多元視角，探尋高中數(shù)學(xué)解題捷徑

☉江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 繆海峰

多元視角，探尋高中數(shù)學(xué)解題捷徑

☉江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 繆海峰

數(shù)學(xué)解題是高中數(shù)學(xué)“教”與“學(xué)”的重要內(nèi)容，在處理一道數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，思路不同，解題方法自然不同.“常規(guī)”解法是按照一般的思路進(jìn)行解題，是基礎(chǔ)，是重點(diǎn)，是雪中送炭；“簡(jiǎn)捷、技巧”解法都是按照特殊思路進(jìn)行解題，是提高，是難點(diǎn)，是錦上添花.實(shí)踐表明，只有切實(shí)掌握基本方法、基本技能，靈活運(yùn)用，準(zhǔn)確把握“常規(guī)”，才能有“技巧”；拋開(kāi)“規(guī)”只想尋“巧”是不切實(shí)際、毫無(wú)意義的.因此，在掌握“常規(guī)”解法的基礎(chǔ)上，適時(shí)探尋捷徑，能夠有效提升學(xué)生觀察能力、思維創(chuàng)新能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的綜合能力.本文借助于幾道典型案例進(jìn)行剖析，重點(diǎn)闡述從多角度探尋高中數(shù)學(xué)解題捷徑的具體措施，以饗讀者.

一、細(xì)心觀察，讓解題捷徑“應(yīng)運(yùn)而生”

觀察能力是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)解題的重要保障，也是提升學(xué)生能力的窗口.高中數(shù)學(xué)習(xí)題并不是盲目地套公式，缺乏細(xì)致地觀察分析具體題目的特征，難以獲取數(shù)學(xué)解題的捷徑；相反，若能夠細(xì)心觀察、仔細(xì)挖掘內(nèi)在本質(zhì)特征，往往能自然而然地獲取解題的簡(jiǎn)捷途徑與方法.

例1已知方程（ac-bc）x2+（bc-ab）x+（ab-ac）=0存在兩個(gè)相等的根，試證明可組成等差數(shù)列.

剖析：此題屬于難度適中的基本題，常規(guī)處理的方法是：根據(jù)題意中“存在兩個(gè)相等的根”，可令Δ=0，結(jié)合配方手段進(jìn)行分解因式，從而得出要證明的結(jié)論，顯然這種思路比較復(fù)雜、煩瑣！如果我們細(xì)心觀察不難發(fā)現(xiàn)，給出的方程中存在“系數(shù)之和為零”的顯著特征，借助于這個(gè)特點(diǎn)，可以巧妙地證明此題.

證明：根據(jù)觀察發(fā)現(xiàn)，（ac-bc）+（bc-ab）+（ab-ac）=0顯然存在一根為1，由于原方程存在相等的根，則兩根均為1；根據(jù)韋達(dá)定理可知=2，即2（ac-bc）= bc-ab，即2ac=ab+bc，故

評(píng)析：上述案例中，主要是根據(jù)方程系數(shù)之間存在一定的特殊關(guān)系（各項(xiàng)系數(shù)和為零），結(jié)合題設(shè)條件得出兩個(gè)相等根均為1，從而獲取巧法.可見(jiàn)，從題設(shè)條件和題目給出的結(jié)論特殊關(guān)系上，進(jìn)行仔細(xì)觀察能夠出“捷徑與巧妙解法”，提醒我們教師在教學(xué)中應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生增強(qiáng)這方面的意識(shí).

二、活用概念，讓解題捷徑“水到渠成”

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)教學(xué)中的主要內(nèi)容之一，數(shù)學(xué)概念的理解與應(yīng)用是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的前提，有助于獲取數(shù)學(xué)解題的捷徑，有助于提升處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)際能力.實(shí)踐表明，高中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，往往容易忽視對(duì)數(shù)學(xué)概念的透徹理解與應(yīng)用，導(dǎo)致舍近求遠(yuǎn)、舍巧求拙的情形出現(xiàn).

例2如圖1所示，線段AB長(zhǎng)為L(zhǎng)，且兩端點(diǎn)A和B均在拋物線上移動(dòng)，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，試求：當(dāng)M距離x軸最近時(shí)的縱坐標(biāo).

圖1

圖2

分析：本題側(cè)重于考查圓錐曲線方面的數(shù)學(xué)知識(shí)，常規(guī)思維是先求出動(dòng)態(tài)線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為f（x，y）=0，在此基礎(chǔ)上求出縱坐標(biāo)y的最小值.顯然，這種處理方法的運(yùn)算過(guò)程比較復(fù)雜，耗時(shí)且解題的正確率不高，解題效率比較低下.若從拋物線的定義出發(fā)，將梯形中線段關(guān)系有效轉(zhuǎn)化成三角形的三邊之間的關(guān)系，再利用兩點(diǎn)之間線段最短的原理得出結(jié)論.

解析：根據(jù)題意作出拋物線的準(zhǔn)線，如圖2所示，根據(jù)拋物線定義可知

評(píng)析：上述案例中主要利用拋物線的概念和定義，大大簡(jiǎn)化了直接選擇代數(shù)法處理問(wèn)題的煩瑣計(jì)算，體現(xiàn)思路清晰、步驟簡(jiǎn)捷的特征，能夠有效拓展鍛煉學(xué)生思維的深度與廣度，提升處理問(wèn)題的能力.

三、廣泛聯(lián)想，讓解題捷徑“順理成章”

學(xué)生思維的拓展離不開(kāi)豐富的聯(lián)想，聯(lián)想是思維的重要手段，也是數(shù)學(xué)解題分析的動(dòng)力.在解題中，將數(shù)學(xué)知識(shí)與題目特征結(jié)合在一起，從不同角度進(jìn)行廣泛聯(lián)想，往往能獲取各種不同的解法，能夠有效打破題目形式所限，不致于在幾個(gè)數(shù)學(xué)定理和公式中打轉(zhuǎn)，方便探尋優(yōu)化解題的方案.

例3如圖3所示，在⊙O：x2+y2=r2外存在一點(diǎn)Q（a，b），現(xiàn)過(guò)Q點(diǎn)作⊙O的割線交圓于A、B兩點(diǎn)，試求：弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程.

圖3

圖4

分析：本題關(guān)于圓錐曲線問(wèn)題，常規(guī)的處理手段是“設(shè)點(diǎn)、列方程、代換、化簡(jiǎn)”等求解軌跡方程的步驟，顯然是比較麻煩的.若依據(jù)題目幾何特征進(jìn)行思考與聯(lián)想，容易發(fā)現(xiàn)P點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，OP⊥AB，則中點(diǎn)P的軌跡為以O(shè)Q為直徑的圓（如圖4所示），此處理方法簡(jiǎn)捷、易懂.

解析：根據(jù)題意可令弦AB的中點(diǎn)P（x，y），由于OP⊥ AB，所以kOP·kAB=-1，即=-1，即x2-ax+y2-by=0，則弦AB的中點(diǎn)P的軌跡為圓：x2-ax+y2-by=0在⊙O：x2+ y2=r2內(nèi)部的一段圓弧.

評(píng)析：本題屬于典型的求軌跡問(wèn)題，從上述分析和解析中可以發(fā)現(xiàn)，借助于縱橫聯(lián)想手段獲取解題的捷徑，提醒我們一線的高中數(shù)學(xué)教師，在平時(shí)課堂教學(xué)中，注重對(duì)學(xué)生廣泛聯(lián)想（縱橫、結(jié)構(gòu)、逆向、類(lèi)比等）意識(shí)的引導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生解題能力的進(jìn)一步提升.

四、數(shù)形結(jié)合，讓解題捷徑“瓜熟蒂落”

數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法，高中數(shù)學(xué)問(wèn)題中，許多問(wèn)題都可以采取以“形”代“數(shù)”的方式進(jìn)行處理，能夠?qū)ⅰ皵?shù)”的抽象轉(zhuǎn)化成“形”的形象化、直觀化，便于抓住問(wèn)題的本質(zhì)內(nèi)涵，探尋解題的突破口，獲取解題的捷徑.

例4在平面直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)存在一等邊三角形，其中兩個(gè)頂點(diǎn)為（1，0）、（2，1），如圖5所示，試求：此等邊三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).

圖5

圖6

分析：常規(guī)的處理方法是假設(shè)第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y），根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式結(jié)合等邊三角形的邊長(zhǎng)和角度性質(zhì)聯(lián)立得到二元二次方程組進(jìn)行求解x和y，此過(guò)程運(yùn)算量較大，繁雜易錯(cuò).若能充分考慮數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，靈活運(yùn)用復(fù)數(shù)的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解，大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

解析：根據(jù)題意在復(fù)平面上構(gòu)建等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為Z1（1，0），Z2（2，1），Z3（x，y），如圖6所示，復(fù)數(shù)形式表示為：Z1=1，Z2=2+i，Z3=x+yi.由于對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)運(yùn)算為：（2+i）-1=1+i，可以用向量表示，則其中A的坐標(biāo)為（1，1）；現(xiàn)將向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為：（1+i）繞點(diǎn)Z1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)運(yùn)算為：（x+yi）-（1+0i）=（x-1）+yi.

點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)科的顯著特點(diǎn)，由數(shù)向形的轉(zhuǎn)化能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)問(wèn)題變得形象化、直觀化，便于學(xué)生的理解和接受，便于巧解方法的獲取.高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合思想確實(shí)應(yīng)該受到教師和學(xué)生的重視，盡可能地發(fā)揮其解題的強(qiáng)大功效.

總而言之，高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)該有效挖掘題設(shè)中的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和解題技巧，作為一線數(shù)學(xué)教師積極引導(dǎo)學(xué)生探尋簡(jiǎn)捷、合理的解題方法，進(jìn)而提升高中數(shù)學(xué)解題的效率和能力.