擺動(dòng)河槽水動(dòng)力穩(wěn)定性特征分析1)

白玉川 冀自青 徐海玨,2)

?(天津大學(xué)水利工程仿真與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300072)

?(天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津300072)

擺動(dòng)河槽水動(dòng)力穩(wěn)定性特征分析1)

白玉川?,?冀自青?徐海玨?,?,2)

?(天津大學(xué)水利工程仿真與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300072)

?(天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津300072)

河流形態(tài)與水動(dòng)力結(jié)構(gòu)息息相關(guān)，形態(tài)約束水動(dòng)力結(jié)構(gòu)，水動(dòng)力結(jié)構(gòu)則通過泥沙運(yùn)動(dòng)進(jìn)一步塑造形態(tài)，在自然界河流中形成一對(duì)辯證互饋關(guān)系.天然河流形態(tài)形式多樣，大致可以分為順直、微彎、分叉和散亂游蕩幾種類型，其中微彎及多個(gè)彎曲構(gòu)成的河型為河流動(dòng)力演化中最重要的一環(huán).多個(gè)彎曲構(gòu)成的河型可用正弦派生曲線來描述，它也是天然河流主槽與水動(dòng)力結(jié)構(gòu)復(fù)雜相互作用的結(jié)果.作為探討這一過程的力學(xué)作用機(jī)理，構(gòu)建擺動(dòng)槽道并研究槽道擺動(dòng)與其內(nèi)部流動(dòng)結(jié)構(gòu)的互饋關(guān)系，既是流體力學(xué)研究的熱點(diǎn)內(nèi)容，也是目前河流動(dòng)力過程研究的基礎(chǔ)內(nèi)容.在此重點(diǎn)討論這一互饋關(guān)系前一部分，即水流對(duì)擺動(dòng)邊界的響應(yīng).文中建立了隨體坐標(biāo)系下擺動(dòng)河槽與內(nèi)部水流動(dòng)力響應(yīng)理論模型，通過給定擺動(dòng)彎曲槽道的不同特征參數(shù)，研究討論了正弦派生型擺動(dòng)邊界下的槽道水流動(dòng)力穩(wěn)定性特征，明確了彎曲槽道擺動(dòng)對(duì)其內(nèi)部主流及擾動(dòng)水流結(jié)構(gòu)的影響，確定彎曲槽道擺動(dòng)波數(shù)、擺動(dòng)頻率對(duì)擾動(dòng)流發(fā)展影響的相應(yīng)參數(shù)定量關(guān)系，得到了槽道彎曲度和擺動(dòng)特征對(duì)其內(nèi)部水流不同尺度擾動(dòng)影響的閾值選擇性范圍.

河槽擺動(dòng)，槽道流動(dòng)，正弦派生，水流特性，水動(dòng)力穩(wěn)定性特征

引言

復(fù)雜邊界與內(nèi)部水流的相互作用既是研究河流擺動(dòng)機(jī)理的基礎(chǔ)，也是近來流體力學(xué)研究的熱門課題.

平行槽道內(nèi)的流動(dòng)在小雷諾數(shù)時(shí)為層流，其流速分布為二次分布；然而，在復(fù)雜可動(dòng)邊界內(nèi)流速將產(chǎn)生變化，此時(shí)其水動(dòng)力穩(wěn)定性特征也會(huì)相應(yīng)變化.

目前對(duì)于復(fù)雜可動(dòng)邊界內(nèi)流體流動(dòng)特征的研究主要沿著兩個(gè)方向進(jìn)行：一個(gè)是彈性固壁在水流作用下的自由振動(dòng).這方面主要代表學(xué)者有Davies和Carpenter[1-2],Hell和Waters[3],Guaus等[4],Pitman和Lucey[5]，其核心思想是將邊壁構(gòu)造成無數(shù)彈性支承的薄壁梁，對(duì)彈性邊界和內(nèi)部水流分別建立控制方程，研究彈性邊壁對(duì)平面Poiseuille流、Taylor–Couette流水動(dòng)力穩(wěn)定性的影響.另一個(gè)是以水流減阻為主要目標(biāo)，研究靜態(tài)或動(dòng)態(tài)復(fù)雜邊界內(nèi)層流運(yùn)動(dòng)的水動(dòng)力穩(wěn)定性和湍流擬序結(jié)構(gòu)的發(fā)展.例如，Hall[6]、Thomas等[7]探討了邊壁縱向振動(dòng)對(duì)平面Poiseuille流水動(dòng)力穩(wěn)定性特征的影響；Kuhlmann等[8]針對(duì)兩壁逆向旋轉(zhuǎn)的空腔，研究了其內(nèi)部水流的穩(wěn)定性；Hell和Waters[3]則針對(duì)彈性圓柱殼中的水流結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究；Ren等[9]分析并得到了邊壁縱向勻速平移對(duì)內(nèi)部水流水動(dòng)力穩(wěn)定性的影響；Sen等[10]研究了固定邊壁和可動(dòng)邊壁交替出現(xiàn)時(shí)T-S波在邊界上的傳播.

由于研究對(duì)象的不同，以上這些成果大多研究邊壁縱向運(yùn)動(dòng)對(duì)內(nèi)部水流結(jié)構(gòu)和水動(dòng)力穩(wěn)定性的影響，很少有模型考慮邊壁橫向擺動(dòng)對(duì)內(nèi)部水流的影響.然而對(duì)于彎曲河流的演化機(jī)理[11]，槽道橫向擺動(dòng)邊界內(nèi)水流運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究更具有實(shí)際意義[12-13].

因此，本文首先假設(shè)河槽的擺動(dòng)趨勢(shì)，建立了隨體坐標(biāo)系下擺動(dòng)性槽道內(nèi)水流流動(dòng)的理論模型，討論了正弦派生型擺動(dòng)邊界下的槽道水流動(dòng)力穩(wěn)定性特征，其次確定了擺動(dòng)波數(shù)與擺動(dòng)頻率對(duì)主流流速和內(nèi)部擾動(dòng)發(fā)展影響的定量關(guān)系，最后分析并得到了槽道彎曲度和擺動(dòng)特征對(duì)其內(nèi)部水流不同尺度擾動(dòng)的選擇性影響.

1 基本方程

天然河道，尤其是下游河段一般是寬淺型的(河寬與水深比值不小于1).因此，河道在下游彎曲河段會(huì)呈現(xiàn)出典型的三維流動(dòng)特征.然而，河道的中上游河段，若經(jīng)過大峽谷，則一般會(huì)形成窄深型的河道(河寬與水深比值小于1).此時(shí)，河道水深方向上變量的變化就可忽略不計(jì)，表現(xiàn)出典型的平面二維水流流動(dòng)特征，這種河槽中的二維流動(dòng)在Parker等[14]，Ikeda等[15]、Bai和Xu[16]以及Xu和Bai[17]的文中都有專門討論和分析.因此，本文也針對(duì)窄深型河槽建立平面二維坐標(biāo)系統(tǒng).

采用如圖1中所示的坐標(biāo)系，河道中心線是沿著流向且處于河道中心位置的曲線，s?方向的其他曲線都是平行于河道中心線而n?方向是處處垂直于河道中心線并在水平面內(nèi)的方向，因此s?和n?線是處處正交的關(guān)系.這種坐標(biāo)系在Parker等[14]以及Ikeda等[15]的文章中首次使用，并在Bai等[18]的文章中多次討論.

圖1 正弦派生曲線邊界平面示意圖Fig.1 Sketch of sine-generated boundary

長(zhǎng)度尺度、速度尺度、時(shí)間尺度分別用半寬B?,零階基本流流速峰值無量綱化；河道曲率用河道最大曲率無量綱化，對(duì)于正弦派生曲線

正弦派生曲線相關(guān)物理量的無量綱參數(shù)：偏角幅值θm，擺動(dòng)波數(shù)αc，擺動(dòng)角頻率ωc，其與實(shí)際物理量直接的關(guān)系式為

式中，uc為槽道擺動(dòng)的無量綱相速度，亦可寫為uc=ωc/αc.

物理量無量綱化關(guān)系式為

擺動(dòng)相位：φc=αcs-ωct；偏角寫為復(fù)數(shù)形式：θ=θmexp(iφc)；無量綱曲率函數(shù)的復(fù)數(shù)形式：c=θ,s=iαcθ；無量綱曲率幅值

無量綱形式的控制方程為

無滑移邊界條件

式中，S(s,t)為槽道中心線在拉格朗日坐標(biāo).槽道中心線伸縮比：當(dāng)槽道中心線無伸縮時(shí)，?S/?s=1，亦即us0,s=0或us0=us0(t).

值得注意的是，河道形態(tài)參數(shù)很多具有復(fù)數(shù)形式，其中包括：河道波數(shù)αc、河道頻率ωc、擺動(dòng)相位 φc、無量綱曲率函數(shù)c、Lame系數(shù)hs等.基本所有參數(shù)的實(shí)部具有物理含義，而虛部沒有具體物理含義，因此參數(shù)的取值一般為參數(shù)的實(shí)部.然而，在計(jì)算中需要用到參數(shù)的實(shí)部和虛部.如：偏角θ可以寫作θ=θmexp(iφc)=θmexp[i(φcr+iφci)]=θmexp(-φci)exp(iφcr).其中，φcr和φci分別是擺動(dòng)相位φc的實(shí)部和虛部.因此，擺動(dòng)相位實(shí)部φcr體現(xiàn)了河道周期性變化對(duì)偏角的影響，而其虛部φci則體現(xiàn)了河道非周期擺動(dòng)幅度改變對(duì)偏角的影響.

2 基本流攝動(dòng)解

攝動(dòng)法又稱小參數(shù)展開法，就是將系統(tǒng)視為理想模型的參數(shù)或結(jié)構(gòu)作了微小擾動(dòng)的結(jié)果來研究其運(yùn)動(dòng)過程的數(shù)學(xué)方法.這種方法最早應(yīng)用于天體力學(xué)，用來計(jì)算小天體對(duì)大天體運(yùn)動(dòng)的影響，后來廣泛應(yīng)用于物理學(xué)和力學(xué)的理論研究.利用攝動(dòng)法求解方程，也稱攝動(dòng)分解，通常需要在無量綱方程中選擇一個(gè)能反映物理特征的無量綱小參數(shù)作為攝動(dòng)量，然后假設(shè)解可以按小參數(shù)展成冪級(jí)數(shù)，將這一形式級(jí)數(shù)代入無量綱方程后，可得各級(jí)近似方程，依據(jù)這些方程可確定冪級(jí)數(shù)的系數(shù)，對(duì)級(jí)數(shù)進(jìn)行截?cái)?，便得到原方程的漸近解.

無量綱曲率幅值ψ=B?/r?，表示半河寬與最小曲率半徑之比，它代表了槽道的空間彎曲程度，是重要的彎曲特征參數(shù)，這個(gè)幅值越大就證明彎道越尖銳.根據(jù)實(shí)際測(cè)量資料的結(jié)果顯示，天然形成河流槽道的ψ值大多在0.05～0.1的范圍內(nèi)[19-21]，幾乎沒有超過0.3的.因此，在對(duì)方程的處理中，一般認(rèn)為ψ是可用于方程攝動(dòng)展開的小參數(shù)量.

擺動(dòng)角頻率ωc反映擺動(dòng)槽道的時(shí)間特征，中心線橫向速度un0的量級(jí)為ucθm，槽道緩慢擺動(dòng)時(shí)可認(rèn)為其與ψ同量級(jí).

2.1 基本流

以無量綱曲率幅值ψ為小參數(shù)，對(duì)Xψ進(jìn)行攝動(dòng)分解，只保留一階攝動(dòng)一次諧波量，可得

式中，第 1項(xiàng)Xψ0為順直項(xiàng)部分 (ψ0)，對(duì)應(yīng) ψ=0時(shí)的直槽流，為實(shí)向量函數(shù)；第2項(xiàng)為一階彎曲修正項(xiàng)，與槽道中心線擺動(dòng)同頻同波數(shù)，表示為復(fù)數(shù)形式，其幅值：頂標(biāo)?表示波動(dòng)量的幅值，為復(fù)向量函數(shù)

ψ0階對(duì)應(yīng)固定直槽道流動(dòng)，其對(duì)應(yīng)基本流解為Poiseuille流流速分布

ψ1階反映了槽道彎曲對(duì)水流流動(dòng)造成的影響，其解對(duì)應(yīng)的方程為

對(duì)ψ1階方程(7)簡(jiǎn)化，可得一個(gè)O-S方程形式的常微分方程

結(jié)合邊界條件，差分法求解方程，采用橫向網(wǎng)格數(shù)N=1000，由式(8)可解得橫向流速幅值將其代回方程(7)的連續(xù)方程和s向動(dòng)量方程，可解得一階縱向流速和壓力的幅值

2.2 擺動(dòng)波數(shù)αc對(duì)一階基本流解的影響

對(duì)于固定的彎曲槽道，擺動(dòng)角頻率ωc=0.雷諾數(shù)Re=2000時(shí)，求解控制方程(7)，可得一階流速分量和沿n方向分布圖，見圖2和圖3.

圖2為一階流速分布在復(fù)數(shù)空間的分解，函數(shù)Re(),Im()分布表示復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.實(shí)部為相位φ=0的正彎頂處的流速分布，虛部則為相位φ=-π/2的零曲率的直槽處流速分布，提前個(gè)相位.

圖2顯示，一階s方向流速呈反對(duì)稱分布，而n方向流速則呈對(duì)稱分布；一階s方向流速在近兩壁處有最大值和最小值，極值大小和所處位置隨擺動(dòng)波數(shù)αc增變化而變化.

隨擺動(dòng)波數(shù)αc增大，一階n方向流速隨擺動(dòng)波數(shù)αc增大明顯增大；一階s方向流速極值所處位置隨擺動(dòng)波數(shù)αc增大而逐漸靠近兩壁，在αc=(0,0.5)的范圍內(nèi)實(shí)部逐漸增大，而虛部則先增大后減小.

圖2 一階流速沿n方向分布(復(fù)數(shù)空間)Fig.2 Distribution of first-orde velocities alongndirection(complex space)

這是因?yàn)?，無量綱曲率幅值ψ是擺動(dòng)波數(shù)αc和偏角幅值θm的乘積，當(dāng)偏角幅值保持不變時(shí)，ψ會(huì)隨著αc的增大而增大.因此，αc增大就意味著河槽的擺動(dòng)幅度增加，此時(shí)，s方向的最大水流流速會(huì)由于慣性的作用偏向凹岸一側(cè)，而且擺動(dòng)幅度越大，最大流速的偏離就越嚴(yán)重，甚至開始慢慢貼近凹岸邊界.

圖3則為一階流速分布在幅值--相位空間的分解，Am()和Ph()分別表示復(fù)數(shù)的幅值和相位(弧度制).由圖3和圖2可知，縱向流速和橫向流速的幅值呈對(duì)稱分布，的相位呈對(duì)稱分布，但的相位在槽道兩側(cè)有180°的相位差，亦即

圖3 一階流速沿n方向分布(幅值--相位空間)Fig.3 Distribution of first-orde velocities alongndirection(amplitude-phase space)

2.3 擺動(dòng)角頻率ωc對(duì)一階基本流解的影響

對(duì)于擺動(dòng)的彎曲槽道，擺動(dòng)角頻率ωc≠0.擺動(dòng)波數(shù)αc=0.3,雷諾數(shù)Re=2000時(shí)，求解控制方程(1)，所得一階流速分量的橫向分布繪圖，見圖4和圖5.

圖4 一階流速沿n方向分布(復(fù)數(shù)空間)Fig.4 Distributions of first-orde velocities alongndirection(complex space)

擺動(dòng)槽道的一階流速分布取決于兩方面的影響，一方面源自于槽道彎曲,即擺動(dòng)波數(shù)αc的影響,一方面源自于擺動(dòng)頻率ωc的影響.圖4中黑色實(shí)線為ωc=0的固定彎曲槽道中的一階流速分布，取ωc=-0.10,-0.05,0,0.05,0.10五種不同的擺動(dòng)情況，并以實(shí)線和虛線區(qū)分?jǐn)[動(dòng)傳播方向，實(shí)線對(duì)應(yīng)ωc＞0，虛線對(duì)應(yīng)ωc＜0.由圖4可見，擺動(dòng)向下游傳播時(shí)，擺動(dòng)頻率ωc對(duì)一階流速影響比向上游傳播大，而且，整體來說，擺動(dòng)頻率ωc對(duì)一階流速的影響與擺動(dòng)波數(shù)對(duì)它的影響是相反的(圖2).這是因?yàn)楹硬壑械乃髁魉俜较蚴窍蛳掠蔚模虼?，水流的信息主要是向下游傳播的，擺動(dòng)向下游傳播間接推動(dòng)了水流信息的傳播效果.然而，又由于水流和河槽邊界同時(shí)向下游運(yùn)動(dòng)，它們之間的相對(duì)速度就減小了，就相當(dāng)于間接減小了波數(shù)的影響.因此，擺動(dòng)頻率對(duì)一階流速的影響與擺動(dòng)波數(shù)對(duì)它的影響效果是相反的.

隨著擺動(dòng)頻率ωc由零減小，一階縱向流速和橫向流速分布迅速反向，且ωc=0.05和ωc=0.10兩種擺動(dòng)頻率下相差不大.

隨著擺動(dòng)頻率ωc由零增大，ωc=0.05時(shí)，彎頂處兩壁附近出現(xiàn)一階縱向流速的反向分布 (與 ωc=0時(shí)的黑線分布對(duì)比)，這時(shí)擺動(dòng)波數(shù)αc和擺動(dòng)頻率ωc的影響相當(dāng)；擺動(dòng)頻率繼續(xù)增大ωc=0.10時(shí)，反向流速分布擴(kuò)展到全斷面，這時(shí)擺動(dòng)頻率ωc的影響占主導(dǎo)地位.直槽處的一階橫向流速分布隨擺動(dòng)波數(shù)的變化與彎頂處分布相似.二者隨ωc的復(fù)雜變化規(guī)律是由于邊界流速非零，因此其近壁流速才呈現(xiàn)局部反向分布的現(xiàn)象.

圖5為一階流速分布在幅值--相位空間的分解，一階縱向流速和橫向流速的幅值和相位均呈對(duì)稱分布.

同時(shí)，從圖5(b)中可以觀察到ωc=0.10對(duì)應(yīng)的藍(lán)色實(shí)線從1.0突然跳轉(zhuǎn)到-1.0，這是因?yàn)閳D5(b)中第2個(gè)圖代表的是unψ1的相位，而通過反正切計(jì)算相位的值域在(-π,π)之間.這種跳轉(zhuǎn)體現(xiàn)了相位的值域范圍的約束，其本身只有數(shù)學(xué)上的意義，在物理上Ph(unψ1)/π仍然是一個(gè)連續(xù)函數(shù).

圖5 一階流速橫向分布(幅值--相位空間)Fig.5 Distributions of first-orde velocities(amplitude-phase space)

3 水動(dòng)力穩(wěn)定性及擬序擾動(dòng)發(fā)展的邊界效應(yīng)

按照描述湍流擬序結(jié)構(gòu)理論方法[23-25]，方程的解X=[us,un,p]T分解為基本流解Xψ與擾動(dòng)解XT之和的形式，X=Xψ+XT.

與平面 Poiseuille流相比，擺動(dòng)槽道基本流中的波動(dòng)項(xiàng)部分Xψ1的使內(nèi)部水流既有流動(dòng)的自然失穩(wěn)又有由于擺動(dòng)彎曲誘發(fā)的失穩(wěn)，擾動(dòng)量XT=可表述為以下形式

式中，擾動(dòng)相位φT=αTs-ωTt,由于基本量Xψ對(duì)ψ取一階近似，擾動(dòng)解中包含-1,0,1次諧波量，故式(9)在m=±1處截?cái)?，XT的幅值為n的復(fù)數(shù)函數(shù)，

將式(9)中的擬序擾動(dòng)XT、基本解Xψ代入原始控制方程(2)～方程(4)，得到擬序擾動(dòng)的控制方程為

邊界條件n=±1,usT=unT=0.

式(10)～式(12)為擬序結(jié)構(gòu)擾動(dòng)項(xiàng)控制方程.方程中既有邊界波動(dòng)(拉梅系數(shù)hs)對(duì)擾動(dòng)解的直接影響，也有邊界波動(dòng)引起的一階基本流Xψ1對(duì)擾動(dòng)解的間接影響.擾動(dòng)方程的非線性使得各擾動(dòng)諧波量相互耦合，這種耦合有兩方面，一種是由高階基本流(usψi,unψi)的色散作用引起，一種是由拉梅系數(shù)hs的Taylor高階展開項(xiàng)的色散作用引起.由于本文只保留一階基本流和三種擾動(dòng)諧波量，前者只對(duì)相鄰擾動(dòng)諧波起作用，而拉梅系數(shù)hs則在各擾動(dòng)分量之間都能起到影響,故需保留hs的ψ的二階展開項(xiàng)，即

式中，c.c表示復(fù)共軛.將式(13)代入擬序擾動(dòng)方程(10)～方程(12)，可得擾動(dòng)幅值方程

式中，m=0,±1，式(14)～式(16)構(gòu)成9元耦合方程組.αT和ωT分別為無量綱形式的擾動(dòng)波數(shù)和擾動(dòng)角頻率；αc和ωc分別為無量綱邊界擺動(dòng)波數(shù)和擺動(dòng)角頻率.

式 (14)～式 (16)代表彎曲河道水動(dòng)力穩(wěn)定性特征.方程組中未知量包含9個(gè)線性無關(guān)的特征變量：這些特征變量均為自變量n的特征函數(shù)，且相互耦合，以矩陣形式可表述為

系數(shù)矩陣A,B,C各元素的顯示表述可由方程(14)～方程(16)及附錄得到，限于篇幅不再贅述.系數(shù)矩陣中共有兩組參數(shù)，一組為與直槽一樣的擬序擾動(dòng)參數(shù)組(αT,ωT,Re)，還有一組為邊界彎曲參數(shù)組(θm,αc,ωc).

特征值方程(17)采用時(shí)間模式，αT為實(shí)數(shù)，ωT為復(fù)數(shù)，用muller法求解擾動(dòng)幅值方程的特征值.擾動(dòng)角頻率ωT為(αT,Re)和(θm,αc,ωc)的函數(shù)，亦即：ωT=ωT(αT,Re,θm,αc,ωc)，其虛部即為擾動(dòng)增長(zhǎng)率：ωTi=ωTi(αT,Re,θm,αc,ωc).

正弦派生曲線河槽內(nèi)的擾動(dòng)波，不僅與擾動(dòng)波數(shù)αT和雷諾數(shù)R的有關(guān)，還受到邊界擺動(dòng)彎曲(θm, αc,ωc)的影響.直槽水流雷諾數(shù)Recr=5772.222 (Orszag[26])，而彎曲槽道流的臨界雷諾數(shù)Recr受到邊界擺動(dòng)彎曲參數(shù)(θm,αc,ωc)的影響，亦即：Recr=Recr(θm,αc,ωc)，與此同時(shí)，臨界雷諾數(shù)對(duì)應(yīng)的臨界擾動(dòng)參數(shù)(αTcr,ωTcr)均為(θm,αc,ωc)的函數(shù)，亦即，αTcr=αTcr(θm,αc,ωc)，ωTcr=ωTcr(θm,αc,ωc).

由于 ψ=0時(shí)矩陣奇異，本文以θm=αc=1×10-6代替順直河道(θm=αc=0)來驗(yàn)證臨界雷諾數(shù)及中性曲線，采用目前國(guó)際最為公認(rèn)的理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，并與Reynold和Potter[27]的數(shù)值結(jié)果和Nishioka和Ichikawa[28]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，見圖6所示.可以看出理論計(jì)算結(jié)果與已發(fā)表的最為公認(rèn)的中性曲線結(jié)果吻合較好，說明程序計(jì)算順直河道計(jì)算結(jié)果的正確性.

圖6 順直河道中性曲線計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證Fig.6 Comparison of numerical results with data of straight channel

3.1 邊界擺動(dòng)波數(shù)的影響

圖7為擾動(dòng)頻率ωTr及擾動(dòng)增長(zhǎng)率ωTi隨擺動(dòng)波數(shù)αc的變化關(guān)系，對(duì)應(yīng)平面狀態(tài)參數(shù)：θm=0.1, ωc=0,擬序擾動(dòng)參數(shù)：αT=1,Re=6000；圖8臨界雷諾數(shù)隨擺動(dòng)波數(shù)αc的變化，對(duì)應(yīng)平面狀態(tài)參數(shù)：θm=0.1,ωc=0.

從圖7(a)中可以看出，隨著擺動(dòng)波數(shù)的增加，擾動(dòng)頻率有持續(xù)減少的趨勢(shì).造成這種變化趨勢(shì)的原因可能是擾動(dòng)頻率與擾動(dòng)波數(shù)、擺動(dòng)頻率和擺動(dòng)波數(shù)的一種適應(yīng)過程.即，擺動(dòng)波數(shù)在逐漸接近于擾動(dòng)波數(shù)過程中，擾動(dòng)頻率也逐漸接近于擺動(dòng)頻率(ωc=0).這種結(jié)果雖然與Bai等[18]以及Xu等[17]的結(jié)果由于采用不同坐標(biāo)系而產(chǎn)生一定的差別，但總體趨勢(shì)是一致的，體現(xiàn)出模型計(jì)算的合理性.

圖7 擾動(dòng)頻率ωTr及擾動(dòng)增長(zhǎng)率ωTi隨擺動(dòng)波數(shù)αc的變化(平面狀態(tài)參數(shù)：θm=0.1,ωc=0;擬序擾動(dòng)參數(shù)：αT=1.02,Re=5772.222)Fig.7 Variation of disturbance frequency ωTrand growth rate ωTiwith swinging wave number αc(for:θm=0.1,ωc=0;αT=1.02,Re=5772.222)

圖8 臨界雷諾數(shù)隨擺動(dòng)波數(shù)αc的變化(平面狀態(tài)參數(shù):θm=0.1,ωc=0)Fig.8 Variation of critical Reynolds number with swinging wave number αc(for:θm=0.1,ωc=0)

從圖7(b)中可以看出，隨著擺動(dòng)波數(shù)的增加，擾動(dòng)增長(zhǎng)率出現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì).槽道彎曲對(duì)其內(nèi)部水流各種尺度的擾動(dòng)都有選擇性影響.擺動(dòng)波數(shù)αcm在(0,0.48)區(qū)間上，槽道擺動(dòng)加速擾動(dòng)增長(zhǎng)，水流比直槽道水流更不穩(wěn)定.當(dāng)擺動(dòng)波數(shù)αcm=0.3，擾動(dòng)增長(zhǎng)最快，水流最不穩(wěn)定，此時(shí)臨界雷諾數(shù)不足直槽流的一半.

直槽水流擾動(dòng)臨界參數(shù)Recr=5772.222，αTcr=1.020，ωTcr=0.27，擺動(dòng)槽道中心曲線和臨界擾動(dòng)顯然受擺動(dòng)參數(shù)(θm,αc,ωc)的影響.

圖9 中性曲線隨擺動(dòng)波數(shù)αc的變化(平面狀態(tài)參數(shù)：θm=0.1, ωc=0,0≤αc≤0.5)Fig.9 Variation of neutral curve with swinging wave number αc(for:θm=0.1,ωc=0,0≤αc≤0.5)

圖9繪制了隨擺動(dòng)波數(shù)αc增大水流中心曲線的移動(dòng)，圖中給出了αc=0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5時(shí)的中性曲線.由圖9可以看出，在擺動(dòng)波數(shù)αc較小時(shí)，中性曲線變化緩慢，擺動(dòng)波數(shù)αc較大時(shí)，中性曲線變化迅速，且趨于平坦化.隨擺動(dòng)波數(shù)αc增大，中性曲線向左移動(dòng)，對(duì)應(yīng)臨界擾動(dòng)也隨之左移，臨界雷諾數(shù)減小，至αc=0.3時(shí)達(dá)到最小(亦可見圖8)，然后中心曲線右移，臨界雷諾數(shù)增大.

圖10只顯示了5條中心曲線的詳細(xì)信息，計(jì)算αc在(0,0.5)區(qū)間上共50條中性曲線，將各中性曲線臨界擾動(dòng)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)列(Recr,αTcr)和(Recr,ωTcr)分別連接形成臨界擾動(dòng)曲線，繪制在圖8.由圖8可見，隨著擺動(dòng)波數(shù)αc增大，臨界擾動(dòng)對(duì)應(yīng)的臨界擾動(dòng)波數(shù)αTcr先增大后減小然后再次增大，并在臨近αc=0.3附近形成一個(gè)“繩套”；而臨界擾動(dòng)頻率ωTcr.則先增大后減小，形成類似于直槽中性曲線的“拇指”形狀.

圖10 臨界擾動(dòng)點(diǎn)隨擺動(dòng)波數(shù)αc的變化(平面狀態(tài)參數(shù)：θm=0.1,ωc=0)Fig.10 Variation of critical point with swinging wave number αc(for:θm=0.1,ωc=0)

3.2 邊界擺動(dòng)頻率的影響

圖11為擾動(dòng)頻率ωTr及擾動(dòng)增長(zhǎng)率ωTi隨擺動(dòng)頻率ωc的變化關(guān)系，對(duì)應(yīng)平面狀態(tài)參數(shù)：θm=0.1, αc=0.3,擬序擾動(dòng)參數(shù)：αT=1.016,Re=2307，該參數(shù)組合為圖8中最小臨界雷諾數(shù)對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)情況.由圖可見，槽道擺動(dòng)頻率對(duì)其內(nèi)部水流各種尺度的擾動(dòng)有選擇性影響；擬序擾動(dòng)對(duì)擺動(dòng)頻率ωc非常敏感，這是因?yàn)閿_動(dòng)頻率的微小變化都能極大改變一階流速分布，如圖4和圖5所示，流速分布的改變進(jìn)一步影響擬序擾動(dòng)的發(fā)展.

由圖11擾動(dòng)特征值隨擺動(dòng)頻率ωc的變化曲線可以看出，不同模態(tài)之間的交叉使得曲線偶有不可導(dǎo)的尖點(diǎn)和急劇變化的區(qū)段.這是因?yàn)?，任意一種流動(dòng)中都包含有各種尺度不同的擾動(dòng)波，這種擾動(dòng)波體現(xiàn)在特征方程的計(jì)算中則是可以計(jì)算出一系列的特征值.而湍流流動(dòng)通常是由其中最不穩(wěn)定／最少穩(wěn)定的特征值模態(tài)所控制，當(dāng)流動(dòng)條件發(fā)生改變時(shí)有時(shí)會(huì)出現(xiàn)第二甚至第三模態(tài)增長(zhǎng)率急劇增加，超過了第一模態(tài)的增長(zhǎng)率，從而發(fā)生模態(tài)交叉現(xiàn)象.這種現(xiàn)象在波紋狀底邊界[16]水流結(jié)構(gòu)的討論中首次被發(fā)現(xiàn)，而在波狀側(cè)邊界[18]的流動(dòng)中被詳細(xì)討論，是目前彎曲型河槽水流結(jié)構(gòu)與順直型河槽水流結(jié)構(gòu)的重要區(qū)分之一.

圖11 擾動(dòng)頻率ωTr和擾動(dòng)增長(zhǎng)率ωTi隨擺動(dòng)頻率ωc的變化(平面狀態(tài)參數(shù)：θm=0.1,-0.1≤ωc≤0.1;擬序擾動(dòng)參數(shù)：αT=1.016,Re=2307)Fig.11 Variation of disturbance frequency ωTrand growth rate ωTiwith swinging frequency ωc(for:θm=0.1,-0.1≤ωc≤0.1;αT=1.016,Re=2307)

擾動(dòng)增長(zhǎng)率ωTi在ωc=0.085和ωc=-0.039處有極大值，在ωc=-0.006附近有極小值，該極小值處模態(tài)交叉；ωc=-0.009和ωc=0.064附近，擾動(dòng)頻率ωTr分別有極大值和極小值.

層流轉(zhuǎn)捩為湍流，能量消耗會(huì)由于分子運(yùn)動(dòng)的加劇而急劇增加.然而根據(jù)最小耗能原理，自然的壁面邊界和水流結(jié)構(gòu)的相互適應(yīng)過程中會(huì)自然遵循使水流的能耗降低，即從自然現(xiàn)象上則表現(xiàn)為推遲層流向湍流的轉(zhuǎn)捩過程.Crosato[29]在論文中與VanBalen討論了蜿蜒型河道的擺動(dòng)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)河道的發(fā)展不僅會(huì)向下游移動(dòng)，在一些特定的條件下會(huì)向上游移動(dòng)，其方向主要取決于沖刷池相對(duì)于河道頂點(diǎn)的位置[30].在相當(dāng)陡峻的(窄深型)河岸，最大近岸流速將出現(xiàn)在河道頂點(diǎn)的上游，上游的河岸在水流流速的作用下變?nèi)?，從而造成河道向上游方向遷移.在計(jì)算中就體現(xiàn)兩個(gè)重要的趨勢(shì)：(1)模態(tài)出現(xiàn)交叉，控制湍流結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定模態(tài)發(fā)生交換，從而最大的近岸流速位置出現(xiàn)在河道頂點(diǎn)的上游而非通常的下游；(2)窄深型河道在水流結(jié)構(gòu)的影響下，開始向上游遷移.表現(xiàn)在方程特征值上則是向上游遷移的擺動(dòng)頻率在一定范圍內(nèi)減小了擾動(dòng)增長(zhǎng)率(如圖11(b))，即河道向上游遷移時(shí)，能量耗散更小，水流結(jié)構(gòu)更加穩(wěn)定，如圖12中所顯示的趨勢(shì).

圖12為臨界雷諾數(shù)Recr隨擺動(dòng)頻率ωc的變化關(guān)系，對(duì)應(yīng)平面狀態(tài)參數(shù)：θm=0.1,αc=0.3.隨著擺動(dòng)頻率增大，臨界雷諾數(shù)減小，內(nèi)部水流更加容易失穩(wěn)；與槽道擺動(dòng)向下游傳播(ωc＞0)相比，槽道擺動(dòng)向上游傳播(ωc＜0)時(shí)水流更加穩(wěn)定.

圖12 臨界雷諾數(shù)Recr隨擺動(dòng)頻率ωc的變化(平面狀態(tài)參數(shù)：θm=0.1,αc=0.3)Fig.12 Variation of critical Reynolds numberRecrwith swinging frequency ωc(for:θm=0.1,αc=0.3)

圖13為中性曲線隨擺動(dòng)頻率ωc的變化關(guān)系，對(duì)應(yīng)平面狀態(tài)參數(shù)：θm=0.1,αc=0.3,-0.02≤ωc≤0.02).圖中繪出了ωc=-0.015，0，0.015時(shí)的中性曲線.由圖13可以看出，隨擺動(dòng)頻率ωc增大，中性曲線左移，臨界點(diǎn)(Recr,αTcr)向左上方移動(dòng)，即臨界雷諾數(shù)Recr減小，臨界擾動(dòng)波數(shù)αTcr增大，擾動(dòng)頻率ωTcr減小，該變化趨勢(shì)與圖11和圖12對(duì)應(yīng)一致.槽道擺動(dòng)向上游傳播時(shí)，中性曲線隨擺動(dòng)頻率增大的速度大于向下游傳播時(shí)減小的速度.

圖13 中性曲線隨擺動(dòng)頻率ωc的變化(平面狀態(tài)參數(shù)：θm=0.1,αc=0.3,-0.02≤ωc≤0.02)Fig.13 Variation of neutral curve with swinging frequency ωc(for:θm=0.1,αc=0.3,-0.02≤ωc≤0.02)

4 結(jié)論

本文建立了隨體坐標(biāo)系下槽道內(nèi)水流流動(dòng)的理論模型，討論了正弦派生型擺動(dòng)邊界下的槽道水流動(dòng)力穩(wěn)定性特征，確定了擺動(dòng)波數(shù)與擺動(dòng)頻率對(duì)主流流速和內(nèi)部擾動(dòng)發(fā)展影響的定量關(guān)系，得到了槽道彎曲度和擺動(dòng)特征對(duì)其內(nèi)部水流不同尺度擾動(dòng)的選擇性影響.具體如下：

(3)一階流速分布對(duì)擺動(dòng)頻率ωc的影響相當(dāng)敏感，由ωc=0向正負(fù)兩個(gè)方向增大時(shí)流速分布迅速變化，且開始出現(xiàn)與ωc=0時(shí)相反的分布規(guī)律；當(dāng)ωc＜-0.05或ωc＞0.1時(shí)反向分布占據(jù)主導(dǎo)地位.

隨著擺動(dòng)頻率ωc由零減小，一階流速、相位分布均迅速反向，且在ωc＜-0.05以后不再有明顯變化；隨著擺動(dòng)頻率ωc由零增大，一階流速首先在兩壁附近開始反向，ωc＞0.1后反向分布占據(jù)主導(dǎo)地位，而流速相位則迅速反向，槽道中心處相位隨擺動(dòng)頻率ωc變化及其明顯.

(4)槽道彎曲對(duì)其內(nèi)部水流各種尺度的擾動(dòng)有選擇性影響.擺動(dòng)波數(shù)αcm在(0,0.48)區(qū)間上，槽道擺動(dòng)加速擾動(dòng)增長(zhǎng)，水流比直槽道水流更不穩(wěn)定.當(dāng)擺動(dòng)波數(shù)αcm=0.3，擾動(dòng)增長(zhǎng)最快，水流最不穩(wěn)定，此時(shí)臨界雷諾數(shù)不足直槽流的一半.大擺動(dòng)波數(shù)下中性曲線更加平坦.各中性曲線臨界擾動(dòng)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)列(Recr,αTcr)和(Recr,ωTcr)分別呈現(xiàn)“繩套”和“拇指”形狀.

(5)槽道擺動(dòng)對(duì)水流內(nèi)部各種尺度的擾動(dòng)有較大影響.擬序擾動(dòng)發(fā)展對(duì)擺動(dòng)頻率ωc變化十分敏感.隨著擺動(dòng)頻率ωc增大，擬序擾動(dòng)的增長(zhǎng)率增大，臨界雷諾數(shù)減小，水流更加容易失穩(wěn).槽道擺動(dòng)向上游傳播時(shí)水流更加穩(wěn)定.

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附錄

式(14)～式(16)中各參數(shù)為：

HYDRODYNAMIC INSTABILITY CHARACTERISTICS OF LAMINAR FLOW IN A MEANDERING CHANNEL WITH MOVING BOUNDARY1)

Bai Yuchuan?,?Ji Ziqing?Xu Haijue?,?,2)

?(State Key Laboratory of Hydraulic Engineering Simulation and Safety，Tianjin University，Tianjin300072，China)

?(Department of Civil Engineering,Tianjin University，Tianjin300072，China)

Configuratio of river is closely related with hydrodynamic structures of fl ws,for the shape o f a channel influence the fl w structures in it,and the fl w structures also a ff ect the developing trend of the channel through the movement of sediment,forming a pair of dialectical interactions in the river system.The natural rivers are di ff erent in configurations which can generally be divided into such types as straight,bending,branching and wandering.Among them,the bending river or the river composed of several curved channels,the result configuratio of interaction between the natural river and the complex hydrodynamic fl w structure in it,become one of the most important types in the study of river dynamics.As the basis of theoretical research,the establishment of model and the study on fl ws within a moving channel has become the focus not only from researchers of flui mechanics,but also from investigators of river dynamics. Therefore,this study firs established a theoretic model on the fl w in a meandering channel with a moving boundaryby using a streamwise-transverse coordinate system.It next discussed the hydro-dynamic instability characteristics of the laminar fl w within the sine-generated moving boundaries.Then it quantitatively analyzed the influence of various character parameters to the velocity distributions of main fl w.Finally,it obtained the selective influence from the curvature and meandering properties to the fl w structure.

moving channel，fl w in channel，sine-generated curveform，fl w properties，hydrodynamic instability characteristics

O352

A

10.6052/0459-1879-16-105

2016–04–18收稿，2017–02–22錄用,2017–02–22網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41576093,51279124,51321065)和天津大學(xué)水利工程仿真與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金(HESS-1606)資助.

2)徐海玨，副教授，主要研究方向：流體力學(xué)、河流海岸動(dòng)力學(xué)、泥沙運(yùn)動(dòng)力學(xué).E-mail:xiaoxiaoxu_2004@163.com

白玉川,冀自青,徐海玨.擺動(dòng)河槽水動(dòng)力穩(wěn)定性特征分析.力學(xué)學(xué)報(bào),2017,49(2):274-288

Bai Yuchuan,Ji Ziqing,Xu Haijue.Hydrodynamic instability characteristics of laminar fl w in a meandering channel with moving boundary.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(2):274-288