基于預(yù)報(bào)來水偏差的水電站出力誤差分布研究

王渤權(quán)，王麗萍，唐 勇，劉明浩，李傳剛

(1.華北電力大學(xué) 可再生能源學(xué)院，北京 102206；2.國家電網(wǎng)公司國家電力調(diào)度控制中心，北京 100031)

1 研究背景

我國具有十分豐富的水能資源，位居世界的第一位，多利用水能資源從而使水電廠多發(fā)電，以節(jié)約煤炭資源的消耗，這一舉動在當(dāng)今資源短缺的時(shí)代有著重要的意義，這也是電力系統(tǒng)對水電部門提出的要求[1]。而水電站發(fā)電量的多少主要取決于徑流過程，目前水電站工作人員多采用徑流預(yù)報(bào)值來做發(fā)電計(jì)劃的制定，然而，由于河川徑流的隨機(jī)性、地區(qū)性，常常出現(xiàn)預(yù)報(bào)值不夠精準(zhǔn)，預(yù)報(bào)誤差較大的情況，由此便產(chǎn)生一定的出力誤差，影響著發(fā)電計(jì)劃的制定，從而導(dǎo)致被迫修改發(fā)電計(jì)劃。由于目前國內(nèi)外尚未有對由于預(yù)報(bào)誤差而引起的出力誤差進(jìn)行相關(guān)研究，為方便水電站工作人員充分掌握由于預(yù)報(bào)級別以及預(yù)報(bào)誤差產(chǎn)生的出力誤差信息，以便能夠及時(shí)地對發(fā)電計(jì)劃進(jìn)行制定與修改，本文對預(yù)報(bào)值、預(yù)報(bào)誤差以及出力誤差之間的關(guān)系進(jìn)行探討，建立三者的三維聯(lián)合分布模型。對于聯(lián)合分布的求解，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的工作，費(fèi)永法[2]基于事件積原理，采用一種解析算法計(jì)算出不同河流洪水遭遇的概率問題，一定程度上解決了多元隨機(jī)變量的聯(lián)合分布問題。戴昌軍、梁忠民[3]通過將正態(tài)化變換的Moran方法、傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)頻率方法以及多維轉(zhuǎn)化為一維的方法應(yīng)用在水文領(lǐng)域中進(jìn)行比較分析，結(jié)果表明Moran方法具有較好的擬合度。王文圣、丁晶[4]采用核估計(jì)理論來構(gòu)造一種多變量的非參數(shù)模型，并且將其應(yīng)用于水文學(xué)中，為隨機(jī)水文學(xué)的發(fā)展提供了新的思路。鄭紅星、劉昌明[5]采用了經(jīng)驗(yàn)頻率的方法對南水北調(diào)中不同的水文區(qū)域降水遭遇問題進(jìn)行了計(jì)算與分析。以上專家學(xué)者們對多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布的研究均做出了一定的貢獻(xiàn)，但這些方法對于求解預(yù)報(bào)值、預(yù)報(bào)誤差以及出力誤差的聯(lián)合分布均存在一些不足之處：以上方法對于邊緣分布函數(shù)要求多為正態(tài)分布并且有些方法對于兩者的相關(guān)性為線性要求，而對于預(yù)報(bào)誤差與出力誤差而言，其分布函數(shù)不一定為正態(tài)分布，尤其對于出力誤差分布的研究甚少，其分布未知，并且二者存在著復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系，呈現(xiàn)出非線性的關(guān)系，故不適合采用上述方法進(jìn)行求解計(jì)算。最大熵法是依據(jù)樣本信息來推求未知分布的一種推斷方法，能夠客觀地反映事物的本質(zhì)，可以擬合任意形式的分布，文獻(xiàn)[6]證明對于預(yù)報(bào)值以及預(yù)報(bào)誤差的分布特征均可應(yīng)用最大熵法進(jìn)行描述，并且文獻(xiàn)[7]指出運(yùn)用最大熵方法擬合出來的最大熵分布函數(shù)較正態(tài)分布函數(shù)能夠更好地反映預(yù)報(bào)誤差的特點(diǎn)，而Copula函數(shù)[8-10]是通過邊緣分布函數(shù)與相關(guān)性結(jié)構(gòu)兩方面構(gòu)造的函數(shù)，并且適用于任何邊緣分布函數(shù)，對其變量間相關(guān)性的要求也比較廣泛，線性非線性均可，具有更強(qiáng)的靈活性與適應(yīng)性。

基于此，本文將最大熵理論與Copula函數(shù)理論結(jié)合，建立三維聯(lián)合分布模型來求解預(yù)報(bào)值、預(yù)報(bào)誤差以及出力誤差的三維聯(lián)合分布，在此基礎(chǔ)上結(jié)合貝葉斯理論進(jìn)而計(jì)算出在一定預(yù)報(bào)徑流值與預(yù)報(bào)誤差的情況下其出力誤差的條件概率的大小，為水電站工作人員調(diào)度管理提供理論依據(jù)。

2 基于最大熵理論與Copula函數(shù)理論的三維聯(lián)合分布模型

針對出力誤差分布未知的情況，利用最大熵理論中可以求解出任意形式的分布，以及Copula函數(shù)中適用于任何形式邊緣函數(shù)的特點(diǎn)，將最大熵理論與Copula函數(shù)理論進(jìn)行結(jié)合，從而建立三維聯(lián)合分布模型對預(yù)報(bào)值、預(yù)報(bào)誤差以及出力誤差的聯(lián)合分布進(jìn)行求解。

2.1 模型的建立

本文建立的三維聯(lián)合分布模型形式如下所示：

P(X1≤x1,X2≤x2,X3≤x3)=C(u1,u2,u3)=

φ-1[φ(u1;θ)+φ(u2;θ)+φ(u3;θ)]

(1)

2.2 模型的求解

對于上述模型的求解，主要是針對兩個未知參數(shù)λij和θ的估計(jì)，其值的好壞直接影響著模型的準(zhǔn)確程度，此處采用兩階段估計(jì)法對其進(jìn)行求解，即先計(jì)算λij，之后由其估計(jì)值再計(jì)算出θ值。其主要計(jì)算步驟如下：

(1)對于λij的估計(jì)采用非線性規(guī)劃法求解，計(jì)算公式如下：

(3)

其中：

f(xi)=exp(λi0+∑λijxji)

式中：f(xi)為最大熵概率密度分布函數(shù)；mij為第i個變量第j階原點(diǎn)矩。

(2)利用得到的λij的值采用極大似然法[11]進(jìn)行對θ值的估計(jì)，計(jì)算公式如下：

(4)

由此得到的λij和θ值代入式(1)即得到預(yù)報(bào)值、預(yù)報(bào)誤差以及出力誤差的三維聯(lián)合分布函數(shù)。

2.3 模型的檢驗(yàn)

模型能否很好的反映樣本數(shù)據(jù)的分布特征，描述各變量之間的相關(guān)關(guān)系主要取決于對模型的檢驗(yàn)評價(jià)，為此，本文分別采用P-P圖和均方根誤差法(RMSE)[12-14 ]對其進(jìn)行檢驗(yàn)，其中P-P圖是用來檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否服從某一指定分布的一種方法，將變量的累積比例與相應(yīng)的指定分布的累積比例點(diǎn)繪在一張圖中，并且計(jì)算回歸系數(shù)，其值越接近于1，說明指定分布的擬合效果越好。而RMSE是用來衡量理論分布頻率與經(jīng)驗(yàn)頻率之間的差距，其計(jì)算公式為：

(5)

式中：MSE為均方差；N為樣本容量；pc為由模型得出的理論頻率；p0為經(jīng)驗(yàn)頻率；i為樣本序號。

由式(5)可知，其值越小，模型的擬合效果越好。

模型的整體計(jì)算流程圖如圖1所示。

圖1 三維聯(lián)合分布模型計(jì)算流程圖Fig.1 The calculation flow chart of three-dimensional joint distribution model

3 實(shí)例分析

本文選取某水電站A為例進(jìn)行實(shí)例分析，分別利用該流域10年(2004-2013年)的每日12個時(shí)段的預(yù)報(bào)流量值以及實(shí)際值計(jì)算出預(yù)報(bào)出力值和實(shí)際出力值，進(jìn)而得到與預(yù)報(bào)誤差相應(yīng)的出力誤差，以此為數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行計(jì)算。

3.1 時(shí)期的劃分

由于預(yù)報(bào)值、預(yù)報(bào)誤差與水電站出力誤差存在著復(fù)雜的數(shù)學(xué)聯(lián)系，出力誤差不僅和預(yù)報(bào)值大小以及預(yù)報(bào)誤差有關(guān)，還和水位因素有關(guān)。由于同一時(shí)期預(yù)報(bào)值的流量級別大致為一個范圍，在整個調(diào)度期水位范圍也大致相同，而不同時(shí)期水位范圍卻不盡相同，并且對于不同時(shí)期預(yù)報(bào)誤差與出力誤差也具有不同的相關(guān)關(guān)系，故采用時(shí)期的劃分來反映水位的特點(diǎn)。因此，本文分為枯水期、過渡期和汛期3個時(shí)期進(jìn)行探討，按照當(dāng)?shù)亓饔蛸Y料劃分的月份如表1所示。

表1 時(shí)期劃分表Tab.1 Period division table

3.2 相關(guān)性分析

將劃分好的時(shí)期對預(yù)報(bào)值、預(yù)報(bào)誤差以及出力誤差進(jìn)行相關(guān)性分析，進(jìn)而確定三維聯(lián)合分布模型中生成元的類型，其中，弱相關(guān)采用AMH Copula[15]生成元：

φ(u)=ln{[1-θ(1-u)]/u}

正相關(guān)采用Gumbel-Hougaard Copula生成元：

φ(u)=-(lnu)θ

當(dāng)呈現(xiàn)出負(fù)相關(guān)時(shí)，采用Frank Copula生成元：

φ(u)=-ln[(e-θu-1)/(e-θ-1)]

其不同時(shí)期三者之間的秩相關(guān)系數(shù)如表2所示。

表2 各變量間秩相關(guān)性系數(shù)Tab.2 The rank correlation coefficient among variables

由表2計(jì)算結(jié)果可知，在三個時(shí)期預(yù)報(bào)值與預(yù)報(bào)誤差、預(yù)報(bào)值與出力誤差的秩相關(guān)系數(shù)在0.1左右，均呈現(xiàn)出弱相關(guān)性。而預(yù)報(bào)誤差與出力誤差三個時(shí)期的秩相關(guān)系數(shù)在枯水期最大，為0.623；過渡期次之，為0.420；而在汛期二者的秩相關(guān)系數(shù)較弱，為0.251。通過分析上述變量間相關(guān)性可知，預(yù)報(bào)值與預(yù)報(bào)誤差，預(yù)報(bào)值與出力誤差呈現(xiàn)弱相關(guān)性，而預(yù)報(bào)誤差與出力誤差呈現(xiàn)出正相關(guān)性，故本文分別選取AMH Copula生成元以及Gumbel-Hougaard Copula生成元代入式(1)建立兩種形式的模型：模型1與模型2，并且對兩種模型進(jìn)行檢驗(yàn)，從而選出最優(yōu)模型。

3.3 參數(shù)估計(jì)

對模型1與模型2中的參數(shù)λi和θ利用式(2)～(4)進(jìn)行估計(jì)，得到結(jié)果如表3～表6所示。

(1)清萬樹《詞律》中載《卜算子》調(diào)9體[注]柳永與張先的名為《卜算子》的詞作，實(shí)則是《卜算子慢》，且柳永之作為《卜算子慢》正體。[1]118-121

表3 各時(shí)期預(yù)報(bào)值拉格朗日因子Tab.3 Lagrangian multipliers of forecast value in each period

表4 各時(shí)期預(yù)報(bào)誤差拉格朗日因子Tab.4 Lagrangian multipliers of forecast error in each period

表5 各時(shí)期出力誤差拉格朗日因子Tab.5 Lagrangian multipliers of output error in each period

3.4 模型邊緣分布的檢驗(yàn)

由計(jì)算出的參數(shù)λi和θ即可得到三維聯(lián)合分布模型1和模型2，為了驗(yàn)證模型的可行性，采用χ2檢驗(yàn)法檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪吘壏植嫉臄M合程度，判斷其是否通過檢驗(yàn)。由于模型1與模型2所求邊緣分布相同，故只針對一種模型進(jìn)行檢驗(yàn)，顯著性水平取0.05，其檢驗(yàn)結(jié)果如表7所示。

表6 兩種模型中的θ值Tab.6 Theta values of two models

表7 χ2值檢驗(yàn)結(jié)果Tab.7 The test results of χ2

由表7可以看出，預(yù)報(bào)值、預(yù)報(bào)誤差以及出力誤差分布的χ2值分別為3.21、5.51和6.17，均小于檢驗(yàn)臨界值11.07、9.48、9.48。通過檢驗(yàn)要求，說明采用最大熵法擬合出的預(yù)報(bào)值分布、預(yù)報(bào)誤差分布以及出力誤差分布滿足檢驗(yàn)要求，是可行的、合理的。

3.5 模型的優(yōu)選

針對兩種形式的模型，為進(jìn)一步選擇出擬合度較好的一種，采用P-P圖以及均方根誤差法來評價(jià)兩種模型優(yōu)劣，從而確定最終的三維聯(lián)合分布模型形式。

本文利用樣本數(shù)據(jù)計(jì)算經(jīng)驗(yàn)頻率，再分別用模型1與模型2計(jì)算相應(yīng)的理論頻率，其中經(jīng)驗(yàn)頻率計(jì)算公式如式(15)所示：

P(x1,x2,x3)=P(X1≤x1,X2≤x2,X3≤x3)=

(6)

式中：∑Ni為樣本系列中滿足條件的總的數(shù)據(jù)對數(shù)；N為樣本系列的數(shù)據(jù)對數(shù)。

得到的經(jīng)驗(yàn)頻率與模型1、模型2計(jì)算出相應(yīng)的理論頻率，共同點(diǎn)繪到圖中，如圖2～圖7所示。

圖2 模型1枯水期P-P圖Fig.2 The P-P figure of model 1 in dry period

圖3 模型2枯水期P-P圖Fig.3 The P-P figure of model 2 in dry period

圖4 模型1過渡期P-P圖Fig.4 The P-P figure of model 1 in transitional period

圖5 模型2過渡期P-P圖Fig.5 The P-P figure of model 2 in transitional period

圖6 模型1汛期P-P圖Fig.6 The P-P figure of model 1 in flood period

圖7 模型2汛期P-P圖Fig.7 The P-P figure of model 2 in flood period

為了進(jìn)一步評價(jià)兩個模型的優(yōu)劣性，分別按照式(5)計(jì)算二者的均方根誤差值進(jìn)行比較，所得結(jié)果如表8所示。

表8 兩種模型在不同時(shí)期的均方根誤差值Tab.8 The RSME values of two models in different periods

由表8可以看出，采用模型1函數(shù)計(jì)算得到的三個時(shí)期的均方根誤差分別為0.024 1、0.030 7、0.022 5，而模型2的均方根誤差分別為0.019 8、0.024 6、0.025 1，在枯水期以及過渡期模型2均方根誤差較小，模型2更優(yōu)；在汛期模型1的均方根誤差較小，模型1更優(yōu)。故在枯水期以及過渡期采用模型2來描述其三維聯(lián)合分布，在汛期采用模型1來描述。

由此便得到在不同時(shí)期預(yù)報(bào)值、預(yù)報(bào)誤差以及出力誤差三者的聯(lián)合分布，對于不同時(shí)期而言，其預(yù)報(bào)誤差以及出力誤差的二維聯(lián)合分布如圖8～圖10。

圖8 枯水期二維聯(lián)合分布圖Fig.8 Two-dimensional joint distribution figure in dry period

圖9 過渡期二維聯(lián)合分布圖Fig.9 Two-dimensional joint distribution figure in transitional period

圖10 汛期二維聯(lián)合分布圖Fig.10 Two-dimensional joint distribution figure in flood period

由圖8～圖10可以看出，在不同時(shí)期，預(yù)報(bào)誤差與出力誤差的二維聯(lián)合分布呈現(xiàn)出不同的形狀，說明預(yù)報(bào)誤差與出力誤差隨著時(shí)期的不同而呈現(xiàn)出不同的關(guān)系，分時(shí)期進(jìn)行研究是有必要并且合理的。在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用所求出的三維聯(lián)合分布模型結(jié)合貝葉斯理論便可以求得在預(yù)報(bào)值與預(yù)報(bào)誤差一定時(shí)，水電站出力誤差的條件概率大小，使得水電站工作人員方便制定與修改發(fā)電計(jì)劃，更好地進(jìn)行規(guī)劃與管理工作。

3.6 出力誤差條件概率分布的求解

由貝葉斯理論可知：

P(A|B)=P(AB)/P(B)

(7)

式中：P(A|B)為在事件B發(fā)生的情況下發(fā)生A的條件概率；P(AB)為事件A和B同時(shí)發(fā)生的概率；P(B)為事件B發(fā)生的概率；此處事件A表示出力誤差；事件B表示預(yù)報(bào)值與預(yù)報(bào)誤差。

對于連續(xù)型的概率密度函數(shù)來說，一個點(diǎn)的概率值為0，一個范圍的概率才有意義，故首先對各個時(shí)期的預(yù)報(bào)值、預(yù)報(bào)誤差進(jìn)行級別劃分，以此來進(jìn)行概率計(jì)算，其分類結(jié)果如表9、表10所示。

表9 預(yù)報(bào)值分類結(jié)果 m3/sTab.9 Classification results of forecast value

表10 預(yù)報(bào)誤差與出力誤差級別劃分 %Tab.10 Level classification of forecast error and output error

由上述分類結(jié)果結(jié)合貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論即可得到出力誤差的條件概率分布，其計(jì)算公式如式(17)所示：

(8)

式中：X、Y、Z分別表示為預(yù)報(bào)值，預(yù)報(bào)誤差以及出力誤差。

將三維聯(lián)合分布模型代入式(8)便可計(jì)算出各個時(shí)期的出力誤差條件概率大小，如：當(dāng)預(yù)報(bào)值為6級，預(yù)報(bào)誤差為3級時(shí)，計(jì)算得到各個時(shí)期的出力誤差條件概率分布，其結(jié)果如表11所示。

表11 出力誤差條件概率分布Tab.11 Conditional probability distribution of output error

由表11可以看出，當(dāng)預(yù)報(bào)誤差一定時(shí)，在不同時(shí)期呈現(xiàn)出不同的出力誤差概率值。其中枯水期出力誤差為3級時(shí)的概率為90%，在過渡期出力誤差為4級時(shí)的概率值最大，為93.7%，而對于汛期，出力誤差主要為6級，其概率為98.3%，造成這種不同主要是因?yàn)閷?dǎo)致出力誤差的原因除了預(yù)報(bào)誤差外還與來流大小有著重要的關(guān)系，來流的大小主要從兩方面影響著出力誤差的結(jié)果，一是發(fā)電流量的多少，二是水庫水位的高低；在汛期，由于此級別下的來水已足夠大，導(dǎo)致水電站接近滿發(fā)，預(yù)報(bào)誤差對出力誤差的影響較弱，故此時(shí)對出力誤差基本沒有影響，出力誤差在6級處較為集中。此外，由于出力誤差除了和當(dāng)前時(shí)段的預(yù)報(bào)誤差有關(guān)，還有當(dāng)前水位與之前的預(yù)報(bào)誤差有著重要的關(guān)系，故導(dǎo)致同一時(shí)期相同預(yù)報(bào)值與預(yù)報(bào)誤差下出力誤差出現(xiàn)不同級別的概率情況。此結(jié)果可為水電站工作人員在預(yù)報(bào)值與實(shí)際值產(chǎn)生一定偏差時(shí)修改發(fā)電計(jì)劃提供科學(xué)的參考依據(jù)。

4 結(jié) 語

針對水電站運(yùn)行中由于來水偏差產(chǎn)生出力誤差而被迫修改發(fā)電計(jì)劃的情況，本文對入庫流量預(yù)報(bào)值、預(yù)報(bào)誤差及其相應(yīng)的出力誤差三者之間的相關(guān)性進(jìn)行了分析，并且基于最大熵理論與Copula函數(shù)理論建立三維聯(lián)合分布模型，求解出三者之間的聯(lián)合分布。在此基礎(chǔ)上，利用該模型結(jié)合貝葉斯理論求解出不同時(shí)期不同預(yù)報(bào)級別與預(yù)報(bào)誤差情況下水電站出力誤差的條件概率分布。結(jié)果表明，在枯水期和過渡期，預(yù)報(bào)誤差與出力誤差相關(guān)性較強(qiáng)，并且成正相關(guān)，汛期各變量之間的相關(guān)性較弱；所建立的三維聯(lián)合分布模型與樣本數(shù)據(jù)擬合較好，能夠充分反映樣本數(shù)據(jù)的分布特征，各項(xiàng)指標(biāo)均滿足檢驗(yàn)要求，用該模型表述預(yù)報(bào)值、預(yù)報(bào)誤差以及出力誤差的聯(lián)合分布是可行的、合理的；此外，由該模型求解出的水電站出力誤差條件概率不同時(shí)期呈現(xiàn)出不同的分布狀態(tài)，符合實(shí)際情況，能夠有效反映不同時(shí)期不同預(yù)報(bào)值與預(yù)報(bào)誤差下其出力誤差的特點(diǎn)。該結(jié)果可為水電站工作人員由于預(yù)報(bào)來水偏差而及時(shí)修改發(fā)電計(jì)劃提供重要的指導(dǎo)信息，為水電站管理工作提供科學(xué)的參考依據(jù)。

由于影響水電站出力誤差的因素有很多，除了預(yù)報(bào)值大小，預(yù)報(bào)誤差以外，還有輸電線效率，意外事故，人為因素等相關(guān)內(nèi)容，本文僅考慮了一般情況，即預(yù)報(bào)值、預(yù)報(bào)誤差對出力誤差的影響，在下一階段，將考慮對上述其他因素進(jìn)行探討，進(jìn)一步完善對出力誤差分布的研究。

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