“問題驅(qū)動(dòng)”在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探討

陳佩樹，陳淼超，趙開斌

（巢湖學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 巢湖 238000）

“問題驅(qū)動(dòng)”在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探討

陳佩樹，陳淼超，趙開斌

（巢湖學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 巢湖 238000）

作為一種新型的教學(xué)模式，“問題驅(qū)動(dòng)”教學(xué)法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用.通過(guò)強(qiáng)化問題導(dǎo)向，可以引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中層層深入，自主探究解決問題，逐漸構(gòu)建起自身知識(shí)體系.本文立足高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，分析教學(xué)過(guò)程中存在的具體問題，探尋開展“問題驅(qū)動(dòng)”教學(xué)的有效路徑.

高等數(shù)學(xué)；問題驅(qū)動(dòng)；教學(xué)創(chuàng)新

在高等教育體系中，高等數(shù)學(xué)是重要的組成部分，同時(shí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).創(chuàng)新教學(xué)理念，改革教學(xué)方法，對(duì)于提升學(xué)生高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果，具有至關(guān)重要的意義[1].“問題驅(qū)動(dòng)”作為一種現(xiàn)代教學(xué)模式，強(qiáng)調(diào)踐行“生本理念”，以學(xué)生為教學(xué)主體，通過(guò)優(yōu)化課程設(shè)計(jì)，明確問題導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生層層深入[2].“問題驅(qū)動(dòng)”最早由美國(guó)實(shí)證教育學(xué)家杜威提出，是一種以解決實(shí)際問題為根本目的的教學(xué)方式，可以有效提升學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和自主性，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

1 “問題驅(qū)動(dòng)”模式在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的適用性

不同于一般的人文學(xué)科，高等數(shù)學(xué)具有較強(qiáng)的抽象性和邏輯性，學(xué)習(xí)難度較高，同時(shí)，高等數(shù)學(xué)又與現(xiàn)實(shí)生活緊密結(jié)合，是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中具體數(shù)學(xué)問題的抽象提煉.由于缺乏科學(xué)系統(tǒng)的指導(dǎo)，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，無(wú)法找到其中內(nèi)容在關(guān)聯(lián)和規(guī)律，導(dǎo)致了學(xué)習(xí)效率不高問題.從教學(xué)目標(biāo)來(lái)看，學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，就是為了指導(dǎo)其他學(xué)科學(xué)習(xí)，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際生活中的問題.舉例來(lái)說(shuō)，微積分是高等數(shù)學(xué)中的重要教學(xué)內(nèi)容，看似枯燥乏味，其實(shí)是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的提煉、假設(shè)和驗(yàn)證，具有極強(qiáng)的實(shí)踐性[3].在教學(xué)過(guò)程中，如果單純開展理論宣講，則存在一定的枯燥性，但是通過(guò)“問題驅(qū)動(dòng)”教學(xué)模式，可以有效提升課堂的針對(duì)性和指向性，將抽象知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生易于接受的具體問題.高等數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)性的理論學(xué)科，同時(shí)與物理、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，是進(jìn)行其他學(xué)科學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是解決其他學(xué)科的一個(gè)工具，具有極強(qiáng)的實(shí)用性.開展“問題驅(qū)動(dòng)”教學(xué)，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生解決具體問題，可以掌握相關(guān)的理論，提升高等數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)際效果.

2 在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用“問題驅(qū)動(dòng)”的具體策略

2.1 強(qiáng)化問題導(dǎo)向，構(gòu)建知識(shí)體系

開展“問題驅(qū)動(dòng)”教學(xué)，是一個(gè)螺旋式上升的學(xué)習(xí)過(guò)程[4,5].教師在進(jìn)行問題設(shè)計(jì)時(shí)候，要注重教學(xué)原理問題的設(shè)計(jì)，融入解題思路和數(shù)學(xué)觀念，幫助學(xué)生從基礎(chǔ)層面認(rèn)知數(shù)學(xué)，構(gòu)建數(shù)學(xué)與知識(shí)體系.舉例來(lái)說(shuō)，在產(chǎn)生導(dǎo)數(shù)概念的本原性問題上，主要是關(guān)于物理的速度與幾何上的切線.基于此，導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)都可以通過(guò)研究物理相關(guān)參數(shù)進(jìn)行導(dǎo)出，如果研究的是瞬時(shí)速度和曲線切線，則可以通過(guò)問題設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生抽象出具體的問題，導(dǎo)入弓背上的切線與弓弦的關(guān)系模型:，進(jìn)一步得到拉格朗日中值定理.再通過(guò)研究切線的變化，進(jìn)而掌握二階導(dǎo)數(shù)在幾何上的意義，即反映曲線在多大程度上進(jìn)行了彎曲[6].比如若曲線C方程為直角坐標(biāo)方程:y=f(x)，且f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，則可以引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出曲率計(jì)算公式

2.2 創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生思考

作為一種科學(xué)教學(xué)模式，情境教學(xué)法在現(xiàn)代課堂上得到了廣泛的運(yùn)用，通過(guò)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，可以有效引導(dǎo)學(xué)生深入知識(shí)體系.對(duì)于高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的“問題驅(qū)動(dòng)”教學(xué)模式，通過(guò)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境導(dǎo)入教學(xué)問題，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)自主性和主動(dòng)性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.舉例來(lái)說(shuō)，對(duì)于重要極限公式，要掌握其導(dǎo)出過(guò)程，具有一定的枯燥性，教師可以通過(guò)設(shè)計(jì)具體的情境，將數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系到一起，提升學(xué)習(xí)的針對(duì)性和趣味性，比如說(shuō)，可以讓學(xué)生思索復(fù)利計(jì)算問題:如果將一塊錢存入銀行，年率為3%，如果分別以不同的時(shí)間計(jì)算，最終功能獲得本息多少？通過(guò)這樣的設(shè)計(jì)，可以讓高數(shù)知識(shí)更加“接地氣”.可以結(jié)合高等數(shù)學(xué)上的“歸結(jié)原則”和變量替換知識(shí)，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生把n看成任意實(shí)數(shù)x，進(jìn)一步有和

2.3 設(shè)置階梯問題，層層深入學(xué)習(xí)

在運(yùn)用“問題驅(qū)動(dòng)”進(jìn)行高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要為學(xué)生設(shè)置階梯問題，通過(guò)問題的層層導(dǎo)入，引導(dǎo)學(xué)生深入學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生從不同角度看待問題、分析問題，培養(yǎng)學(xué)生的多途徑解決問題能力[7].在高等數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，很多問題都存在著相互關(guān)聯(lián)，也有多樣化的解決方法，通過(guò)由淺入深、由簡(jiǎn)到繁的問題設(shè)計(jì)，可以幫助學(xué)生抽絲剝繭分析問題，逐步解決高等數(shù)學(xué)難題，夯實(shí)學(xué)習(xí)基礎(chǔ).比如在方向?qū)?shù)的教學(xué)過(guò)程中通過(guò)“問題驅(qū)動(dòng)”方法引導(dǎo)學(xué)生（1）能否刻畫出函數(shù)沿著某一坐標(biāo)軸方向的導(dǎo)數(shù)？學(xué)生在思考后會(huì)知道答案是肯定的，本質(zhì)上就是求單側(cè)導(dǎo)數(shù).（2）能否刻畫函數(shù)在給定點(diǎn)除坐標(biāo)軸外，沿任意指定方向的變化率？這就比較自然地引入方向?qū)?shù)的概念.即若函數(shù)f(x1,x2)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某鄰域U(P0)內(nèi)有定義，為從P0出發(fā)的射線.P(x, y)為上且含于U(P0)內(nèi)的任一點(diǎn)，記P0與P之間的距離為ρ.若極限存在，則稱此極限為函數(shù)f在點(diǎn)P0沿方向l的方向?qū)?shù)，記作:或fl(P0)(3)若函數(shù)f(x1,x2)在給定點(diǎn)可微，如何找到在給定點(diǎn)的最大的方向?qū)?shù)？由fl(P0)=▽f(P0)·（其中為向量的單位向量），可以得到當(dāng)▽f(P0)和同向時(shí)，方向?qū)?shù)fl(P0)取得最大值，且最大值為|▽f(P0)|.另外，還可以引導(dǎo)學(xué)生歸納出導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)、微分等概念之間的關(guān)系.

3 “問題驅(qū)動(dòng)”在高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的應(yīng)用

問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)法在高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中有著廣泛的應(yīng)用，一方面把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入數(shù)學(xué)理論教學(xué)環(huán)節(jié)，通過(guò)Matlab繪圖和數(shù)值計(jì)算功能，生動(dòng)形象地展示出來(lái)，有助于學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念和理論，調(diào)動(dòng)其學(xué)習(xí)的主動(dòng)性.另一方面在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，以實(shí)際問題驅(qū)動(dòng)為導(dǎo)向，積極引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)提出問題、分析問題、解決問題，主動(dòng)融入到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，探索數(shù)學(xué)的奧秘，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.比如在高等數(shù)學(xué)理論教學(xué)中，兩個(gè)重要極限的證明非常抽象、枯燥，學(xué)生難以掌握.但是通過(guò)Matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)繪圖功能，學(xué)生能直觀地看到極限趨近的過(guò)程，且能通過(guò)limit求極限命令迅速取得計(jì)算結(jié)果.再比如，泰勒公式是高等數(shù)學(xué)教學(xué)上的重難點(diǎn).一方面，由于其手工計(jì)算的復(fù)雜性，學(xué)生有抵觸情緒；另外一方面，相關(guān)理論知識(shí)比較抽象，學(xué)生有畏難情緒，導(dǎo)致難以掌握.在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，我們可以通過(guò)taylor(f,x,'ExpansionPoint',a,'Order',n)：求出函數(shù)f(x)關(guān)于x-a的n-1階Taylor多項(xiàng)式.具體“問題驅(qū)動(dòng)”過(guò)程如下:

（1）提出實(shí)驗(yàn)問題:求函數(shù)y=sinx的不同階數(shù)的麥克勞林展式,并作圖觀察不同階數(shù)展開式對(duì)函數(shù)的近似程度，并計(jì)算sin2在不同階數(shù)展開式下的近似值.

（2）創(chuàng)設(shè)問題情境:麥克勞林級(jí)數(shù)展開式相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí).

（3）實(shí)驗(yàn)?zāi)康?理解麥克勞林級(jí)數(shù)展開式定義；掌握Matlab軟件求不同階數(shù)麥克勞林展開式的命令方法；利用Matlab軟件繪出函數(shù)圖像，并觀察曲線的變化趨勢(shì),增強(qiáng)對(duì)麥克勞林展開式概念的理解和掌握.

（4）實(shí)驗(yàn)程序:

所繪圖形如圖1所示,對(duì)應(yīng)的不同階數(shù)taylor展開式已經(jīng)在圖上標(biāo)示,sin2的近似值如表1所示.

圖1 sinx的不同階數(shù)麥克勞林展開式

表1 在不同階數(shù)麥克勞林展開式下的近似值

由上述圖1和表1知麥克勞林展開式的階數(shù)越高，sin2近似精度也越高.通過(guò)問題驅(qū)動(dòng)式的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生不僅僅熟悉了泰勒級(jí)數(shù)展開的相關(guān)命令，也培養(yǎng)了他們的實(shí)踐操作能力，且從直觀的圖形變化中理解了麥克勞林級(jí)數(shù)展開式的相關(guān)知識(shí).學(xué)生在問題驅(qū)動(dòng)式的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力，增添了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，且更符合對(duì)知識(shí)的探索過(guò)程.

4 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述“問題驅(qū)動(dòng)”作為一種現(xiàn)代教學(xué)模式，通過(guò)有效的課程設(shè)計(jì)，可以引導(dǎo)學(xué)生自主尋找問題解決方案，提升高等數(shù)學(xué)教學(xué)水平和學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量.在實(shí)踐運(yùn)用過(guò)程中，“問題驅(qū)動(dòng)”作為一種教學(xué)方法，仍然要遵循基本的教學(xué)規(guī)律和教學(xué)規(guī)則，高等數(shù)學(xué)教師要強(qiáng)化問題意識(shí)，加強(qiáng)問題導(dǎo)向，創(chuàng)新開展“問題驅(qū)動(dòng)”教學(xué)，避免創(chuàng)新教育模式落入形式主義，提升教學(xué)實(shí)效，幫助學(xué)生構(gòu)建高等數(shù)學(xué)知識(shí)體系.

〔1〕滕吉紅,黃曉英,袁博，等.問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)模式在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的探索[J].高等教育研究學(xué)報(bào),2012,35(4)：89-90.

〔2〕趙瑜,陳淼超.基于問題驅(qū)動(dòng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式探究[J].教育現(xiàn)代化，2016，11(35)：135-136.

〔3〕楊憲立,趙自強(qiáng).問題驅(qū)動(dòng)原則在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）, 2014,23(1)：49-52.

〔4〕陳淼超，陳侃，彭維才.應(yīng)用型本科院校數(shù)理學(xué)院的數(shù)據(jù)庫(kù)原理課程的教學(xué)研究[J].巢湖學(xué)院學(xué)報(bào),2014,16(3)：142-146.

〔5〕孔祥盛，陳淼超，等.MySQL核心技術(shù)與最佳實(shí)踐[M].北京：人民郵電出版社,2014.

〔6〕曾鈺,韓曉艷,陳丕煒等.基于問題驅(qū)動(dòng)模式的高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究[J].才智,2016(23)：95-95.

〔7〕劉曉妍,王言英.“問題驅(qū)動(dòng)”在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用 [J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版), 2014,23(2)：66-67.

G642.4

A

1673-260X（2017）02-0188-03

2016-11-08

安徽質(zhì)量工程項(xiàng)目（2016jyxm0689,2016jyxm0691,2015jyxm324,2013jyxm207);大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目(ch12td01),巢湖學(xué)院質(zhì)量工程項(xiàng)目（chxy15yykc03,ch16kcjgxm22,ch16yykc07）；中國(guó)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015M572327);安徽省自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目（KJ2015A270）