基于貝葉斯模型平均的水文模型不確定性及集合模擬

江善虎，任立良，劉淑雅，袁 飛 ，楊肖麗

(1 河海大學(xué)水文水資源與水利工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210098；2 河海大學(xué)水文水資源學(xué)院，南京 210098)

水文模型是對自然界復(fù)雜水循環(huán)過程的近似描述，是水文科學(xué)研究的重要手段和方法[1]。自1932年Sherman提出著名的水文單位線概念和1933年Horton提出著名的下滲定理至今，各國水文工作者在水文循環(huán)規(guī)律和水文過程模擬方面做了大量研究工作，獲得了豐碩的成果；特別是20世紀(jì)70年代以來，國內(nèi)外水文學(xué)者研制了大量不同的水文模型，并在現(xiàn)代洪水預(yù)報(bào)、氣候變化與人類活動的水文響應(yīng)、流域生態(tài)水文過程模擬和水資源規(guī)劃與管理等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用[2,3]。然而水文過程是一種受氣候、氣象、地形、地貌和下墊面等較多因素影響的復(fù)雜過程，蘊(yùn)含著確定性的動態(tài)規(guī)律和不確定性的統(tǒng)計(jì)規(guī)律[4]。由于當(dāng)前人類認(rèn)知水平的有限，使得對水文過程的認(rèn)識存在著一定的不完全性，而據(jù)此建立的水文模型也存在著諸多不確定性[5]?，F(xiàn)階段，根據(jù)水文模型進(jìn)行流域水文過程模擬及預(yù)報(bào)時(shí)不可避免地存在著模型輸入、模型參數(shù)和模型結(jié)構(gòu)的不確定性[6-11]。針對模型輸入(主要針對降水)的不確定性， Kavetski等[7]、Ajami等[8]引入一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)乘子來定量考慮。水文模型參數(shù)的估計(jì)方法可分為兩類：第一類估計(jì)方法認(rèn)為在給定流域和模型結(jié)構(gòu)時(shí)，水文模型存在唯一的一組最優(yōu)參數(shù)解；第二類估計(jì)方法認(rèn)為在給定流域和模型結(jié)構(gòu)時(shí)，水文模型的參數(shù)是一組隨機(jī)變量，它們服從一個(gè)確定的聯(lián)合概率分布[6, 9]。目前，已有大量的水文模型參數(shù)優(yōu)化和不確定性分析方法，其中具有代表性的有第一類的遺傳算法(GA)、SCE-UA算法等和第二類的基于貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論的GLUE方法、SCEM-UA算法等。對于模型結(jié)構(gòu)的不確定性，由于不同模型具有不同的優(yōu)缺點(diǎn)，單一模型的模擬效果總是有限的，需充分發(fā)揮每個(gè)模型的優(yōu)勢，對每個(gè)模型分別考慮參數(shù)和輸入的不確定性，進(jìn)而對不同模型的模擬結(jié)果進(jìn)行集合來消減模型結(jié)構(gòu)的不確定性[10-13]。因此，綜合考慮模型輸入、模型參數(shù)和模型結(jié)構(gòu)的不確定性，進(jìn)行基于多模型的流域水文過程集合模擬，在給定確定模擬值的同時(shí)，又提供概率預(yù)報(bào)區(qū)間，是當(dāng)前減少水文模擬不確定性的有效方法[14-16]。

本文選用基于子流域的新安江模型 (XAJ)[17]、混合產(chǎn)流模型 (HYB)[18]和改進(jìn)的HYMOD模型 (HYM)[19]，從模型參數(shù)估計(jì)的兩類方法出發(fā)，分別采用單純多邊形進(jìn)化算法(SCE-UA)[20]和SCEM-UA算法[21]來進(jìn)行模型參數(shù)優(yōu)化和不確定性分析，探討兩類方法對水文模型模擬結(jié)果的影響；同時(shí)引入輸入誤差乘子來進(jìn)行模型輸入的不確定性分析；最終采用貝葉斯模型平均(BMA)將3個(gè)模型的模擬結(jié)果集合進(jìn)行概率預(yù)報(bào)。

1 研究方法

1.1 水文模型

選用基于子流域的新安江模型、混合產(chǎn)流模型和改進(jìn)的HYMOD模型進(jìn)行水文過程模擬。產(chǎn)流機(jī)制方面，新安江模型和HYMOD模型為蓄滿產(chǎn)流，混合產(chǎn)流模型考慮了蓄滿和超滲兩種產(chǎn)流機(jī)制的垂向組合。蒸散發(fā)計(jì)算，新安江模型和混合產(chǎn)流模型均考慮三層蒸散發(fā)，HYMOD模型僅考慮一層蒸散發(fā)。徑流劃分方面混合產(chǎn)流模型和HYMOD模型為二水源模型，新安江模型為三水源模型。匯流方面，把全流域劃分為15個(gè)單元子流域，坡面匯流采用線性水庫進(jìn)行計(jì)算，河道匯流采用馬斯京根分段連續(xù)演算方法。新安江模型有16個(gè)參數(shù)，混合產(chǎn)流模型為14個(gè)參數(shù)，改進(jìn)的HYMOD模型有8個(gè)參數(shù)。3個(gè)模型中，HYMOD模型最為簡單，混合產(chǎn)流模型為在新安江模型基礎(chǔ)上改進(jìn)而來，產(chǎn)流機(jī)制方面較新安江模型更為復(fù)雜；模型參數(shù)方面，新安江模型和混合產(chǎn)流模型參數(shù)相當(dāng)，HYMOD模型參數(shù)最少。3個(gè)模型的驅(qū)動數(shù)據(jù)都較為簡單，僅為降水和蒸發(fā)。表1列出了這3個(gè)模型的主要特征。

表1 3個(gè)水文模型主要特征比較Tab.1 The main characteristics of the three hydrological models

1.2 輸入不確定性

水文模型的輸入數(shù)據(jù)是水文氣象要素，其中最重要的是降雨，其不確定性對水文過程模擬結(jié)果具有至關(guān)重要的影響。本研究采用一個(gè)誤差乘子來定量表述降雨輸入的不確定性。假定降水輸入誤差服從正態(tài)分布，用隨機(jī)乘數(shù)來修正實(shí)測降水量，每個(gè)實(shí)測降水量都對應(yīng)一個(gè)乘數(shù)：

(1)

(2)

1.3 參數(shù)不確定性

采用SCE-UA算法和SCEM-UA算法來進(jìn)行模型的參數(shù)優(yōu)化和不確定性分析。SCE-UA是一種全局優(yōu)化算法，該算法結(jié)合了現(xiàn)有算法(包括基因算法等)的一些優(yōu)點(diǎn)，將基于確定性的復(fù)合型搜索技術(shù)和自然界中的生物競爭進(jìn)化原理相結(jié)合，可以解決高維參數(shù)的全局優(yōu)化問題，且不需要顯示目標(biāo)函數(shù)或目標(biāo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)[19]。SCE-UA算法可以有效、快速地搜索到水文模型參數(shù)的全局最優(yōu)解，在水文模型參數(shù)優(yōu)化中得到了廣泛的應(yīng)用。SCEM-UA算法是Vrugt等于2003年對單純多邊形進(jìn)化算法(SCE-UA)加以改進(jìn)而提出的一種全局搜索算法，該算法不僅能搜索到一套具有最大似然性的參數(shù)組，同時(shí)也能估計(jì)參數(shù)不確定性[21]。SCEM-UA算法結(jié)合了馬爾科夫蒙特卡洛(MCMC)采樣技術(shù)，以Metropolis-Hastings算法(簡稱M-H算法)取代SCE-UA算法中的坡降算法，并估計(jì)出最優(yōu)參數(shù)組及其后驗(yàn)概率分布[22]。

1.4 貝葉斯模型平均

BMA是一種基于貝葉斯理論的多模型集合分析方法，它基于似然函數(shù)推斷單個(gè)模型的權(quán)重，保證模擬效果更好的模型具有更高的權(quán)重系數(shù)；通過多個(gè)水文模型競爭，BMA可產(chǎn)生更可靠的集合預(yù)報(bào)值。BMA不僅可以用于模型集合，而且可以用于計(jì)算單個(gè)模型和模型集合的不確定性。其基本原理簡介如下。

假設(shè)y為BMA集合預(yù)報(bào)流量，D=[X,Y]為實(shí)測數(shù)據(jù)(其中X表示輸入資料，Y表示實(shí)測的流量資料)，f=[f1,f2,…,fk]為k個(gè)模型預(yù)報(bào)的集合。BMA的概率預(yù)報(bào)表示如下：

(3)

(4)

(5)

1.5 不確定性區(qū)間估算

(3) 重復(fù)步驟(1)和(2)M次。M是在任意時(shí)刻t的樣本容量，本文中令M=1 000。將它們從小到大排序，BMA的95%預(yù)報(bào)區(qū)間就是2.5%和97.5%分位數(shù)之間的部分。

針對SCEM-UA算法優(yōu)化模型的模擬結(jié)果，將模型參數(shù)收斂前的模擬結(jié)果和收斂后的模擬結(jié)果綜合起來考慮，因?yàn)闃颖救萘孔銐虼?本文為15 000組)，可以近似服從正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)方法可計(jì)算出95%置信水平下樣本的置信區(qū)間[8]。

1.6 評估指標(biāo)

采用Nash-Sutcliffe效率系數(shù)(NS)、偏差(bias,B)和均方根誤差(Root mean square error,RM)來評價(jià)模型模擬徑流的精度。其中NS系數(shù)表征模擬徑流和觀測徑流的吻合程度；B反映模擬徑流的系統(tǒng)偏差程度；RM表征模擬徑流和觀測徑流的誤差大小。采用覆蓋率(Containing ratio,CR)、平均帶寬(Average Bandwidth,BW)和平均偏移度(Average Deviation Amplitude,DA)來評價(jià)模型預(yù)報(bào)區(qū)間的準(zhǔn)確度[23]。CR指預(yù)報(bào)區(qū)間覆蓋實(shí)測流量數(shù)據(jù)的比例，CR越大，表示預(yù)報(bào)區(qū)間的覆蓋率越高。BW表示預(yù)報(bào)區(qū)間的平均帶寬，對于一定的置信水平，在保證有較高的覆蓋率前提下，BW越窄越好。DA反映預(yù)報(bào)區(qū)間的中心線偏離實(shí)測流量過程線的程度，理論上DA越小，表示預(yù)報(bào)區(qū)間的對稱性越好。

2 研究數(shù)據(jù)

2.1 研究區(qū)域概況

洣水流域地處湖南省的東南部(東經(jīng)112°52′～113°56′ ，北緯26°01′～27°10′)，為湘江的一級支流，其中甘溪水文站以上控制面積為9 977 km2(圖1)。流域地勢東南高、西北低，海拔高程自東南向西北由2 093 m降低到49 m，平均坡降為1.01‰。流域氣候類型屬亞熱帶季風(fēng)型濕潤性，四季分明，降水充沛，多年平均年降水量達(dá)1 561.0 mm。流域多年平均氣溫18.0 ℃，多年平均風(fēng)速1.8 m/s。

圖1 洣水流域地理位置及測站分布圖Fig.1 Location of Mishui basin and distribution of measurement stations

2.2 研究數(shù)據(jù)

收集洣水流域35個(gè)雨量站、1個(gè)蒸發(fā)站(五里牌，E601蒸發(fā)皿)和1個(gè)流量站(甘溪水文站)2000-2008年逐日降雨、潛在蒸發(fā)和流量觀測數(shù)據(jù)。采用臨近三站點(diǎn)反距離加權(quán)法(IDW)將點(diǎn)雨量插值到流域面上分布。流域地形資料采用美國地質(zhì)調(diào)查局(USGS)的全球30″數(shù)字高程模型數(shù)據(jù)(DEM)。應(yīng)用ArcGIS提取構(gòu)建分布式流域水文模型所需的基本空間信息，包括流域邊界、柵格水流流向、各柵格至流域出口斷面的河長等，并將流域劃分為15個(gè)子流域。土地覆被資料采用美國馬里蘭大學(xué)全球1 km土地覆被資料，統(tǒng)計(jì)得洣水流域主要植被類型為林地占61.8%，草地占24.6%，耕地占13.3%，城鄉(xiāng)和水體占0.3%。

3 結(jié)果對比

利用洣水流域2000-2008年連續(xù)9年的日降雨-徑流資料進(jìn)行水文過程模擬和不確定性分析，其中2000-2005年為模型的率定期，2006-2008年為模型的驗(yàn)證期。SCE-UA算法中，采用RM指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)來衡量優(yōu)選參數(shù)的優(yōu)劣，反映模型模擬值和實(shí)測值之間的誤差。SCEM-UA算法中，初始均勻分布樣本個(gè)數(shù)為1000，復(fù)合型個(gè)數(shù)為5，判斷后驗(yàn)分布推斷完畢的樣本個(gè)數(shù)為5000，最大運(yùn)行次數(shù)為15000。本研究采用多種情景進(jìn)行水文過程模擬和不確定性分析：① 僅考慮模型參數(shù)的不確定性，采用SCE-UA算法和SCEM-UA算法分別進(jìn)行單個(gè)模型的參數(shù)優(yōu)選和不確定性分析；② 引入一個(gè)誤差乘子來定量表述降雨輸入的不確定性，對每一模型同時(shí)考慮模型參數(shù)和模型輸入的不確定性；③ 采用BMA將3個(gè)模型的模擬結(jié)果集合，綜合考慮模型參數(shù)、模型輸入和模型結(jié)構(gòu)的不確定性。具體結(jié)果分析如下。

3.1 BMA集合和單個(gè)模型的模擬值對比

表2為單個(gè)模型只考慮模型參數(shù)不確定性，單個(gè)模型考慮模型參數(shù)和模型輸入不確定性，以及利用BMA法綜合考慮模型參數(shù)、模型輸入和模型結(jié)構(gòu)不確定性的徑流模擬精度比較(NS、B、RM)。圖2和3分別為BMA法集合SCE-UA優(yōu)化和SCEM-UA優(yōu)化的3個(gè)模型的模擬結(jié)果。從表2和圖2，圖3中可以看出：基于SCE-UA和SCEM-UA算法優(yōu)選參數(shù)，3個(gè)模型在洣水流域都能取得較好的模擬結(jié)果，率定期模型的NS都在0.85以上，驗(yàn)證期模型的NS都在0.80以上；模型在率定期的模擬精度要優(yōu)于驗(yàn)證期的模擬精度，說明模型模擬結(jié)果在驗(yàn)證期存在更大的不確定性。3個(gè)模型考慮輸入的不確定性后，模擬精度和不考慮輸入不確定時(shí)相當(dāng)，沒有大的提高(僅驗(yàn)證期新安江模型和混合產(chǎn)流模型的NS系數(shù)有所提高)，這可能是由于：① 洣水流域雨量站點(diǎn)較為密集，降水輸入較為準(zhǔn)確；② 3個(gè)模型中均存在降水蒸散發(fā)折減系數(shù)參數(shù)，在一定程度上描述了模型輸入的不確定性；③ 考慮模型輸入的不確定性，引入了兩個(gè)新的模型參數(shù)，一定程度上增加了模型參數(shù)的不確定性。不管是SCE-UA算法，還是SCEM-UA算法，采用BMA法綜合考慮模型參數(shù)、模型輸入和模型結(jié)構(gòu)不確定性的模擬結(jié)果都要優(yōu)于單個(gè)模型，在率定期和驗(yàn)證期，BMA都能取得最高的NS(SCE-UA優(yōu)化的模型BMA集合后，率定期NS為0.91，驗(yàn)證期為0.88；SCEM-UA優(yōu)化的模型BMA集合后，率定期NS為0.92，驗(yàn)證期為0.87)、最小的B和最小的RM，尤其在驗(yàn)證期BMA集合的NS要較單個(gè)模型有很大提高，說明BMA集合多模型提高預(yù)報(bào)精度的有效性。

表2 不同模擬情景下SCE-UA和SCEM-UA優(yōu)化的水文模型模擬精度比較Tab.2 Precision performance of the streamflow simulation series at different simulation cases

注：參數(shù)表示僅考慮參數(shù)不確定性；參數(shù)+輸入表示同時(shí)考慮參數(shù)和輸入不確定性；參數(shù)+輸入+結(jié)構(gòu)表示綜合考慮模型參數(shù)、輸入和結(jié)構(gòu)不確定性；黑體字表示最優(yōu)值。

3.2 BMA集合和單個(gè)模型的預(yù)報(bào)區(qū)間對比

表3給出了不同方案下單個(gè)模型和BMA集合模擬徑流的不確定性區(qū)間優(yōu)良性評價(jià)指標(biāo)(CR、BW、DA)。圖2和3分別展示了BMA法集合SCE-UA優(yōu)化和SCEM-UA優(yōu)化的3個(gè)模型模擬徑流的95%置信區(qū)間。從表2和圖2，圖3中可以看出：不管是SCE-UA算法，還是SCEM-UA算法，采用BMA方法綜合考慮模型參數(shù)、模型輸入和模型結(jié)構(gòu)不確定性的預(yù)報(bào)不確定性區(qū)間要優(yōu)于單個(gè)模型，BMA的模擬徑流不確定性區(qū)間具有更高的覆蓋率和更優(yōu)的平均偏移幅度，但它較單個(gè)模型具有更大的平均帶寬；這與Xiong等[23]和董磊華等[10]的研究結(jié)論一致。橫向比較表3中SCE-UA算法和SCEM-UA算法的模擬結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，SCEM-UA算法的概率預(yù)報(bào)性區(qū)間具有更高的CR、更小的BW和更優(yōu)的DA；其中采用BMA方法集合SCEM-UA算法優(yōu)化的3個(gè)模型模擬結(jié)果，其率定期95%置信區(qū)間的CR達(dá)到95.62%，驗(yàn)證期95%置信區(qū)間的CR達(dá)到95.17%，幾乎包含了整個(gè)實(shí)測徑流序列，取得了最優(yōu)的結(jié)果?？傮w上，采用BMA方法綜合考慮模型參數(shù)、模型輸入和模型結(jié)構(gòu)不確定性，較單個(gè)模型能夠提供更可靠的預(yù)報(bào)不確定性區(qū)間；與SCE-UA算法相比，SCEM-UA算法能更好進(jìn)行參數(shù)的不確定性分析，基于SCEM-UA算法和BMA集合得到的概率預(yù)報(bào)區(qū)間更為準(zhǔn)確，具有更大優(yōu)勢。

圖2 貝葉斯模型平均集合SCE-UA優(yōu)化的3個(gè)模型的模擬結(jié)果Fig.2 The BMA mean from the SCE-UA based simulations of the three hydrological models, and the 95% confidence interval

圖3 貝葉斯模型平均集合SCEM-UA優(yōu)化的3個(gè)模型的模擬結(jié)果Fig.3 The BMA mean from the SCEM-UA based simulations of the three hydrological models, and the 95% confidence interval

不同情景SCEUA(抽樣1000次)CR/%RM/(m3·s)DA/(m3·s)SCEMUACR/%RM/(m3·s)DA/(m3·s)率定期XAJ(參數(shù))59.31152.8758.2078.65169.1752.31XAJ(參數(shù)+輸入)74.86200.1560.7879.06169.7851.79HYB(參數(shù))75.05258.6674.0880.34222.2564.41HYB(參數(shù)+輸入)81.07273.0165.3978.97225.2367.60HYM(參數(shù))71.40225.7063.0885.26237.9762.91HYM(參數(shù)+輸入)68.57212.4963.2987.68254.0664.01BMA(參數(shù)+輸入+結(jié)構(gòu))90.19315.6056.7095.62271.1555.03驗(yàn)證期XAJ(參數(shù))62.32183.6471.2180.47188.6864.41XAJ(參數(shù)+輸入)73.81220.5074.6381.48190.3163.07HYB(參數(shù))71.99289.9582.8480.66244.4074.13HYB(參數(shù)+輸入)82.66285.4471.7180.38249.2477.14HYM(參數(shù))68.61270.2677.8886.77261.2376.62HYM(參數(shù)+輸入)69.16252.2376.8488.96278.2477.31BMA(參數(shù)+輸入+結(jié)構(gòu))90.97348.5669.7495.17303.0466.06

注：參數(shù)表示僅考慮參數(shù)不確定性；參數(shù)+輸入表示同時(shí)考慮參數(shù)和輸入不確定性；參數(shù)+輸入+結(jié)構(gòu)表示綜合考慮模型參數(shù)、輸入和結(jié)構(gòu)不確定性；黑體字表示最優(yōu)值。

4 結(jié) 論

本文選用3個(gè)基于子流域的半分布式水文模型(新安江模型、混合產(chǎn)流模型和HYMOD模型)，采用貝葉斯模型平均法(BMA)開展水文模型不確定性及集合模擬實(shí)例研究。模擬結(jié)果表明： SCE-UA算法和SCEM-UA算法優(yōu)選的參數(shù)使得3個(gè)模型都能取得較好的模擬結(jié)果，但SCEM-UA算法能給出模型參數(shù)的后驗(yàn)概率分布，進(jìn)行參數(shù)的不確定性分析，得到模型的概率預(yù)報(bào)區(qū)間，具有更大的優(yōu)勢；模型在率定期的模擬結(jié)果要優(yōu)于驗(yàn)證期的模擬結(jié)果，說明模型在驗(yàn)證期具有更大的不確定性；考慮模型輸入的不確定性，模擬徑流的精度沒有較大提高，但計(jì)算的概率預(yù)報(bào)區(qū)間精度有一定的提高；采用BMA方法，綜合考慮模型參數(shù)、模型輸入和模型結(jié)構(gòu)的不確定性，其模擬結(jié)果優(yōu)于單個(gè)模型，尤其在驗(yàn)證期BMA集合模擬結(jié)果精度提高更大；此外，BMA集合模擬的概率預(yù)報(bào)性區(qū)間也優(yōu)于單個(gè)模型，說明了BMA集合模擬對提高水文預(yù)報(bào)精度和進(jìn)行不確定性分析的有效性；比較SCE-UA算法和SCEM-UA算法的BMA集合模擬結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，基于SCEM-UA算法和BMA集合得到的概率預(yù)報(bào)區(qū)間更為準(zhǔn)。綜合而言，采用SCEM-UA算法考慮模型參數(shù)的不確定性，再利用BMA集合各模型結(jié)果，能夠得到最為精確的預(yù)報(bào)值和最為可靠的概率預(yù)報(bào)區(qū)間。

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