自聚焦多模光纖模式色散的幾何光學(xué)與波動(dòng)光學(xué)處理方法

張曉光

(北京郵電大學(xué)信息光子學(xué)與光通信國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100876)

自聚焦多模光纖模式色散的幾何光學(xué)與波動(dòng)光學(xué)處理方法

張曉光

(北京郵電大學(xué)信息光子學(xué)與光通信國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100876)

自聚焦多模光纖相比階躍型多模光纖，模式色散要小兩個(gè)數(shù)量級(jí)，現(xiàn)在廣泛用于局域網(wǎng)。對(duì)于自聚焦光纖模式色散的處理方法主要是基于原用于量子力學(xué)的WKBJ近似方法。本文從幾何光學(xué)和波動(dòng)光學(xué)兩個(gè)角度分析處理自聚焦光纖的模式色散，得到了與WKBJ方法完全相同的結(jié)果。在幾何光學(xué)的處理方法中，利用費(fèi)馬原理作指導(dǎo)，引入遠(yuǎn)軸光線與近軸光線概念的區(qū)別，用微擾的近似方法解光線方程，最后得到自聚焦光纖的模式色散。在波動(dòng)光學(xué)的處理方法中，基于波動(dòng)方程，將光纖模式近似成厄米高斯模式，依然采用近軸近似和遠(yuǎn)軸近似的概念，通過計(jì)算傳播常數(shù)得到模式色散。兩種處理方法得到的模式色散結(jié)果一致，且處理過程物理意義清楚，非常適合教學(xué)時(shí)采用。

導(dǎo)波光學(xué)；光波導(dǎo)模式；自聚焦光纖；模式色散

0 導(dǎo)言

光波導(dǎo)理論是光纖通信系統(tǒng)的基礎(chǔ)理論之一，在光波導(dǎo)理論中，光波導(dǎo)模式理論和模式色散是重要的內(nèi)容。對(duì)于階躍折射率分布的多模光纖，其纖芯內(nèi)的折射率分布是均勻的，因此計(jì)算模式色散也是簡(jiǎn)單的，不需要太多的數(shù)學(xué)理論。但是由于階躍折射率多模光纖的模式色散過大，在目前的光纖通信系統(tǒng)中已經(jīng)鮮有應(yīng)用。在骨干網(wǎng)和城域網(wǎng)中，由于要求的通信容量很大，一般應(yīng)用沒有模式色散的單模光纖。在局域網(wǎng)中，由于折射率漸變的自聚焦光纖模式色散相對(duì)來講比較小，應(yīng)用得比較多。由于自聚焦光纖纖芯內(nèi)折射率分布不是均勻的，計(jì)算其模式色散，一般采用原用于量子力學(xué)的WKBJ近似方法(即所謂的相位積分法)求解[1-3]，數(shù)學(xué)比較復(fù)雜，計(jì)算過程物理意義也不十分明顯，一直是教學(xué)上的一個(gè)難點(diǎn)。

筆者在北京郵電大學(xué)講授光通信的物理基礎(chǔ)課時(shí)，開始研究自聚焦光纖模式色散的教學(xué)處理方法。由于講課對(duì)象是剛學(xué)完大學(xué)物理課程，還沒有學(xué)電磁場(chǎng)與電磁波或者電動(dòng)力學(xué)課程的學(xué)生，用傳統(tǒng)全波動(dòng)觀點(diǎn)講授光纖模式和利用WKBJ法處理模式色散的講授方式會(huì)讓學(xué)生難以接受。因此筆者試圖利用全幾何光學(xué)的處理方法來求解自聚焦光纖模式色散，發(fā)現(xiàn)結(jié)合光程、費(fèi)馬原理的概念，利用光線方程求解自聚焦光纖模式色散，數(shù)學(xué)非常簡(jiǎn)單，幾乎每一個(gè)處理過程其物理意義都很清楚，利于學(xué)生理解。其中引入了聚焦特性分析以及近軸光線與遠(yuǎn)軸光線區(qū)別等概念，將聚焦特性、近軸光線、遠(yuǎn)軸光線等物理概念與數(shù)學(xué)上所取近似程度緊密結(jié)合起來，建立了一幅清晰的物理圖像，說清楚了以下幾個(gè)物理問題：(1)近軸光線近似與費(fèi)馬原理預(yù)計(jì)的等光程性等價(jià)，不能用近軸近似結(jié)果來計(jì)算自聚焦光纖的模式色散；(2)自聚焦光纖的模式色散來源于遠(yuǎn)軸光線；(3)由于聚焦特性的不同，自聚焦光纖的模式色散比階躍折射率多模光纖小兩個(gè)數(shù)量級(jí)。另外從授課方式來看，從費(fèi)馬原理的基礎(chǔ)理論出發(fā)，最后解決的是自聚焦光纖模式色散的工程問題，符合從理論到應(yīng)用的典型學(xué)習(xí)與認(rèn)知過程。這樣無論是宏觀上從理論到應(yīng)用的安排，還是教學(xué)中物理概念與數(shù)學(xué)緊密結(jié)合的處理，構(gòu)成一個(gè)較全面的教學(xué)模塊，有推廣價(jià)值。如果在教學(xué)實(shí)踐中，在講授完費(fèi)馬原理和光線彎曲后，介紹一下太陽下山、海市蜃樓等光線彎曲的自然現(xiàn)象，最后過度為自聚焦光纖模式色散，構(gòu)成一個(gè)從理論講授到自然現(xiàn)象的解釋，再到工程應(yīng)用的完整架構(gòu)，那就更加完美了。

為了給自聚焦光纖模式色散一個(gè)更完整的教學(xué)處理方案，筆者研究了文獻(xiàn)[4]，其中將自聚焦光纖模式處理成厄米高斯模式。在此基礎(chǔ)之上，引入近軸近似和遠(yuǎn)軸近似方法，很方便地給出了自聚焦光纖模式色散的正確結(jié)果。這樣，本文針對(duì)自聚焦光纖模式色散給出了一個(gè)完整的幾何光學(xué)與波動(dòng)光學(xué)的教學(xué)處理方案。

1 自聚焦光纖模式色散的幾何光學(xué)處理方法

1.1 費(fèi)馬原理與光線彎曲

在中學(xué)物理的學(xué)習(xí)中，我們知道幾何光學(xué)建立在光線直線傳播、反射定律和折射定律這3大定律之上。大學(xué)物理的光學(xué)課，幾何光學(xué)是建立在費(fèi)馬原理的基礎(chǔ)之上。也就是說，上述3大定律都可以看成是費(fèi)馬原理的推論。

費(fèi)馬原理表述成[5]：兩點(diǎn)之間的真實(shí)光線是所走光程相對(duì)于路徑的變分為平穩(wěn)的那一條，數(shù)學(xué)描述如式(1)和圖1。

(1)

圖1 路徑L與L′是從A點(diǎn)到B點(diǎn)的可能路徑，其中真實(shí)光線路徑ALB是光程相比相鄰路徑AL′B取平穩(wěn)值的那一條

這樣，光線的直線傳播只是費(fèi)馬原理在均勻媒質(zhì)(折射率是均勻的)中的推論，對(duì)更普遍的情形，光學(xué)媒質(zhì)折射率是不均勻的，因此根據(jù)費(fèi)馬原理，光線可以是彎曲的。以太陽落山為例，由于大氣層接近地表的空氣密度大，折射率高，遠(yuǎn)離地表，折射率逐漸減小，太陽落山時(shí)，光線是彎曲傳輸?shù)?，地面上的人看到太陽下山時(shí)，其實(shí)“太陽早就下山了”。海市蜃樓也是光線彎曲很好的例子。

光程變分取平穩(wěn)值，其中取極小值、極大值、拐點(diǎn)的情景，其真實(shí)光線是附近虛擬光線中取變分后的唯一一條，而取光程常數(shù)值的情景，得到的真實(shí)光線是一組光纖簇，光線簇中的每一根光線光程都相等，即所謂的等光程性。成像光學(xué)是光程取常數(shù)的典型例子。比如人眼成像(圖2)，物點(diǎn)A發(fā)出的傍軸光線經(jīng)眼球聚焦在視網(wǎng)膜上，形成像點(diǎn)，從物點(diǎn)A到像點(diǎn)B的所有傍軸光線的光程都應(yīng)該相等。由光線所經(jīng)歷時(shí)間與所走光程之間的關(guān)系t=光程/c(c是真空中的光速)，光程相等等價(jià)于時(shí)間相等，亦即從物點(diǎn)A到像點(diǎn)B的所有傍軸光線所需時(shí)間都相等。設(shè)想一下，如果這個(gè)時(shí)間不等，人眼看到的圖像將是不穩(wěn)定的。

圖2 人眼成像

應(yīng)用費(fèi)馬原理，還可以得到彎曲光線尋跡的定量描述(即光線傳輸所遵循的方程)——光線方程(公式(2))。這里假定z軸為傍軸光線的主傳播方向，而傳輸光線的媒質(zhì)假定只在x方向變化[5]

(2)

(3)

從光線方程(2)可以看出，只要給出媒質(zhì)的折射率分布，就可以通過光線方程得到光線軌跡。

1.2 光纖模式與模式色散

如圖3所示，一般來說，光纖大致分階躍折射率分布光纖和漸變折射率分布光纖。階躍折射率光纖又根據(jù)纖芯的大小分單模光纖和階躍折射率多模光纖[6]，如圖3(a)和(b)所示。漸變折射率分布光纖也是多模的，如果將折射率分布做成如公式(4)的拋物線分布，則光線在其中可以周期性地聚焦，這種光纖也叫自聚焦光纖。

圖3 (a) 階躍折射率分布多模光纖； (b) 階躍折射率單模光纖； (c) 漸變折射率分布多模光纖

(4)

所謂光纖模式是光纖中能夠存在的穩(wěn)定光場(chǎng)形態(tài)。如果用幾何光學(xué)來描述光纖模式，可以粗略地用纖芯中不同角度全反射的不同光線來表示。如圖4(a)所示，接近臨界角θc入射的光線表示最高階模式，入射角大一些的光線代表低階模式，沿軸線傳播的光線代表基模。

圖4 (a) 光纖模式色散示意圖； (b) 模式色散導(dǎo)致的誤碼

一個(gè)光脈沖從光纖左端射入，由于不同模式光線沿軸線方向的傳播速度不同，造成在不同模式中的光脈沖到達(dá)光纖右端的時(shí)間不同，最后合成的光脈沖將是一個(gè)展寬的脈沖，這就是光纖中的模式色散現(xiàn)象。模式色散會(huì)導(dǎo)致光纖通信產(chǎn)生誤碼，如圖4(b)所示，假設(shè)待傳輸?shù)拇a流是“110101”，有光脈沖時(shí)記為“1”碼，沒有光脈沖時(shí)記為“0”碼。如果模式色散造成光脈沖展寬，展寬到一定程度，“0”碼處也有光功率，極易判斷為“1”碼，這就是誤碼。

對(duì)于階躍折射率分布光纖，其最大模式(接近臨界角θc的光線)傳輸L距離所需時(shí)間為

(5)

基模傳輸L距離所需時(shí)間為

(6)

模式色散定義為光傳輸單位距離產(chǎn)生的最大時(shí)間差(也叫時(shí)延差)為

(7)

將階躍折射率多模光纖的典型數(shù)值代入公式(7)，n1=1.500，n2=1.489，則Δ≈0.011，模式色散Δτ=55ns/km。如果對(duì)應(yīng)于某傳輸碼率，傳輸信號(hào)的比特周期至少要求與模式色散相當(dāng)，則傳輸20km，傳輸碼率被限制在1Mbit/s以下，這是一個(gè)非常低的傳輸容量，因此階躍折射率多模光纖不適合目前要求的高速率光纖通信系統(tǒng)。

1.3 自聚焦光纖模式色散的幾何光學(xué)處理方法

關(guān)于自聚焦光纖模式色散的幾何光學(xué)處理，是筆者的一項(xiàng)教學(xué)成果[7]。由于本文的目的是給出一個(gè)完整的教學(xué)處理方案，因此這里還是要給出文獻(xiàn)[7]的主要分析與結(jié)論。

公式(4)指出，自聚焦光纖具有拋物線型的折射率分布，中心的折射率高，折射率沿著半徑逐漸減少。因此進(jìn)入自聚焦光纖的光線趨向于向軸線彎曲，即光線圍繞著軸線擺動(dòng)。由于對(duì)稱性，我們只討論子午面內(nèi)光線的軌跡，在子午面z-x平面內(nèi)，折射率可以表示成

(8)

其中α2=2Δ/a2。

將上式代入光線方程(2)，并考慮傍軸光線近似，得

(9)

(10)

顯然，公式(10)是一個(gè)典型的簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程，其通解為

(11)

其中C和φ是積分常數(shù)，分別代表光線擺動(dòng)的幅度和相位。式(11)表明，近軸光線是周期性圍繞光軸正弦擺動(dòng)的，α是擺動(dòng)的空間頻率?？梢钥闯鏊薪S光線具有相同的空間周期2π/α，即近軸光線是周期性聚焦的，如圖5所示。根據(jù)費(fèi)馬原理，從軸線A點(diǎn)發(fā)出的所有近軸光線都將聚焦于B點(diǎn)，A點(diǎn)和B點(diǎn)之間的近軸光線是等光程的，不會(huì)引起時(shí)間差。換句話說，只考慮近軸光線，無法計(jì)算出模式色散，模式色散來源于遠(yuǎn)軸光線，這就是筆者將自聚焦光纖的傍軸光線分成近軸光線和遠(yuǎn)軸光線的原因。

圖5 自聚焦光纖中的近軸光線與遠(yuǎn)軸光線

可以預(yù)言，由于自聚焦光纖光線的這種聚焦特性，模式色散只來源于遠(yuǎn)軸光線，相較于階躍折射率多模光纖光線根本沒有聚焦特性，自聚焦光纖的模式色散顯然比起階躍折射率多模光纖要小很多，這在隨后的討論中將被證實(shí)。

在討論遠(yuǎn)軸光線時(shí)，利用泰勒展開，保留到αx的二階項(xiàng)，公式(9)變成

(12)

下面我們用微擾方法討論式(12)?？紤]遠(yuǎn)軸光線仍具有正弦擺動(dòng)特性，但是空間頻率有所不同

(13)

將式(13)代入式(12)，得到

(14)

其中遠(yuǎn)軸光線的空間周期變成2π/σ，不是常數(shù)。因此在計(jì)及遠(yuǎn)軸光線后，各光線不再可以周期性聚焦，存在著時(shí)間差。從式(14)可見，遠(yuǎn)軸光線的空間頻率與近軸光線有差別，隨著擺動(dòng)幅度C的不同而不同。最遠(yuǎn)的遠(yuǎn)軸光線幅度為a，則遠(yuǎn)軸光線的最大空間頻率滿足

(15)

或者

(16)

令最大模式的對(duì)應(yīng)光線軌跡函數(shù)為

x=asinσmaxz

(17)

計(jì)算最大模式傳輸L距離后的光程

(18)

將上式被積函數(shù)做泰勒展開，保留到α4a4項(xiàng)，則式(18)變?yōu)?/p>

(19)

式(19)的后一積分項(xiàng)在積分跨越2π/σmax點(diǎn)時(shí)為零，則

(20)

由光程差與時(shí)間差的關(guān)系，自聚焦光纖的模式色散為

(21)

這個(gè)結(jié)果與WKBJ近似法計(jì)算的結(jié)果完全一致[1,2]。將n1=1.500和n2=1.489代入式(21)，得Δτmax=0.25ns/km，比階躍折射率多模光纖小兩個(gè)數(shù)量級(jí)。

總結(jié)一下第1節(jié)的主要結(jié)論：(1)近軸光線近似與費(fèi)馬原理預(yù)計(jì)的等光程性等價(jià)，不能用近軸近似結(jié)果來計(jì)算自聚焦光纖的模式色散； (2)自聚焦光纖的模式色散來源于遠(yuǎn)軸光線，利用遠(yuǎn)軸近似可以得出自聚焦光纖模式色散的正確結(jié)果； (3)由于聚焦特性的不同，自聚焦光纖的模式色散比階躍折射率多模光纖小兩個(gè)數(shù)量級(jí)。

1.4 階躍折射率多模光纖與自聚焦光纖的比較

前面我們預(yù)言，自聚焦光纖具有一定的聚焦特性，而階躍折射率多模光纖根本沒有聚焦特性，因此，自聚焦光纖模式色散小得多。下面我們還是用光程的泰勒展開來分析階躍折射率多模光纖的模式色散。

我們?cè)趫D6的階躍折射率多模光纖中選取光線OGF進(jìn)行分析，假定它的空間周期也為2π/α，則有

(22)

其中n1L是軸線基模光線走過的光程?？梢姡捎陔A躍折射率多模光纖沒有聚焦特性，高階模與基模光線的相對(duì)光程差含有α2a2項(xiàng)。而自聚焦光纖有明顯的聚焦特性，這個(gè)差值只含有α4a4。顯然自聚焦光纖的模式色散比階躍折射率多模光纖小兩個(gè)數(shù)量級(jí)。

圖6 階躍折射率多模光纖的聚焦特性

為了計(jì)算模式色散，必須求得最大模式條件，最大模式顯然是對(duì)應(yīng)臨界角的光線。因此

(23)

整理式(23)，得

(24)

將公式(24)代入式(22)，得到

(25)

則階躍折射率多模光纖的模式色散為

(26)

與式(7)是一致的。一般地Δ～10-2，則Δ2～10-4，因此自聚焦光纖的模式色散確實(shí)比階躍折射率多模光纖小兩個(gè)量級(jí)。

2 自聚焦光纖模式色散的波動(dòng)光學(xué)處理方法

在通常的光纖通信與光波導(dǎo)文獻(xiàn)中，處理自聚焦光纖模式色散是利用原用于量子力學(xué)的WKBJ法來近似計(jì)算的。本文借鑒文獻(xiàn)[4]的處理方法，將自聚焦光纖中的模式按照厄米高斯函數(shù)這種正交函數(shù)展開來處理，也可以計(jì)算自聚焦光纖的模式色散。

2.1 自聚焦光纖模式的厄米高斯函數(shù)展開處理

從標(biāo)量波動(dòng)方程出發(fā)

(27)

令

E(x,y,z,t)=ψ(x,y,z)e-iωt

(28)

得到亥姆霍茲方程

(29)

對(duì)于自聚焦光纖，折射率n表示成

(30)

(31)

設(shè)ψ有分離變量解

ψ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)

(32)

代入方程(31)，整理得

(33)

如果上式對(duì)任意自變量(x,y,z)都成立，等號(hào)左邊的三項(xiàng)必然分別等于3個(gè)常數(shù)，即

(34)

和

(35)

其中

(36)

方程(35)的解為

Z(z)～e±iβz

(37)

代表沿z軸正向(正號(hào))和負(fù)向(負(fù)號(hào))的行波，這里取正號(hào)，即取沿z軸正向波。

如果令

(38)

則式(34)的兩個(gè)方程變?yōu)?/p>

(39)

這兩個(gè)方程與量子力學(xué)中的諧振子滿足的方程一樣，其有界解為厄米高斯函數(shù)。

方程(39)有有界解的條件為λ1-1與λ2-1取非負(fù)偶數(shù)，這樣才能使方程(39)的級(jí)數(shù)解中斷成多項(xiàng)式解(這樣才有界)[8]。

λ1-1=2l,l=0,1,2,…

λ2-1=2m,m=0,1,2,…

(40)

這樣

(41)

以及

Xl(x)=NlHl(κx)e

Ym(y)=NmHm(κy)e

(42)

其中Hl(κx)和Hm(κy)是厄米多項(xiàng)式，歸一化系數(shù)

(43)

這樣自聚焦光纖中的光場(chǎng)模式可以表示成

(44)

其中βl m是對(duì)應(yīng)于(l,m)模式的傳播常數(shù)。由式(36)和式(41)有

(45)

2.2 自聚焦的光纖模式色散

對(duì)應(yīng)于(l,m)模式的群速度為

(46)

相應(yīng)模式的群延時(shí)(傳播單位長(zhǎng)度所需時(shí)間)為

(47)

當(dāng)考慮近軸近似時(shí)

(48)

顯然(l,m)模式的群時(shí)延

(49)

是常數(shù)，與基模群時(shí)延τ0一樣，沒有模式色散。

考慮遠(yuǎn)軸近似

(52)

其中用到了式(45)，可得最大模式號(hào)

(53)

將式(53)代入式(51)，得到最大群延時(shí)

(54)

則自聚焦光纖的模式色散為

(55)

這結(jié)果與幾何光學(xué)的處理結(jié)果式(21)完全一樣，這里仍然用到了遠(yuǎn)軸近似。

3 結(jié)論

本文給出了一個(gè)完整的解決自聚焦光纖模式色散的幾何光學(xué)與波動(dòng)光學(xué)的教學(xué)處理方案。在幾何光學(xué)的處理方法中，以費(fèi)馬原理和光程的概念為基礎(chǔ)，利用光線方程求解自聚焦光纖的模式色散。其中引入了近軸光線與遠(yuǎn)軸光線的概念，并討論了它們的聚焦特性，給出了與WKBJ法一致的自聚焦光纖的模式色散公式。將聚焦特性、近軸光線、遠(yuǎn)軸光線等物理概念與數(shù)學(xué)上的不同近似程度緊密結(jié)合，幾乎在教學(xué)的每一步驟，都給出了清晰的物理圖像，明確了下列物理問題：(1)近軸光線近似與費(fèi)馬原理預(yù)計(jì)的等光程性等價(jià)，不能用近軸近似結(jié)果來計(jì)算自聚焦光纖的模式色散； (2)自聚焦光纖的模式色散來源于遠(yuǎn)軸光線； (3)由于聚焦特性的不同，自聚焦光纖的模式色散比階躍折射率多模光纖小兩個(gè)數(shù)量級(jí)。在波動(dòng)光學(xué)的處理方法中，基于波動(dòng)方程，將自聚焦光纖模式近似處理成為厄米高斯模式，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合近軸近似和遠(yuǎn)軸近似的處理，也給出了自聚焦光纖模式色散的正確結(jié)果。

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THE TREATMENTS IN THE VIEWS OF GEOMETRICAL OPTICS AND WAVE OPTICS FOR TEACHING INTERMODAL DISPERSION OF A PARABOLIC INDEX PROFILE FIBER

Zhang Xiaoguang

(State Key Laboratory of Information Photonics and Optical Communications,Beijing University of Posts and Telecommunications, Beijing 100876)

The graded-index fiber with the parabolic profile has an intermodal dispersion which is about two order smaller than that of the step-index fiber, and is widely used in local area network. The intermodal dispersion of this kind of graded-index fiber was conventionally treated with WKBJ approximate method which is originally used in quantum mechanics. This paper proposes the teaching treatments from the views of geometrical optics and wave optics, and obtains the same result as that calculated with WKBJ method. In the geometrical optics treatment, based on Fermat Principle, we introduce the new concepts of near-axial and far-axial rays, and give the solution to the ray equation using a perturbation approximation. In the wave optics treatment, based on the wave equation, the fiber modes in the graded-index fiber are treated as the Hermite-Gaussian modes. The intermodal dispersion is obtained by analyzing the propagation constant with the aid of near-axial and far-axial approximations. With these treatments we obtain the same result, with clearer physical significance. We believe that the teaching treatments proposed in this paper are more appropriate in the undergraduate courses of optical fiber communications.

waveguide optics; modes in optical waveguide; graded-index fiber with parabolic profile; intermodal dispersion

2016-05-31

張曉光，男，教授，主要從事物理教學(xué)與光通信研究，研究方向?yàn)楣饫w中的偏振現(xiàn)象與控制，光纖通信信號(hào)處理等，xgzhang@bupt.edu.cn。

張曉光. 自聚焦多模光纖模式色散的幾何光學(xué)與波動(dòng)光學(xué)處理方法[J]. 物理與工程，2017，27(1)：23-29，43.