蝴蝶定理在仿射幾何中的推廣

黃一德，田秀蓉

（華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，廣東 廣州 510642）

蝴蝶定理在仿射幾何中的推廣

黃一德，田秀蓉

（華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，廣東 廣州 510642）

歷史上關(guān)于蝴蝶定理的各種推廣和證明,紛繁復(fù)雜.本文試圖整理出蝴蝶定理在保留中點(diǎn)的情況下,在仿射幾何中最好的推廣方式,并給出綜合法的證明.本文得到的主要結(jié)果是定理1,2,3,這三條定理可以包擴(kuò)蝴蝶定理在仿射幾何領(lǐng)域的各種推廣.最后通過定理4驗(yàn)證了上述結(jié)果.

蝴蝶定理；Desargues第2定理；仿射幾何

1 引言

蝴蝶定理自從1803年被提出,直到現(xiàn)在依然可以看到有關(guān)蝴蝶定理的論文發(fā)表.例如從1986年到2016年,國內(nèi)的期刊上主題是關(guān)于蝴蝶定理的論文,我們找到的就有110篇,而出現(xiàn)的有關(guān)證明也是數(shù)不勝數(shù).真有點(diǎn)讓人不知要領(lǐng).《大學(xué)》說：“止于至善.”那么蝴蝶定理的至善推廣和證明應(yīng)該是什么呢?本文試圖整理出蝴蝶定理在保留中點(diǎn)的情況下,在仿射幾何中最好推廣方式,并給出綜合法的證明.

2 歐氏幾何中的蝴蝶定理

蝴蝶定理最早提出的時(shí)候是一個(gè)歐氏幾何定理,可以敘述如下.

蝴蝶定理經(jīng)過一個(gè)圓的弦CC'的中點(diǎn)A作另外兩條弦ST和UV.直線CC'分別交直線SU,TV于點(diǎn)B,B'.那么A是B,B'的中點(diǎn)[1].

如果需要在蝴蝶定理中保留中點(diǎn)這個(gè)概念,那么在歐氏幾何中,應(yīng)該沒必要再討論蝴蝶定理的各種推廣了,也沒有必要在歐氏幾何中找蝴蝶定理的最反映問題本質(zhì)的證明,因?yàn)榘押ɡ淼膱A改為橢圓,雙曲線或拋物線,定理依然成立,而且證明并不需要涉及度量概念 (距離,角度等).例如1892年,John Casey用交比證明了蝴蝶定理[1].但如果不保留中點(diǎn)這個(gè)概念,蝴蝶定理還是有一些有意義的推廣的,例如A.Kandy的推廣[1].

3 蝴蝶定理在仿射幾何中的推廣

因?yàn)橹悬c(diǎn)是一個(gè)仿射不變量,所以如果需要在蝴蝶定理中保留中點(diǎn)這個(gè)概念,我們應(yīng)該在仿射幾何中推廣蝴蝶定理.本文的仿射幾何指的是實(shí)仿射幾何.我們知道,常常可以借助射影幾何研究仿射幾何,我們研究蝴蝶定理的工具就是Desargues第二定理.

Desargues第二定理設(shè)直線l與一個(gè)二階曲線束S相交,且l不過S的任一基點(diǎn),則與S的每一條二階曲線的一對交點(diǎn)都屬于同一個(gè)對合[2].

按照基點(diǎn)為4個(gè),退化為3個(gè)和退化為2個(gè),可以把Desargues第二定理分別敘述為三個(gè)定理, 見[3]第五章定理19,20,21.

為了在仿射幾何中推廣蝴蝶定理并給出綜合法的證明,我們先證明一個(gè)引理.

引理設(shè)l是一條平常直線,N是l上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn),σ是l上點(diǎn)列的一個(gè)對合.

(1)如果無窮遠(yuǎn)點(diǎn)N是σ的一個(gè)二重點(diǎn),那么σ在上的限制是關(guān)于另一個(gè)二重點(diǎn)M的反射.

(2)如果σ有兩個(gè)相異的平常的共軛點(diǎn)對,它們有相同的中點(diǎn)M,那么σ在l-{N}上的限制是關(guān)于點(diǎn)M的反射.

說明如果一個(gè)對合有一個(gè)二重元素,那么它有另一個(gè)不同于前者的二重元素([3]第四章定理27推論4).

證明(1)設(shè)A,A'是σ的一對平常的共軛點(diǎn),那么它們與M,N構(gòu)成調(diào)和共軛點(diǎn)對([3]第四章定理27推論1).因?yàn)镹是無窮遠(yuǎn)點(diǎn),所以M是A,A'的中點(diǎn).因此σ在l-{N}上的限制是關(guān)于點(diǎn)M的反射.

(2)設(shè)A,A'和B,B'是兩個(gè)相異的平常的共軛點(diǎn)對,它們有相同的中點(diǎn)M.令σ'是一個(gè)l上點(diǎn)列的對合,使得M和N是二重點(diǎn)(σ'是存在的,見[3]第四章定理27推論2).根據(jù)(1), σ'在l-{N}上的限制是關(guān)于點(diǎn)M的反射.因?yàn)棣液挺?在A,B上的作用相同,所以([3]第四章定理26推論).證畢.

定理1(仿射幾何中的蝴蝶定理) 令S,T,U,V是四個(gè)平常點(diǎn),其中任意三點(diǎn)不共線.設(shè)三條互異的二階曲線經(jīng)過這四個(gè)公共點(diǎn).又令不經(jīng)過這四個(gè)點(diǎn)的一條平常直線l與這三條二階曲線的三對交點(diǎn)分別是A,A',B,B',C,C'.于是如果有一對交點(diǎn)的兩個(gè)點(diǎn)都是直線l上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn),那么另外兩對交點(diǎn)有相同中點(diǎn).如果三對交點(diǎn)的點(diǎn)都是平常點(diǎn),并且其中兩對交點(diǎn)有相同中點(diǎn),那么這個(gè)點(diǎn)也是另外一對交點(diǎn)的中點(diǎn).

說明(1)顯然,三對交點(diǎn)的集合{A,A'},{B,B'},{C,C'}互不相交.

(2)l與一條非退化二階曲線的兩個(gè)交點(diǎn)重合,相當(dāng)于說l與這條非退化二階曲線相切于這個(gè)交點(diǎn).

(3)如果三對交點(diǎn)都是平常點(diǎn),并且其中一對交點(diǎn)重合,例如,如果A=A',那么定理的結(jié)論就相當(dāng)于說,A是B,B'的中點(diǎn)等價(jià)于A是C,C'的中點(diǎn).

(4)如果定理1所說的一條二階曲線是退化的,那么它是完全四點(diǎn)形STUV的一對對邊.

(5)如果定理1所說的一條二階曲線與l的兩個(gè)交點(diǎn)都是無窮遠(yuǎn)點(diǎn),那么或者這條二階曲線是完全四點(diǎn)形STUV的一對對邊,并且這對對邊平行于l,或者這條二階曲線是雙曲線,它的一條漸近線是l.

圖1畫的是這三條二階曲線有兩條退化,一條非退化時(shí)的示意圖.

圖1

證明根據(jù)[3]第五章定理19,這三對交點(diǎn)是同一個(gè)對合的三對共軛點(diǎn).如果A,A'都是直線l上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn),那么B,B',C,C;都是直線l上的平常點(diǎn),根據(jù)引理的(1),B,B'的中點(diǎn)與C,C'的中點(diǎn)相同.如果三對交點(diǎn)的點(diǎn)都是平常點(diǎn),并且A, A'與B,B'有相同的中點(diǎn),那么根據(jù)引理的(2),這個(gè)點(diǎn)也是C, C'的中點(diǎn).證畢.

定理1中的四個(gè)點(diǎn)可以退化為三個(gè)點(diǎn),這時(shí)定理按如下方式理解.

定理2(定理1的退化情形1)令T,U,V是不共線三個(gè)平常點(diǎn),t是經(jīng)過點(diǎn)T但不經(jīng)過U,V的直線.設(shè)三條互異的二階曲線屬于下列情形：與直線相切于T,并經(jīng)過U和V的非退化二階曲線,或直線對t,UV,或直線對TU,TV.又令不經(jīng)過T,U,V的一條平常直線l與這三條二階曲線的三對交點(diǎn)分別是A,A',B,B',C,C'.于是如果有一對交點(diǎn)的兩個(gè)點(diǎn)都是直線l上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn),那么另外兩對交點(diǎn)有相同中點(diǎn).如果三對交點(diǎn)的點(diǎn)都是平常點(diǎn),并且其中兩對交點(diǎn)有相同中點(diǎn),那么這個(gè)點(diǎn)也是另外一對交點(diǎn)的中點(diǎn).

說明如果定理2所說的一條二階曲線與l的兩個(gè)交點(diǎn)都是無窮遠(yuǎn)點(diǎn),那么或者這條二階曲線是直線對t,UV,并且t,UV平行于,或者這條二階曲線是雙曲線,它的一條漸近線是l.

圖2畫的是這三條二階曲線有兩條退化,一條非退化時(shí)的示意圖.

圖2

證明根據(jù)[3]第五章定理20,這三對交點(diǎn)是同一個(gè)對合的三對共軛點(diǎn).證明的其余部分可參考定理1的證明.證畢.

定理1中的四個(gè)點(diǎn)還可以退化為兩個(gè)點(diǎn),這時(shí)定理按如下方式理解.

定理3(定理1的退化情形2)令T,V是兩個(gè)不同的平常點(diǎn),t是經(jīng)過T但不經(jīng)過V的直線,v是經(jīng)過V但不經(jīng)過T的直線.設(shè)三條互異的二階曲線屬于下列情形：t與直線v和 分別相切于點(diǎn)T和V的非退化二階曲線,或直線對t,v,或重合直線對TV.又令不經(jīng)過T,V的一條平常直線l與這三條二階曲線的三對交點(diǎn)分別是A,A',B,B',C,C'.于是如果有一對交點(diǎn)的兩個(gè)點(diǎn)都是直線l上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn),那么另外兩對交點(diǎn)有相同中點(diǎn).如果三對交點(diǎn)的點(diǎn)都是平常點(diǎn),并且其中兩對交點(diǎn)有相同中點(diǎn),那么這個(gè)點(diǎn)也是另外一對交點(diǎn)的中點(diǎn).

說明如果定理3所說的一條二階曲線與l的兩個(gè)交點(diǎn)都是無窮遠(yuǎn)點(diǎn),那么或者這條二階曲線是直線對s,t,并且s,t平行于l,或者這條二階曲線是重合直線對ST,并且ST平行于 ,或者這條二階曲線是雙曲線,它的一條漸近線是.

圖3畫的是這三條二階曲線有兩條退化,一條非退化時(shí)的示意圖.

圖3

證明根據(jù)[3]第五章定理21,這三對交點(diǎn)是同一個(gè)對合的三對共軛點(diǎn).證明的其余部分可參考定理1的證明.證畢.

定理1,2,3可以包擴(kuò)蝴蝶定理在仿射幾何的各種推廣.

4 應(yīng)用舉例

根據(jù)定理1,2,3,在仿射平面上很容易得出不少蝴蝶定理的特例.我們舉一個(gè)稍微復(fù)雜一點(diǎn)的例子.

定理4設(shè)CC'DD'是平常的簡單四點(diǎn)形,S,T,U,V分別是直線CD,C'D',CD',C'D上的平常點(diǎn),其中任意三點(diǎn)不共線, {C'C'D'D'}和{S,T,U,V}不相交,并且四條直線CC',DD',ST,UV相交于點(diǎn)A.又令直線CC'與直線SU,TV的交點(diǎn)分別是B, B'.于是A是B,B'的中點(diǎn)等價(jià)于A是C,C'的中點(diǎn).

證明顯然CSTC'VU是一個(gè)簡單六點(diǎn)形,它的三對對邊的交點(diǎn)分別是D,A,D',而這三個(gè)點(diǎn)在一直線上,根據(jù)Pascal定理的逆定理,六點(diǎn)形CSTC'VU內(nèi)接于一條二階曲線.于是直線CC'與這條二階曲線以及直線對ST,UV,直線對SU,TV的三對交點(diǎn)分別是C,C',A,A,B,B'.根據(jù)定理1,A是B,B'的中點(diǎn)等價(jià)于A是C,C'的中點(diǎn).證畢.

在定理4中,如果把簡單四點(diǎn)形CC'DD'改為箏形,那么定理4就變?yōu)?990年全國數(shù)學(xué)冬令營競賽的一道試題.這樣一改,定理4就從仿射幾何問題變?yōu)闅W氏幾何問題,因?yàn)楣~形是歐氏幾何的概念.

〔1〕L.Bankoff.The Metamorphosis of the Butterfly Problem[J].Mathematics Magazine,1987,60(4)：195-210.

〔2〕鐘集.高等幾何[M].北京：高等教育出版社,1983.3.

〔3〕O.VeblenandJ.W.Young.Projective Geometry, Volume 1[M].Charleston：Biblio Bazaar,2009.

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1673-260X（2017）02-0004-02

2016-10-27