jié)果的非惟一性，該方法是針對正則化因子選取困難而提出來的，它是在反演計算中對數(shù)據(jù)擬合和模型約束的折衷和平衡。

關(guān)鍵詞：大地電磁測深；一維反演；自適應(yīng)正則化；正則化因子

1 概述

自適應(yīng)正則化反演算法發(fā)展有一段過程，它是針對正則化因子的選取困難而提出來的，我們都知道正則化因子其實是一個折衷因子，當(dāng)？琢過大的取時，那么總目標(biāo)數(shù)是模型約束為目標(biāo)，數(shù)據(jù)總體欠擬合；當(dāng)？琢取得過小時，總目標(biāo)函數(shù)會以數(shù)據(jù)擬合為目標(biāo)，忽略模型約束，所以如何正確的選取正則化因子直接會影響反演的結(jié)果。在正則化因子的選取上：

（1）前人更多研究的經(jīng)驗定值上，其中就包括兩種方法：一是無偏風(fēng)險估計，二是廣義交叉驗證方法，這種算法已經(jīng)不滿足于復(fù)雜的地下模型了。

（2）Hansen等提出了L曲線正則化方法，該方法的正則化因子選取比經(jīng)驗定值更近一步，因為正則化因子不是一個定值，認(rèn)為最佳的正則化因子在該曲線的最大曲率，然而這種方法也有不足之處，它受到的初始模型的影響很大。

（3）Costable等提出的occam反演，它是選取不斷靠近數(shù)據(jù)擬合期望值最大的正則化因子，不過該方法也受初始模型影響較大，不僅如此該方法還存在運(yùn)算量大的問題，在反演迭代過程中還得正演多次。

（4）經(jīng)過地球物理學(xué)者多年的研究和努力，新的正則化的反演方法不斷出現(xiàn)，其中就有正則化因子的選取自適應(yīng)調(diào)節(jié)，最著名是陳小斌等提出來的正則化因子是按CMD進(jìn)行選取，該方案是完全自適的，每次迭代選取數(shù)據(jù)擬合函數(shù)與模型約束函數(shù)的比值為正則化因子，該方法的有點(diǎn)在于每次迭代的正則化因子都在調(diào)節(jié)數(shù)據(jù)擬合和模型約束的平橫，具有較高的穩(wěn)定性。相對于這種正則化因子的選取方案。

2 原理

正則化反演的方法是通過正則化方程建立起來的，1977年，吉洪諾夫提出了正則化方程如下[6]：

上式中式中p？琢（m）是總目標(biāo)數(shù)，？準(zhǔn)（m）是觀測數(shù)據(jù)目標(biāo)函數(shù)，S（m）是模型穩(wěn)定約束目標(biāo)函數(shù)，？琢是正則化因子（權(quán)重因子）。上式中觀測數(shù)據(jù)目標(biāo)函數(shù)也就是觀測數(shù)據(jù)和預(yù)測數(shù)據(jù)的差平方，求取的方法采用模擬退火的迭代的方法。等式的后一項模型約束函數(shù)S（m）就是我們所提到的先驗?zāi)Ｐ图s束條件，有三種不同的構(gòu)建方法，一是最簡單模型，二是最平緩模型，三是最光滑模型，本文主要是陳小斌等提出來的每次迭代利用數(shù)據(jù)目標(biāo)函數(shù)與模型約束函數(shù)的比值，采取正則化因子完全自適應(yīng)，不必從外面輸入正則化因子，算是一種理想的自適應(yīng)條件的方法了。這種方法穩(wěn)定性強(qiáng)，收斂快，在MT反演中可行性很高。

3 模型試驗

本次是采用的三層Q型地電模型，將自適應(yīng)正則化和無正則化兩種反演方法來這兩進(jìn)行比較，假設(shè)反演計算的原始數(shù)據(jù)是由正演得到，厚度其模型參數(shù)設(shè)置為：各層的電阻率和？籽1=1000？贅·m，？籽2=300？贅·m，？籽3=50？贅·m，h1=50m，h2=1000m，頻率的 與 之間。圖（a）可知深部低阻能較好的反映出來，反演模型與原始模型曲線擬合很好。

通過在正演模型設(shè)置的基礎(chǔ)上，運(yùn)用了自適應(yīng)正則化反演方法來反映地下電性結(jié)構(gòu)，并取得了良好的反演結(jié)果，在不斷反演迭代過程中尋找到最佳正則化因子，自適應(yīng)方法的優(yōu)點(diǎn)是無需輸入任何外部經(jīng)驗值，只要是數(shù)據(jù)目標(biāo)函數(shù)和模型約束函數(shù)達(dá)到一個平衡，且都趨于極小化就可以了。這種方法更加能使得反演的結(jié)果更加穩(wěn)定并提高了解得唯一性。對比與無正則化反演結(jié)果，自適應(yīng)正則化反演明顯有很大的優(yōu)點(diǎn)。

4 結(jié)束語

在眾多大地電磁測深反演算法的中，如何提高反演結(jié)果的穩(wěn)定性和降低解的非唯一性，作者研究了很多的文獻(xiàn)之后，正則化反演的目前運(yùn)用的較廣泛，在選取正則化因子，在已有的算法中大多選取的是取經(jīng)驗定值，而陳小斌等提出來的正則化因子選取的方法是自適應(yīng)，該方法以全新的解決手段來優(yōu)化反演算法。通過本文的自適正則化反演模型分析，在所定的迭代范圍內(nèi)，能快速穩(wěn)定確定反演數(shù)據(jù)。

參考文獻(xiàn)

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