面向壓電智能結(jié)構(gòu)精確變形的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)方法1)

吳曼喬 朱繼宏楊開科 張衛(wèi)紅

(西北工業(yè)大學(xué)，航宇材料結(jié)構(gòu)一體化與增材制造裝備技術(shù)國際聯(lián)合研究中心，西安710072)

面向壓電智能結(jié)構(gòu)精確變形的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)方法1)

吳曼喬 朱繼宏2)楊開科 張衛(wèi)紅

(西北工業(yè)大學(xué)，航宇材料結(jié)構(gòu)一體化與增材制造裝備技術(shù)國際聯(lián)合研究中心，西安710072)

智能結(jié)構(gòu)集智能材料與傳統(tǒng)材料于一體，能夠?qū)崿F(xiàn)結(jié)構(gòu)的主動控制，在航空航天等領(lǐng)域具有巨大的應(yīng)用潛力.由于其系統(tǒng)復(fù)雜且具有多場耦合效應(yīng)，智能結(jié)構(gòu)的整體式優(yōu)化設(shè)計(jì)方法成為結(jié)構(gòu)控制技術(shù)研究的關(guān)鍵之一.為了提高壓電智能結(jié)構(gòu)的整體性能和變形精度，提出了同時(shí)考慮壓電驅(qū)動器布局(分布位置及角度)和基體結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)新方法.采用多點(diǎn)約束方法(multi-point constraints,MPC)建立壓電驅(qū)動器和基體結(jié)構(gòu)的連接，定義一種與測量點(diǎn)目標(biāo)位移相關(guān)的權(quán)重函數(shù)，以實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的精確變形控制.通過協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)，壓電驅(qū)動器可以獲得最優(yōu)的分布位置及角度，同時(shí)基體結(jié)構(gòu)獲得最優(yōu)的拓?fù)錁?gòu)型，從而提升了壓電智能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的整體驅(qū)動性能和變形精度.通過進(jìn)一步分析，研究了精確變形、體分比約束與結(jié)構(gòu)優(yōu)化構(gòu)型和整體剛度的關(guān)系，以及優(yōu)化結(jié)果中可能存在的傳力路徑畸變現(xiàn)象.數(shù)值算例的設(shè)計(jì)結(jié)果表明，采用協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，能夠擴(kuò)大結(jié)構(gòu)的尋優(yōu)空間，有效減小變形誤差，實(shí)現(xiàn)壓電智能結(jié)構(gòu)的精確變形控制.

協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)，壓電智能結(jié)構(gòu)，精確變形，多點(diǎn)約束

引言

隨著科學(xué)技術(shù)，特別是航空航天技術(shù)的快速發(fā)展，人們對工業(yè)產(chǎn)品的性能要求越來越高，傳統(tǒng)的工業(yè)產(chǎn)品一旦制造為成品，便只能被動地接受環(huán)境變化的影響，難以針對環(huán)境做出適當(dāng)?shù)姆磻?yīng).智能結(jié)構(gòu)經(jīng)過20余年的發(fā)展，具有自我感知、適應(yīng)性強(qiáng)等特點(diǎn)，在結(jié)構(gòu)振動控制、質(zhì)量檢測、變形控制等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-3].其中，結(jié)構(gòu)變形控制在航天器、航空器中具有巨大的應(yīng)用潛力[4-6].壓電智能材料具有體積小、響應(yīng)時(shí)間短、頻率響應(yīng)范圍廣、易于加工制造等優(yōu)點(diǎn)，成為精確變形智能結(jié)構(gòu)中最常使用的一種智能材料.

在結(jié)構(gòu)靜力形狀控制的研究中，主要目的為減小實(shí)際形狀與預(yù)期形狀之間的誤差.大量學(xué)者以實(shí)際變形與預(yù)期變形間位移誤差的平方和最小為目標(biāo)，采用不同算法對壓電智能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的輸入電壓[7-11]、驅(qū)動器分布角度[12-13]及位置[1,14-16]分別進(jìn)行了優(yōu)化.在目前已有的靜力形狀控制設(shè)計(jì)方法中，通常只對輸入電壓、驅(qū)動器分布角度或位置中的單個(gè)因素進(jìn)行研究，而忽略了多個(gè)因素之間的相互耦合關(guān)系.

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化作為一種先進(jìn)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法，在提高結(jié)構(gòu)整體剛度、自然頻率等性能方面發(fā)揮了巨大的作用[17-19]，同時(shí)也被大量學(xué)者用于智能結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)以實(shí)現(xiàn)預(yù)期的結(jié)構(gòu)變形. 例如，Kgl等[20]提出了一種基于SIMP的PEMAP-P(piezoelectric material with penalization and polarization)壓電材料模型，通過序列線性規(guī)劃(sequential linear programming,SLP)優(yōu)化壓電材料布局和極化方向，實(shí)現(xiàn)某一指定點(diǎn)的最大位移輸出.Kang等[21]以單通道輸入電壓為設(shè)計(jì)變量，采用移動漸近線法(method of moving asymptotes,MMA)，優(yōu)化得到兩種變形模式下壓電材料的最優(yōu)輸入電壓分布形式.Luo等[22]采用MIST(moving iso-surface threshold method)方法，對壓電驅(qū)動器在固定位置時(shí)的基體結(jié)構(gòu)進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了兩種基礎(chǔ)變形控制，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對比.

事實(shí)上，上述在靜力形狀控制方面的優(yōu)化設(shè)計(jì)工作，主要針對基體結(jié)構(gòu)固定時(shí)壓電驅(qū)動器/控制器位置、尺寸及控制參數(shù)的優(yōu)化[8-9,11,13,15-16,23]，或者驅(qū)動器控制參數(shù)、位置、尺寸固定時(shí)基體結(jié)構(gòu)材料的優(yōu)化設(shè)計(jì)[20,22,24]，這兩類設(shè)計(jì)方法均未考慮智能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中各因素內(nèi)在的相互作用，因而限制了結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的整體性能.與此同時(shí)，因?yàn)樵趯?shí)際使用中壓電陶瓷易碎的特性，考慮多相材料包括壓電材料、電極材料和基體材料的拓?fù)鋬?yōu)化[25-27]產(chǎn)生的復(fù)雜邊界加大了實(shí)際生產(chǎn)制造的難度.此外，Wang等[28]提出了一種用于智能柔性機(jī)構(gòu)的協(xié)同優(yōu)化方法，采用LSM(level set model)和IPDI(independent point-wise densityinterpolation)方法同時(shí)優(yōu)化植入式特定形狀壓電片的位置和基體結(jié)構(gòu)的材料分布.

面向壓電智能結(jié)構(gòu)的精確變形控制，本文提出一種協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)新方法(見圖1).

圖1 壓電智能結(jié)構(gòu)協(xié)同優(yōu)化示意圖Fig.1 Illustration of integrated layout and topology optimization design of piezoelectric smart structure

對具有常規(guī)外形的PZT(lead zirconate titanate)壓電驅(qū)動器分布位置、角度和基體材料拓?fù)渫瑫r(shí)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，事實(shí)上拓展了優(yōu)化設(shè)計(jì)的尋優(yōu)空間，可以提升智能結(jié)構(gòu)整體驅(qū)動性能.采用MPC(multi-point constraints)方法建立可動壓電驅(qū)動器和基體結(jié)構(gòu)的連接；定義了一種基于測量點(diǎn)目標(biāo)位移權(quán)重的形狀誤差函數(shù)，以實(shí)現(xiàn)更高精度的變形控制；應(yīng)用Guo等[29-31]提出的有限包絡(luò)圓方法(finit circle method, FCM)近似描述壓電驅(qū)動器的外形輪廓，施加包絡(luò)圓距離約束防止壓電驅(qū)動器之間、驅(qū)動器與設(shè)計(jì)域外界的干涉.最終通過數(shù)值算例說明本文設(shè)計(jì)方法的有效性.

1 壓電材料電–力平衡方程

本文假設(shè)壓電智能結(jié)構(gòu)的變形為線彈性小變形.壓電材料的本構(gòu)關(guān)系可以用正壓電效應(yīng)方程和逆壓電效應(yīng)方程表示

式中，C,σ和ε分別為彈性張量、應(yīng)力張量和總體應(yīng)變張量；e,E,D和κ分別為壓電系數(shù)張量、電場強(qiáng)度矢量、電位移矢量和介電常數(shù)張量.

采用虛功原理[32]，式(1)的弱形式可以表示為

其中，f為體積力，p為施加在外力邊界Γt上的分布表面力；qc為表面電荷密度；u和?為位移和電勢，v和?為虛位移和虛電勢；Uad和Ψad為滿足位移邊界條件的位移場和電勢域.

有限元離散后，壓電材料電–力耦合方程可表示為

式中，Kuu，Ku?=K?u和K??分別為彈性剛度矩陣、壓電耦合矩陣和介電常數(shù)矩陣.U和?分別為節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)電勢矢量；F和Q分別為施加的外載荷和電荷矢量.

在本工作中，僅考慮逆壓電效應(yīng).在壓電片厚度方向施加恒定電場，假設(shè)電勢沿厚度方向線性變化，則相應(yīng)的電場強(qiáng)度矢量為E=(0 0Ve/d)，其中Ve為施加的電壓大小，d為壓電片厚度.實(shí)際模型中，兩塊同樣形狀的壓電片對稱布置于平板的上下表面，施加大小相等且方向相反的驅(qū)動電壓，用于產(chǎn)生驅(qū)動彎矩，使懸臂板產(chǎn)生面外變形.結(jié)構(gòu)模型如圖2所示.因壓電材料和基體結(jié)構(gòu)間膠接層很薄，本文忽略了膠接層的厚度，假設(shè)壓電材料與基體結(jié)構(gòu)之間為理想連接.

在施加恒定電場的情況下，壓電材料的電–力耦合關(guān)系可解耦為

其中，F(xiàn)pzt=-Ku??是壓電材料受電場作用產(chǎn)生的驅(qū)動力.

圖2 壓電智能結(jié)構(gòu)模型示意圖Fig.2 Schematic of piezoelectric smart structure

2 優(yōu)化設(shè)計(jì)模型定義

2.1 基于多點(diǎn)約束的智能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)建模

MPC方法是有限元分析中用于建立連接約束的常用方法，如模擬鉚釘連接、螺栓連接以及膠接等[30].考慮到壓電材料和基體結(jié)構(gòu)間膠接層很薄，本工作忽略了膠接層的剪切變形，采用MPC方法建立壓電材料與基體結(jié)構(gòu)之間的連接.圖3給出了采用多點(diǎn)約束連接的簡化有限元模型.其中，淺色網(wǎng)格部分表示壓電驅(qū)動器，深色網(wǎng)格部分表示普通材料構(gòu)成的基體結(jié)構(gòu).

圖3 MPC模擬壓電片與基體結(jié)構(gòu)連接示意圖Fig.3 MPC connections to simulate bonding between piezoelectric actuators and host structure

在智能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，考慮MPC連接的平衡方程[29]可寫為

式中，H為由結(jié)構(gòu)單元的形狀函數(shù)、多點(diǎn)約束位置和邊界條件共同決定的系數(shù)矩陣，λ為拉格朗日乘子向量.

2.2 形狀誤差函數(shù)

形狀控制的目標(biāo)為最小化實(shí)際變形曲面與目標(biāo)曲面的偏差，大量學(xué)者定義目標(biāo)函數(shù)為測量點(diǎn)位移誤差的平方和[9,21-22]，表示為

式中ui和ai分別表示第i個(gè)測量點(diǎn)的實(shí)際位移與目標(biāo)位移.這種定義方式是最小化測量點(diǎn)的實(shí)際位移與目標(biāo)位移之差，然而對于具有不同目標(biāo)位移的測量點(diǎn)，其精確變形控制效果在一定程度上取決于每個(gè)測量點(diǎn)位移所占權(quán)重的定義.本文提出一種與測量點(diǎn)目標(biāo)位移相關(guān)的權(quán)重用于定義形狀誤差函數(shù)，表示如下

其中，wi為第i個(gè)測量點(diǎn)的位移權(quán)重，amax為測量點(diǎn)目標(biāo)位移最大值.將測量點(diǎn)目標(biāo)位移寫作列向量A=(a1a2...am)T，位移權(quán)重構(gòu)成對角矩陣W=diag(w1w2...wm)，引入矩陣L，用于從整體位移向量U中提取測量點(diǎn)輸出位移分量，則式(7)可記為矩陣形式

以位移偏差?=ui-ai=0.1 mm，amax=1 mm為例，從表1可以看出，對于相同的位移偏差，形狀誤差函數(shù)式(7)、式(8)能很好地區(qū)分具有不同目標(biāo)位移的測量點(diǎn).然而之前的形狀誤差函數(shù)只取決于測量點(diǎn)實(shí)際位移與目標(biāo)位移的偏差，因此采用此形狀誤差函數(shù)的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)能更好地實(shí)現(xiàn)各個(gè)測量點(diǎn)的精確變形控制.

表1 兩種形狀誤差函數(shù)的對比Table 1 Comparison of two shape error functions

2.3 優(yōu)化模型

本工作的目標(biāo)是得到能實(shí)現(xiàn)精確面外變形的壓電驅(qū)動器布局與基體結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型.由于壓電驅(qū)動器產(chǎn)生的驅(qū)動力集中在其周圍，在協(xié)同優(yōu)化過程中容易引起材料集中分布于壓電驅(qū)動器周圍的現(xiàn)象.為了解決這個(gè)問題，本工作通過添加面內(nèi)虛擬力的方式引入一個(gè)剛度條件，如圖4所示.根據(jù)經(jīng)典層合板理論，由于結(jié)構(gòu)耦合剛度的存在，薄板存在拉彎耦合效應(yīng)，但當(dāng)多層薄板結(jié)構(gòu)在幾何和材料性能上關(guān)于中面對稱時(shí)，耦合剛度矩陣為零，因而面內(nèi)的虛擬力對面外目標(biāo)變形不會產(chǎn)生任何影響.

本工作主要研究壓電智能結(jié)構(gòu)中壓電驅(qū)動器布局和基體結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)目標(biāo)為智能結(jié)構(gòu)整體柔順度最小，同時(shí)給定形狀誤差函數(shù)一個(gè)很小的上限δ.優(yōu)化過程中，同時(shí)優(yōu)化基體結(jié)構(gòu)單元偽密度和壓電驅(qū)動器幾何位置兩類設(shè)計(jì)變量.

優(yōu)化模型的數(shù)學(xué)表述可以寫作

圖4 面內(nèi)虛擬力示意圖Fig.4 Illustration of virtual in-plane force

式中，ηi為基體結(jié)構(gòu)第i個(gè)單元的偽密度設(shè)計(jì)變量，描述了第j個(gè)壓電驅(qū)動器的幾何位置，其中ξjx和ξjy表示驅(qū)動器的平動自由度，ξjθ表示驅(qū)動器的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動自由度；N和M分別表示結(jié)構(gòu)偽密度設(shè)計(jì)變量和壓電驅(qū)動器數(shù)目.C為結(jié)構(gòu)的總體柔順度；V和V0分別為基體結(jié)構(gòu)材料體分比用量及其上限；?j,?j1,?j2分別為第j,j1,j2個(gè)壓電驅(qū)動器所占區(qū)域；?d為整體設(shè)計(jì)區(qū)域.

當(dāng)在協(xié)同優(yōu)化中引入設(shè)計(jì)相關(guān)載荷例如重力時(shí)，廣泛應(yīng)用的SIMP插值模型會引起低密度區(qū)域的局部變形.為了避免這個(gè)問題，Zhu等[30]提出了一種改進(jìn)的多項(xiàng)式插值模型.表述如下

式中，E(i)和E0(i)分別表示單元楊氏模量和實(shí)體材料時(shí)單元楊氏模量.本文采用式(10)形式的插值模型，其中，p和χ的取值分別為4和1/16.

3 靈敏度分析

壓電智能結(jié)構(gòu)的整體柔順度和形狀誤差函數(shù)等響應(yīng)關(guān)于兩類設(shè)計(jì)變量的靈敏度均可解析獲得，具體推導(dǎo)過程如下.

3.1 對偽密度設(shè)計(jì)變量的靈敏度

結(jié)構(gòu)總體柔順度和形狀誤差函數(shù)的矩陣形式可分別表述為

上式兩端同時(shí)對偽密度設(shè)計(jì)變量ηi求偏導(dǎo)，可得

對平衡方程式(5)兩端關(guān)于偽密度設(shè)計(jì)變量ηi求偏導(dǎo)，得

式中，F(xiàn)為設(shè)計(jì)無關(guān)載荷；Fpzt=-Ku??為壓電驅(qū)動力，假設(shè)其不隨基體結(jié)構(gòu)變化而變化；系數(shù)矩陣H與偽密度設(shè)計(jì)變量無關(guān)，因此等式(13)可表示為

將式(14)代入式(12)，且由式(5)得UTHT=0，因此式(12)可表示為

使用伴隨法，引入列向量q滿足

可得

將式(17)代入式(15)，可得

3.2 對幾何設(shè)計(jì)變量的靈敏度

結(jié)構(gòu)總體柔順度和形狀誤差函數(shù)對幾何設(shè)計(jì)變量ξj的偏導(dǎo)數(shù)可類似得到

對平衡方程式(5)兩端關(guān)于幾何設(shè)計(jì)變量ξj求偏導(dǎo)，可得到

因矩陣系數(shù)H與驅(qū)動器幾何位置相關(guān)，驅(qū)動器幾何位置變化時(shí)，?HT/?ξj≠0.

當(dāng)驅(qū)動器發(fā)生平動時(shí)，ξj為第j個(gè)驅(qū)動器的平動自由度設(shè)計(jì)變量，其變化不影響結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，因此?Kuu/?ξj=0，?Ku?/?ξj=0，則式(20)可寫為

參照式(16)引入列向量q，UTHT=0，qTHT=0.將式(21)代入式(19)，式(19)可化簡為

若ξj是第j個(gè)驅(qū)動器的轉(zhuǎn)動自由度設(shè)計(jì)變量，由于轉(zhuǎn)動影響結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，則式(20)可寫為

當(dāng)驅(qū)動器發(fā)生轉(zhuǎn)動，第j個(gè)驅(qū)動器的彈性剛度矩陣、壓電耦合矩陣可以寫為

因此，式(19)可寫為

綜上，結(jié)構(gòu)整體柔順度和形狀誤差函數(shù)對幾何設(shè)計(jì)變量的靈敏度可寫為

4 數(shù)值算例

考慮如圖5所示尺寸為200 mm×148 mm×1 mm的懸臂鋁板，在其上下表面通過MPC多點(diǎn)約束連接4對矩形壓電驅(qū)動器，尺寸均為40 mm×22 mm×1 mm，分別標(biāo)記為E,F,G,H.邊界條件如圖5所示，結(jié)構(gòu)變形由壓電驅(qū)動器的逆壓電效應(yīng)產(chǎn)生.材料屬性如下.

主體結(jié)構(gòu)，彈性模量E0=70 GPa，泊松比ν0=0.32.

PZT壓電驅(qū)動器，彈性模量Ep=63 GPa，泊松比νp=0.3，壓電系數(shù)d31=d32=2.54×10-10m/V.

懸臂板邊框深色區(qū)域?yàn)榉窃O(shè)計(jì)域，內(nèi)部淺色區(qū)域?yàn)樵O(shè)計(jì)域.主體結(jié)構(gòu)材料用量上限V0為50%.為避免壓電驅(qū)動器間干涉，其幾何輪廓采用有限包絡(luò)圓近似[30-31]，如圖5(b)所示.考慮結(jié)構(gòu)的對稱性，僅選取8個(gè)測量點(diǎn)M1～M8，約束形狀誤差函數(shù)上限從而精確控制曲面變形.

考慮結(jié)構(gòu)的彎曲變形形式[10,22]，定義目標(biāo)曲面函數(shù)為

圖5 壓電智能懸臂板結(jié)構(gòu)示意圖(○：測量點(diǎn))Fig.5 Schematic of a piezoelectric integrated cantilever plate (○：observation points)

式中，a=200 mm，θ為彎曲變形目標(biāo)曲面與初始水平面夾角.

圖6 彎曲變形結(jié)構(gòu)構(gòu)型優(yōu)化歷史Fig.6 Iterative history of optimization design of structure configuratio in bending deformation

4.1 彎曲變形

取式(28)中θ=0.25°，則彎曲變形目標(biāo)曲面的表達(dá)式為

4對壓電驅(qū)動器均施加大小、方向相同的電壓70 V.在基體結(jié)構(gòu)(200，0，0)mm點(diǎn)處施加一個(gè)面內(nèi)虛擬力f1=(0，40，0)N；形狀誤差函數(shù)上限δ取為0.01 mm2.采用梯度算法GCMMA(globally convergent method of moving asymptotes)[33]對優(yōu)化問題進(jìn)行求解.壓電驅(qū)動器的位置、角度隨迭代過程而變動，且基體結(jié)構(gòu)材料分布逐漸清晰，如圖6所示.

圖7 實(shí)際變形與目標(biāo)變形曲面誤差絕對值分布優(yōu)化歷史Fig.7 Iterative history of absolute value of error distribution between computed shape and desired shape

圖8 優(yōu)化構(gòu)型變形對比Fig.8 Comparison of computed shape and desired shape

迭代初始，由于施加電場后壓電材料周圍存在集中驅(qū)動載荷，壓電驅(qū)動器對優(yōu)化目標(biāo)更敏感，位置及角度更新迅速；隨后，基體結(jié)構(gòu)材料支撐壓電驅(qū)動器，分布逐漸清晰；與此同時(shí)，壓電驅(qū)動器位置、角度微調(diào)以增加結(jié)構(gòu)變形的精確度.最終優(yōu)化構(gòu)型中，壓電驅(qū)動器E的幾何中心位置從初始的(50，-35，0)mm移動到(48.80，-32.17，0)mm，角度旋轉(zhuǎn)0°，壓電驅(qū)動器F的幾何中心位置從初始的(150，-35，0)mm移動到(149.75，-33.38，0)mm，角度旋轉(zhuǎn)7.46°.形狀誤差函數(shù)值從初始的1.76 mm2減小到最終的9.60×10-3mm2，優(yōu)化過程中實(shí)際變形與目標(biāo)變形的誤差分布如圖7所示，最終優(yōu)化構(gòu)型變形如圖8所示.從表2可知，測量點(diǎn)最大位移誤差出現(xiàn)在M8處，僅5.54%.可見，通過協(xié)同優(yōu)化，壓電驅(qū)動器位置、角度及基體結(jié)構(gòu)材料均找到最優(yōu)化的分布，從而實(shí)現(xiàn)了預(yù)期變形.目標(biāo)函數(shù)經(jīng)105次迭代收斂于1.77 mJ，如圖9所示.

表3 不同初始布局下的優(yōu)化構(gòu)型Table 3 Di ff erent optimized design due to di ff erent original layouts

圖9 協(xié)同優(yōu)化收斂曲線Fig.9 Convergence history of objective function andErconstraint of iterative optimization design

為研究壓電驅(qū)動器初始布局對優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果的影響，本文進(jìn)一步分析在不同初始布局下的精確變形協(xié)同優(yōu)化問題，其初始布局及最終優(yōu)化構(gòu)型如表3所示.在4種優(yōu)化構(gòu)型中，壓電驅(qū)動器均找到適宜的分布位置及角度，且基體結(jié)構(gòu)材料支撐壓電驅(qū)動器形成清晰合理的傳力路徑.4種初始布局下優(yōu)化問題最終收斂的目標(biāo)函數(shù)值與形狀誤差函數(shù)值均相差不大，壓電驅(qū)動器均由不同初始位置、角度變化到初始布局1中的分布區(qū)域；但基體結(jié)構(gòu)最終拓?fù)錁?gòu)型存在不同程度的差異，例如初始布局3和4均獲得與初始布局1和2顯著不同的基體結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型.可見，結(jié)構(gòu)優(yōu)化構(gòu)型依賴于壓電驅(qū)動器的初始布局，在協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)中需要合理選擇結(jié)構(gòu)的初始布局.由于協(xié)同優(yōu)化問題的非凸性，GCMMA算法只能得到局部解[34-35].但在另一方面，局部解能為工程設(shè)計(jì)人員提供更多的設(shè)計(jì)方案，具有實(shí)用的工程設(shè)計(jì)價(jià)值.

4.2 優(yōu)化過程中傳力路徑的畸變現(xiàn)象

進(jìn)一步分析在協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)方法中，形狀誤差及體分比約束條件對精確變形智能結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的影響規(guī)律.

仍以上述懸臂板結(jié)構(gòu)為例，顯然形狀誤差函數(shù)約束上限δ衡量著結(jié)構(gòu)變形的準(zhǔn)確度，δ值越小，變形準(zhǔn)確度越高.針對圖6(a)初始布局下的彎曲變形，依次取δ=0.001，0.005，0.010，0.015和0.025 mm2，進(jìn)行協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)果如圖10所示.當(dāng)形狀誤差函數(shù)上限δ大于0.01 mm2時(shí)，隨著δ的減小，結(jié)構(gòu)優(yōu)化構(gòu)型發(fā)生變化，并得到更加精確的實(shí)際變形，例如圖10中(Ⅴ)，(Ⅳ)和(Ⅲ).當(dāng)約束過強(qiáng)時(shí)，結(jié)構(gòu)為滿足更加嚴(yán)格的變形要求，傳力路徑發(fā)生斷裂并伴隨結(jié)構(gòu)剛度的巨大損失，出現(xiàn)不合理的結(jié)構(gòu)形式，如圖10中(Ⅰ)和(Ⅱ).在δ=0.010和0.015 mm2時(shí)，如圖10中(Ⅲ)和(Ⅳ)所示，取得較優(yōu)參數(shù)匹配，且最終優(yōu)化構(gòu)型十分相似.上述算例表明，當(dāng)精確變形約束定義過強(qiáng)時(shí)，雖然優(yōu)化得到的柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)及中間密度單元有利于實(shí)現(xiàn)整體結(jié)構(gòu)變形要求，但從工程設(shè)計(jì)及實(shí)際物理意義角度需將形狀誤差函數(shù)約束上限δ控制在合理范圍.

圖10 形狀誤差約束上限對結(jié)構(gòu)應(yīng)變能和結(jié)構(gòu)構(gòu)型的影響Fig.10 Compliance energy and structure optimized design under di ff erentErconstraint upper bounds

上述算例均基于體分比約束上限V0=50%，在另一方面，材料用量決定著結(jié)構(gòu)的傳力路徑及整體構(gòu)型.因此，本文在圖6(a)初始布局及形狀誤差函數(shù)上限0.01 mm2基礎(chǔ)上改變V0范圍為30%～80%，進(jìn)一步研究其影響規(guī)律.如圖11所示，當(dāng)材料用量約束上限V0僅為30%時(shí)，傳力路徑簡化為細(xì)桿形式，材料精簡在主傳力路徑上.但由于材料約束過強(qiáng)導(dǎo)致主傳力路徑斷裂、剛度過弱；隨著材料用量約束上限的提高，材料逐漸在中間部位堆積，并沿主傳力路徑增強(qiáng)；當(dāng)材料用量約束上限V0提高到70%時(shí)，結(jié)構(gòu)剛度進(jìn)一步增大，但是傳力路徑中出現(xiàn)復(fù)雜的細(xì)枝、角片構(gòu)型，且材料在結(jié)構(gòu)中間部位過度堆積，利用率低.

圖11 體分比對結(jié)構(gòu)應(yīng)變能和結(jié)構(gòu)構(gòu)型的影響Fig.11 Compliance energy and structure optimized design under di ff erent volume fractions

5 結(jié)論

(1)提出了精確變形下壓電智能結(jié)構(gòu)的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)新方法，通過定義與測量點(diǎn)目標(biāo)位移權(quán)重相關(guān)的形狀誤差函數(shù)控制結(jié)構(gòu)的精確變形，采用協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)方法可同時(shí)實(shí)現(xiàn)壓電驅(qū)動器位置、角度更新及基體結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型優(yōu)化.本方法拓展了壓電智能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的整體式優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，能夠有效控制壓電智能結(jié)構(gòu)的精確變形.

(2)完成了壓電智能懸臂板彎曲變形的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)，通過數(shù)值算例驗(yàn)證了所提方法的正確性，優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果獲得了新的壓電驅(qū)動器布局和清晰的基體結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型，兩類設(shè)計(jì)因素共同構(gòu)成壓電智能懸臂板的傳力路徑，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的精確變形.進(jìn)一步討論了壓電驅(qū)動器不同初始布局對結(jié)構(gòu)構(gòu)型的影響，基于壓電驅(qū)動器不同初始布局能夠獲得不同的優(yōu)化構(gòu)型，同時(shí)能為工程設(shè)計(jì)提供更多可供選擇的設(shè)計(jì)方案.此外，深入分析了精確變形、體分比約束對于結(jié)構(gòu)優(yōu)化構(gòu)型和整體性能的影響，發(fā)現(xiàn)并分析了優(yōu)化過程中由于約束定義不合理將可能導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)畸變現(xiàn)象.

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INTEGRATED LAYOUT AND TOPOLOGY OPTIMIZATION DESIGN OF PIEZOELECTRIC SMART STRUCTURE IN ACCURATE SHAPE CONTROL1)

Wu Manqiao Zhu Jihong2)Yang Kaike Zhang Weihong
(International Joint Research Center on Design and Additive Manufacture of Aerospace Materials and Structures,Northwestern Polytechnical University,Xi’an710072,China)

Smart structures are those equipped with sensors/actuators made of smart materials,which have the capability to control structure movement in such a way that makes the design more efficient.However,due to systematic complexity and multidisciplinary objectives,the optimization design of such structures in accurate shape control becomes very challenging.This paper proposes an integrated layout and topology optimization design method for accurate shape control of smart structures with surface bonded piezoelectric actuators.The multi-point constraints(MPC)method is used to simulate the bonding connections between movable piezoelectric actuators and host supporting structures.A new weighted shape error function based on desired deflection of observation points is define to fulfil accurate shape control of piezoelectric smart structure.Through the proposed method,the optimal position and orientation of each piezoelectric actuator as well as the topology configuratio of host supporting structure are founded,which significantl improves the systematic actuating and morphing performance of piezoelectric smart structures.Further studies on the relationships of structural sti ff ness with shape morphing constraint and volume fraction constraint are carried out,and distortions of load carryingpath in optimized designs are illustrated.With several numerical results,the proposed integrated optimization method is proved to be an efficient way to decrease the error between computed and desired surface and achieve the accurate shape control of piezoelectric smart structures.

integrated optimization design，piezoelectric smart structure，accurate shape control，multi-point constraint

V214.19

A

10.6052/0459-1879-16-273

2016–09–27收稿，2016–12–23錄用,2016–12–27網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國家自然科學(xué)基金（11432011，11620101002）和高等學(xué)校創(chuàng)新引智計(jì)劃（B07050）資助項(xiàng)目.

2)朱繼宏，教授，主要研究方向：飛行器輕質(zhì)結(jié)構(gòu)性能優(yōu)化設(shè)計(jì)、航天器結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體優(yōu)化設(shè)計(jì)、熱-機(jī)械耦合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)、面向增材制造的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì).E-mail：JH.Zhu@nwpu.edu.cn

吳曼喬,朱繼宏,楊開科,張衛(wèi)紅.面向壓電智能結(jié)構(gòu)精確變形的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)方法.力學(xué)學(xué)報(bào),2017,49(2):380-389

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