基于響應(yīng)面法的聽(tīng)小骨消聲器的優(yōu)化設(shè)計(jì)

程軍圣+余淏

摘 要：為了改善聽(tīng)小骨消聲器的消聲性能，并減輕質(zhì)量，以消聲器低頻和寬頻的平均傳遞損失作為優(yōu)化目標(biāo)，以消聲器的結(jié)構(gòu)參數(shù)（進(jìn)出口管道寬度、封閉腔深度、封閉腔長(zhǎng)度）作為優(yōu)化變量，消聲器的質(zhì)量作為約束條件，對(duì)其結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化. 建立了聽(tīng)小骨消聲器的有限元模型，采用中心組合試驗(yàn)設(shè)計(jì)獲得樣本點(diǎn)，利用響應(yīng)面法構(gòu)造二次多項(xiàng)式響應(yīng)面模型，并檢驗(yàn)了響應(yīng)面模型的擬合精度. 將響應(yīng)面模型和NSGA-Ⅱ遺傳算法相結(jié)合對(duì)消聲器的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化. 優(yōu)化后消聲器低頻和寬頻的消聲性能得到改善，質(zhì)量減輕，表明了響應(yīng)面法和遺傳算法相結(jié)合的消聲器結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化方法的有效性.

關(guān)鍵詞：消聲器；響應(yīng)面法；遺傳算法；試驗(yàn)設(shè)計(jì)

中圖分類(lèi)號(hào)：TB535.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Optimal Design of Ossicular Silencer

Based on Response Surface Methodology

CHENG Junsheng，YU Hao

（State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body， Hunan University，Changsha 410082，China）

Abstract： In order to improve the performance and reduce mass of an ossicular silencer， the average transmission losses （TL） in the low frequency range and the broadband were chosen as optimization goals， several structural parameters （width of the main duct，depth of the enclosed cavity， and length of the enclosed cavity） were chosen as optimization variables， and the mass of the silencer was taken as the constrain condition. The finite element model was also established for the silencer， sample points were obtained by central composite design （CCD），the quadratic polynomial model was constructed based on response surface methodology （RSM），and the fitting accuracy was tested. Response surface methodology combined with genetic algorithm II （NSGA-II） was applied to optimize the structural parameters of the silencer. The optimized ossicular silencer shows better performance and lighter weight. The optimization results indicate that the structural parameters of the silencer are optimized by combining the response surface methodology with genetic algorithm.

Key words： silencer；response surface methodology；genetic algorithms；design of experiments

抗性消聲器常用于排氣管道和通風(fēng)管道內(nèi)噪聲的抑制[1-2]. 通過(guò)管道截面的突然擴(kuò)張（收縮）或旁接共振腔，使沿管道傳播的某些頻率的聲波在突變處向聲源方向反射回去，從而達(dá)到消聲的目的. 抗性消聲器主要用于抑制低中頻噪聲，對(duì)于常見(jiàn)的抗性消聲器，例如擴(kuò)張腔式消聲器，要獲得較好的低頻消聲性能，需要很大的擴(kuò)張腔體積，這會(huì)導(dǎo)致消聲器結(jié)構(gòu)很不緊湊. 人的中耳如同一個(gè)緊湊且具有寬帶阻抗的變換器，并且能夠隔離外耳的空氣運(yùn)動(dòng)和內(nèi)耳的流體運(yùn)動(dòng). 受中耳原理啟發(fā)，Wang等[3]提出了一種新型抗性消聲器模型——聽(tīng)小骨結(jié)構(gòu)消聲器模型，它的旁支腔中包含兩塊剛性薄板，用來(lái)模擬鼓膜和鐙骨足板，兩薄板之間由一根剛性桿相連，用來(lái)模擬聽(tīng)小骨，故取名為聽(tīng)小骨結(jié)構(gòu)消聲器（簡(jiǎn)稱(chēng)聽(tīng)小骨消聲器）. 他發(fā)現(xiàn)聽(tīng)小骨消聲器具有較寬的阻帶，能有效抑制低中頻噪聲，并且腔體的體積并不是影響其消聲效果的關(guān)鍵因素，通過(guò)減小腔體的體積，可以使消聲器的結(jié)構(gòu)更加緊湊. Wang等[3]基于平面波理論分析了該模型的共振原理，建立了聽(tīng)小骨消聲器的二維有限元模型，采用控制變量法對(duì)消聲器的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了研究. 但是，他主要研究的是阻帶寬度與各設(shè)計(jì)參數(shù)之間的關(guān)系，并沒(méi)有對(duì)消聲器的傳遞損失進(jìn)行研究和優(yōu)化. 本文建立了聽(tīng)小骨消聲器的三維有限元模型，為了提高消聲器低頻和寬頻的消聲性能，減輕消聲器的質(zhì)量，對(duì)消聲器的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化.

聽(tīng)小骨消聲器結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化會(huì)改變消聲器的消聲性能和質(zhì)量，為了改善消聲效果，降低質(zhì)量，本文采用了響應(yīng)面法和NSGA-Ⅱ遺傳算法相結(jié)合的思想對(duì)消聲器的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化. 首先利用中心組合試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，建立二次多項(xiàng)式的響應(yīng)面模型，然后以消聲器低頻和寬頻的平均傳遞損失作為優(yōu)化目標(biāo)，采用多目標(biāo)遺傳算法優(yōu)化消聲器的結(jié)構(gòu)參數(shù). 最后對(duì)優(yōu)化前后的消聲器模型進(jìn)行對(duì)比，有效改善了消聲器低頻和寬頻的消聲性能，減輕了消聲器的質(zhì)量，驗(yàn)證了響應(yīng)面法和遺傳算法相結(jié)合的消聲器結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化方法的有效性.

1 聽(tīng)小骨消聲器模型的建立

1.1 基于中耳原理的聽(tīng)小骨消聲器模型

人的中耳主要由鼓膜和與之相連的聽(tīng)小骨組成，統(tǒng)稱(chēng)為聽(tīng)小骨鏈，聽(tīng)小骨又由3塊小骨組成：錘骨、砧骨和鐙骨[4]. 通過(guò)聽(tīng)小骨，可以將鼓膜處的振動(dòng)傳遞到耳蝸. 聽(tīng)小骨位于中耳腔內(nèi)，被骨壁包裹，由咽鼓管連接中耳和咽，以保持中耳內(nèi)外的壓力平衡，維持正常聽(tīng)力. Shera等[5]把中耳腔表述為有3個(gè)窗口的腔室：入口鼓膜窗（耳膜）、出口卵圓窗（連接著鐙骨足板）和靠近卵圓窗的圓窗. 模擬電路模型[6]和有限元模型[7]都常被用于中耳原理的研究. 人的中耳實(shí)質(zhì)上是一個(gè)寬頻帶聲波接收器，可以看作是位于外耳和內(nèi)耳之間的一個(gè)高效阻抗變換器，并且可以隔離外耳的空氣運(yùn)動(dòng)和內(nèi)耳的流體運(yùn)動(dòng). 雖然中耳腔內(nèi)的動(dòng)態(tài)壓力在一定程度上會(huì)抑制鼓膜的運(yùn)動(dòng)，但是鼓膜和耳蝸之間的振動(dòng)主要是通過(guò)聽(tīng)小骨傳遞的.

受中耳原理的啟發(fā)，本文建立了簡(jiǎn)化的聽(tīng)小骨消聲器的幾何模型，如圖1所示. 整個(gè)消聲器模型關(guān)于管道中心平面對(duì)稱(chēng)，在圖中用點(diǎn)畫(huà)線(xiàn)標(biāo)出. 在消聲器中有一封閉腔（O1-A-B-O2），封閉腔兩側(cè)為兩塊完全相同的剛性薄板（O1-A，O2-B），用來(lái)模擬鼓膜和鐙骨足板. 薄板上端分別與腔壁鉸接于O1和O2，以使兩薄板可以繞O1和O2轉(zhuǎn)動(dòng)；有一剛性桿（O3-O4，忽略質(zhì)量）與兩薄板鉸接于O3和O4（薄板形心），用來(lái)模擬聽(tīng)小骨結(jié)構(gòu). 在O3處有一線(xiàn)彈性彈簧，用來(lái)提供薄板振動(dòng)的恢復(fù)力. 這個(gè)“板—桿”結(jié)構(gòu)類(lèi)似于一個(gè)“彈簧—單擺”，繞O1和O2旋轉(zhuǎn)振動(dòng). 假設(shè)封閉腔內(nèi)無(wú)流體泄漏，封閉腔內(nèi)的流體介質(zhì)可以不同于主管道內(nèi)的流體介質(zhì).

1.2 有限元模型的建立

圖1中的消聲器模型主要包括兩塊剛性薄板（O1-A，O2-B）和一根連接兩薄板的剛性桿（O3-O4）. 兩薄板分別模擬鼓膜和鐙骨足板的振動(dòng)，剛性桿模擬聽(tīng)小骨的整體運(yùn)動(dòng). 當(dāng)有聲波從消聲器主管道的左端進(jìn)入時(shí)，一部分聲波將會(huì)進(jìn)入消聲器上游的旁支管中，使左端薄板O1-A產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)振動(dòng). 由于聲波在固體結(jié)構(gòu)中的傳遞速度通常大于在流體中的傳遞速度，作用在左端薄板O1-A上的空氣振動(dòng)將會(huì)通過(guò)剛性桿瞬間傳遞到右端薄板O2-B上，從而通過(guò)下游的旁支管返回到主管道中，在這里，剛性桿模擬了聽(tīng)小骨結(jié)構(gòu)在振動(dòng)傳遞過(guò)程中的作用. 聲波通過(guò)剛性桿從一塊薄板瞬間傳遞到另一塊薄板，使聲波傳遞速度比在主管道中的傳遞速度快，這會(huì)形成相位差，從而達(dá)到消聲的效果，其原理類(lèi)似于HQ管[8].

在聽(tīng)小骨消聲器模型中，聲波在主管道、旁支管和封閉腔內(nèi)的傳播與“板—桿”結(jié)構(gòu)的振動(dòng)相互耦合. 在聲學(xué)域內(nèi)，波動(dòng)方程為：

2 聽(tīng)小骨消聲器的優(yōu)化設(shè)計(jì)

為了提升聽(tīng)小骨消聲器的寬頻（1～1 300 Hz）消聲性能，并且更加注重低頻部分（1～800 Hz）的改善，同時(shí)實(shí)現(xiàn)消聲器結(jié)構(gòu)的輕量化，本文以消聲器進(jìn)出口管道寬度h、封閉腔深度hc以及封閉腔長(zhǎng)度Lc作為設(shè)計(jì)變量，取頻率范圍1～800 Hz和1～1 300 Hz內(nèi)的平均傳遞損失TL1和TL2作為目標(biāo)函數(shù)，消聲器的質(zhì)量m作為約束函數(shù). 利用中心組合試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，建立關(guān)于設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)函數(shù)之間的響應(yīng)面模型，并驗(yàn)證響應(yīng)面模型的擬合精度，最后采用多目標(biāo)遺傳算法對(duì)消聲器的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化和驗(yàn)證.

2.1 中心組合試驗(yàn)設(shè)計(jì)

為減少有限元模型的計(jì)算量，保證響應(yīng)面模型的精度，本文采用中心組合試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，其試驗(yàn)次數(shù)k表示為：

k=mc+mr+m0（6）

式中：mc=2n為設(shè)計(jì)因素取最大和最小水平的全因子試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)；n為設(shè)計(jì)因子個(gè)數(shù)；mr=2n為分布在n個(gè)坐標(biāo)軸上的試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)；m0為中心點(diǎn)數(shù). 圖3給出了兩因數(shù)（n = 2）和三因數(shù)（n = 3）的中心組合試驗(yàn)設(shè)計(jì)樣本點(diǎn)的分布圖. 表1為聽(tīng)小骨消聲器進(jìn)行中心組合試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果.

2.2 響應(yīng)面模型構(gòu)造

響應(yīng)面模型是一種回歸模型，關(guān)于設(shè)計(jì)變量的二次多項(xiàng)式響應(yīng)面模型可表示為[9]：

（x）=β0+∑ni=1βixi+∑ni=1βiix2i+∑ni=1∑nj≥iβijxixj（7）

式中：xi為第i個(gè)設(shè)計(jì)變量；n為設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù).利用最小二乘法對(duì)樣本點(diǎn)及樣本點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值進(jìn)行擬合，確定二次多項(xiàng)式表達(dá)式中多項(xiàng)式的系數(shù)β0，βi，βii和βij.

針對(duì)聽(tīng)小骨消聲器，取頻率范圍1～800 Hz和1～1 300 Hz內(nèi)的平均傳遞損失TL1和TL2作為目標(biāo)函數(shù)，見(jiàn)式（8），分析步長(zhǎng)為1 Hz.

TL1=∫f10TLf1，TL2=∫f20TLf2（8）

2.3 響應(yīng)面模型的誤差分析

響應(yīng)面模型的擬合精度受樣本點(diǎn)數(shù)、響應(yīng)面多項(xiàng)式次數(shù)和原函數(shù)的光滑程度影響較大. 在得到響應(yīng)面模型之后，一般會(huì)通過(guò)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的方差分析來(lái)檢驗(yàn)響應(yīng)面模型的有效性，可以采用決定系數(shù)R2和調(diào)整決定系數(shù)R2adj來(lái)驗(yàn)證響應(yīng)面對(duì)響應(yīng)量的擬合情況[10]，R2和R2adj定義如下：

R2=∑Mi=1（i-）2/∑Mi=1（yi-）2（12）

R2adj=1-∑Mi=1（yi-i）2（M-1）/

∑Mi=1（yi-）2（M-N-1）

（13）

式中：yi，i分別為第i個(gè)樣本點(diǎn)上的響應(yīng)值和近似響應(yīng)值；為M個(gè)采樣點(diǎn)的響應(yīng)均值；N為響應(yīng)面模型基函數(shù)的個(gè)數(shù). 對(duì)于二次多項(xiàng)式響應(yīng)面模型，基函數(shù)個(gè)數(shù)N與設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)n的關(guān)系見(jiàn)式（14）. 在對(duì)響應(yīng)面模型的方差分析中，若R2和R2adj的值越接近于1，則響應(yīng)面模型的擬合精度越高.

N=（n+2）×（n+1）/（2×1）（14）

對(duì)聽(tīng)小骨消聲器的響應(yīng)面模型做誤差分析，將響應(yīng)面模型的響應(yīng)值和有限元模型的計(jì)算值代入式（12）和式（13），得到?jīng)Q定系數(shù)R2和調(diào)整決定系數(shù)R2adj如表3所示. 由表3可知，TL1和TL2的響應(yīng)面模型的決定系數(shù)和調(diào)整決定系數(shù)都大于0.9，響應(yīng)面模型能夠很好地?cái)M合響應(yīng)量，可用于后續(xù)的優(yōu)化設(shè)計(jì).

2.4 基于遺傳算法的多目標(biāo)優(yōu)化

在建立了聽(tīng)小骨消聲器響應(yīng)面模型的基礎(chǔ)上，為了求得目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，需要選擇合適的優(yōu)化算法對(duì)優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化.遺傳算法就是一種將適者生存規(guī)則與群體內(nèi)部染色體的隨機(jī)信息交換機(jī)制相結(jié)合的高效全局尋優(yōu)算法[11]. 隨著時(shí)間的推移，遺傳算法也在不斷地改進(jìn)和進(jìn)化. 由Deb等[12]提出的非支配排序遺傳算法（NSGA-Ⅱ）是對(duì)NSGA算法的改進(jìn)，是一種帶有精英策略的非支配排序遺傳算法，解決了NSGA算法參數(shù)選取較難和運(yùn)行效率低等缺點(diǎn).

為了提升聽(tīng)小骨消聲器的寬頻（1～1 300 Hz）消聲性能，并且更加注重低頻部分（1～800 Hz）的改善，本文以1～800 Hz內(nèi)的平均傳遞損失TL1和1～1 300 Hz內(nèi)的平均傳遞損失TL2作為優(yōu)化目標(biāo). 此優(yōu)化問(wèn)題屬于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，以消聲器優(yōu)化后的質(zhì)量不高于初始質(zhì)量的95%作為約束條件，采用NSGA-Ⅱ遺傳算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)尋優(yōu)，優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型可表示為以下形式：

max （TL1），max （TL2），m≤0.95m0

48≤h≤52，45≤hc≤55，225≤Lc<275（15）

式中：m0為消聲器的初始質(zhì)量. 取遺傳算法的交叉概率為0.6，變異概率為0.01.優(yōu)化前后設(shè)計(jì)變量的值見(jiàn)表4，優(yōu)化前后目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的值見(jiàn)表5.

從表5中可知，TL1從13.397 0 dB升高到了15.286 2 dB，并且TL2從13.343 6 dB升高到了14.619 1 dB，同時(shí)消聲器的質(zhì)量由1 684.3 g降低到了1 593.2 g. 在滿(mǎn)足約束條件的情況下，采用NSGA-Ⅱ遺傳算法得到的優(yōu)化結(jié)果提高了消聲器的低頻和寬頻消聲性能，并且減輕了消聲器的質(zhì)量.優(yōu)化前后消聲器的傳遞損失曲線(xiàn)如圖4所示.fa和fb為優(yōu)化前后兩曲線(xiàn)的交點(diǎn). 從圖中可以看出，優(yōu)化后傳遞損失曲線(xiàn)的第1個(gè)峰值和第2個(gè)峰值之間的部分以及第2個(gè)峰值和第3個(gè)峰之間的部分得到了提高；第1個(gè)峰值和第3個(gè)峰值向中間頻率移動(dòng)，而第2個(gè)峰值的位置幾乎沒(méi)有變化. 這使得優(yōu)化后的消聲性能在[fa，fb]區(qū)間得到提高，而當(dāng)頻率小于fa或者大于fb時(shí)，消聲效果卻有所下降. 綜合起來(lái)，優(yōu)化后的消聲器在1～800 Hz和1～1 300 Hz的平均傳遞損失都得到了提高.具體值見(jiàn)表5.

為了驗(yàn)證響應(yīng)面模型優(yōu)化結(jié)果的準(zhǔn)確性，將優(yōu)化后的設(shè)計(jì)變量值代入有限元模型中，對(duì)比采用響應(yīng)面模型和有限元模型計(jì)算的目標(biāo)函數(shù)值，見(jiàn)表6. 從表6可以看出，用響應(yīng)面模型得到的近似值誤差僅為0.90%和1.28%，這表明通過(guò)響應(yīng)面模型和遺傳算法得到的優(yōu)化值具有較高精度.

3 結(jié) 論

1）本文采用中心組合試驗(yàn)設(shè)計(jì)獲得樣本點(diǎn)，構(gòu)造二次多項(xiàng)式響應(yīng)面模型，用最小二乘法確定二次多項(xiàng)式的系數(shù). 根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，利用響應(yīng)面模型建立設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)函數(shù)的近似顯式表達(dá)式，避免了多次調(diào)用有限元程序，易于與優(yōu)化算法相結(jié)合，提高了優(yōu)化效率.

2）以聽(tīng)小骨消聲器1～800 Hz和1～1 300 Hz的平均傳遞損失作為優(yōu)化目標(biāo)，消聲器的質(zhì)量作為約束，采用響應(yīng)面法和NSGA-Ⅱ遺傳算法相結(jié)合的思想對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化. 優(yōu)化后的消聲器在低頻和寬頻的消聲性能都得到了提高，并且消聲器的質(zhì)量有所減輕，從而驗(yàn)證了響應(yīng)面法和遺傳算法相結(jié)合的消聲器結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化方法的有效性.

參考文獻(xiàn)

[1] 周新祥.噪聲控制技術(shù)及其新進(jìn)展[M].北京：冶金工業(yè)出版社，2007：189-198.

ZHOU Xinxiang.Technology and progress of noise control[M].Beijing：Metallurgical Industry Press，2007： 189-198.（In Chinese）

[2] LEE J W.Optimal topology of reactive muffler achieving target transmission loss values：design and experiment[J]. Applied Acoustics，2015，88：104-113.

[3] WANG C，HUANG L.Investigation of a broadband duct noise control system inspired by the middle ear mechanism[J].Mechanical Systems and Signal Processing，2012，31：284-297.

[4] VOLANDRI G，DIPUCCIO F，F(xiàn)ORTE P，et al.Model-oriented review and multi-body simulation of the ossicular chain of the human middle ear[J].Medical Engineering & Physics，2012，34（9）：1339-1355.

[5] SHERA C A，ZWEIG G.Middle-ear phenomenology：the view from the three windows[J].The Journal of the Acoustical Society of America，1992，92（3）：1356-1370.

[6] OCONNOR K N，PURIA S.Middle-ear circuit model parameters based on a population of human ears[J].The Journal of the Acoustical Society of America，2008， 123（1）：197-211.

[7] 王學(xué)林，凌玲，胡于進(jìn).中耳正向與逆向壓力增益模擬[J].華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，40（2）：5-8.

WANG Xuelin，LING Lin，HU Yujin.Simulation of forward and reverse pressure gain produced by the human middle ear[J].Journal of Huazhong University of Science and Technology：Natural Sciences，2012， 40（2）： 5-8.（In Chinese）

[8] POIRIER B，MAURY C，VILLE J M.The use of Herschel-Quincke tubes to improve the efficiency of lined ducts[J].Applied Acoustics，2011，72（2）：78-88.

[9] 白中浩，顏強(qiáng)，龍瑤，等.基于獨(dú)立碰撞工況的兒童約束系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化[J].湖南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012， 39（11）：46-51.

BAI Zhonghao，YAN Qiang，LONG Yao，et al. Optimization of child restraint system parameters based on independent crash cases[J].Journal of Hunan University：Natural Science，2012，39（11）：46-51. （In Chinese）

[10]李亦文，徐濤，徐天爽，等.車(chē)身低速碰撞吸能結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，30（10）：1175-1179.

LI Yiwen，XU Tao，XU Tianshuang，et al.Optimal design of energy-absorbing structure of autobody under low-speed crash[J].Transactions of Beijing Institute of Technology，2010，30（10）：1175-1179.（In Chinese）

[11]任毅如，張?zhí)锾?，曾令?基于遺傳算法的潮流能水輪機(jī)翼型優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].湖南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015， 42（10）：59-64.

REN Yiru，ZHANG Tiantian，ZENG Lingbin.Tidal turbine hydrofoil design method based on genetic algorithm[J].Journal of Hunan University：Natural Sciences，2015，42（10）：59-64.（In Chinese）

[12]DEB K，PRATAP A，AGARWAL S，et al.A fast and elitist multiobjective genetic algorithm：NSGA-Ⅱ[J]. Evolutionary Computation， IEEE Transactions on， 2002， 6（2）：182-197.