射影平坦且具有相對迷向平均Landsberg曲率的(α,β)-度量

程新躍，劉樹華

(重慶理工大學(xué) 理學(xué)院， 重慶 400054)

射影平坦且具有相對迷向平均Landsberg曲率的(α,β)-度量

程新躍，劉樹華

(重慶理工大學(xué) 理學(xué)院， 重慶 400054)

射影平坦芬斯勒度量；(α,β)-度量；Landsberg曲率；平均Landsberg曲率

1900年，數(shù)學(xué)家希爾伯特提出了23個著名的數(shù)學(xué)問題。其中的第4個問題是：刻畫定義在Rn的一個開子集上的度量函數(shù)，使得直線是關(guān)于這個度量的測地線。希爾伯特第四問題在正則情形下就是刻畫以直線為測地線的芬斯勒度量。將希爾伯特第四問題在正則情形下的光滑解稱為射影平坦的芬斯勒度量。

y∈TxBn?Rn

(1)

因此，在黎曼幾何中，希爾伯特第四問題已經(jīng)被完全解決。但在芬斯勒幾何中，這一問題還遠(yuǎn)未被解決。

由大量的研究經(jīng)驗可知：射影平坦芬斯勒度量的刻畫與度量的曲率性質(zhì)密切相關(guān)。

1929年，L.Berwald證明了射影平坦的芬斯勒度量具有標(biāo)量旗曲率[1]。2003年，沈忠民教授刻畫了射影平坦且具有常數(shù)旗曲率的Randers度量[2]。在此之后，沈忠民教授與G.C.Yildirim合作，于2005年刻畫了射影平坦且具有常數(shù)旗曲率的平方度量[3]。在上述研究基礎(chǔ)上，李本伶與沈忠民教授合作，于2007年刻畫了射影平坦且具有常數(shù)旗曲率的(α,β)-度量[4]。

為了區(qū)分芬斯勒度量和黎曼度量，E.Cartan引入了一個非黎曼幾何量——Cartan張量，進(jìn)而定義了平均Cartan張量。(平均)Cartan張量沿著測地線的變化率即為(平均)Landsberg曲率。再根據(jù)(平均)Cartan張量和(平均)Landsberg曲率的定義，芬斯勒幾何學(xué)家們定義了“具有相對迷向(平均)Landsberg曲率的芬斯勒度量”。1975年，Numata證明了：定義在n(≥3)維流形上，滿足條件K≠0(K表示旗曲率)的具有標(biāo)量旗曲率的Landsberg度量一定是黎曼度量[5]。2003年，程新躍、莫小歡和沈忠民3位教授合作，給出了具有相對迷向平均Landsberg曲率且具有標(biāo)量旗曲率的芬斯勒度的旗曲率量滿足的一組微分方程[6]。2008年，程新躍等刻畫了具有相對迷向平均Landsberg曲率的(α,β)-度量[7]。

這自然引導(dǎo)我們?nèi)パ芯可溆捌教骨揖哂邢鄬γ韵蚱骄鵏andsberg曲率的(α,β)-度量。

本文首先刻畫了射影平坦的弱Landsberg的(α,β)-度量，并得到了如下定理。

定理1 設(shè)F=αφ(s)，s=β/α，是定義在n維流形M上的(α,β)-度量。若F為射影平坦的弱Landsberg度量，則F必為下列情形之一：

①F是黎曼度量。

②F是Berwald度量。此時α一定具有常數(shù)截面曲率，記為μ。進(jìn)一步地：

若μ=0，則F為局部Minkowski度量；若μ≠0，則β可由下式確定：

其中Q=(qij)是一個反對稱矩陣，v=(vi)為Rn中的常向量。

更進(jìn)一步地，刻畫射影平坦且具有相對迷向平均Landsberg曲率的(α,β)-度量，并得到如下定理。

定理2 設(shè)F=αφ(s)，s=β/α，是定義在n(≥3)維流形M上的(α,β)-度量，其中φ=φ(s) 是關(guān)于s的多項式。若F射影平坦且具有相對迷向平均Landsberg曲率，則F必為下列情形之一：

①F是射影平坦且具有迷向S曲率的Randers型度量。

②F是Berwald度量。此時α一定具有常數(shù)截面曲率，記為μ。更進(jìn)一步地：

若μ=0，則F為局部Minkowski度量；若μ≠0，則β可由下式確定：

其中，Q=(qij)是一個反對稱矩陣，v=(vi)為Rn中的常向量。

需要說明的是：由文獻(xiàn)[7]中結(jié)果可知，定理2①中的Randers度量可完全被確定。

1 預(yù)備知識

本節(jié)將介紹一些必備的知識，為本文的研究做準(zhǔn)備。

首先給出芬斯勒度量的定義。

設(shè)M是一個n維光滑流形，F(xiàn):TM→[0,+∞)是定義在其切叢上的非負(fù)函數(shù)。如果F滿足如下條件：

① 光滑性：在帶孔切叢TM{0}上，F(xiàn)(x,y)是C∞函數(shù)；

② 正齊次性：F=F(x,y)滿足

F(x,λy)=λF(x,y)，?λ>0;

③ 正則性：對于任意非零向量y≠0，有

構(gòu)成正定的矩陣，則稱F為M上的一個芬斯勒度量。且將

g=gij(x,y)dxi?dxj

稱為F的基本二次型或基本張量。

將具備芬斯勒度量的微分流形(M，F(xiàn))稱為芬斯勒流形或芬斯勒空間。

其次，在此給出測地系數(shù)的定義。

令F是定義在n為流形M上的芬斯勒度量。F的測地線可以由下述2階微分方程組給出：

其中

且(gij)=(gij)-1。Gi稱為F的測地系數(shù)。

然后，給出Cartan張量的定義。

設(shè)(M，F(xiàn))是一個n為芬斯勒流形，Cartan張量C是定義在π*TM(M上的切叢在自然的叢投影下的拉回切子叢)上的三階對稱張量：

C∶=Cijk(x,y)dxi?dxj?dxk

其中

(2)

Cartan張量的平均值I稱為平均Cartan張量，其定義為

I∶=Iidxi，Ii=gjkCijk

(3)

(平均)Cartan張量沿測地線的變化率即為(平均)Landsberg曲率。令

Ly(u,v,w)∶

其中：c(t)是F的一條測地線；U(t)，V(t)和W(t)是沿c(t)的平行向量場。顯然Ly為零階正齊次，則

L∶={Ly}y∈TM{0}

稱為Landsberg曲率。如果一個芬斯勒度量滿足L=0，則稱之為Landsberg度量。令

Jy(u)∶

其中(gij)=(gij)-1，則

J∶={Jy}y∈TM{0}

稱為平均Landsberg曲率。如果一個芬斯勒度量滿足J=0，則稱之為弱Landsberg度量。更一般地，對于定義在流形M上芬斯勒度量F，若存在M上的標(biāo)量函數(shù)c(x)，使得J+c(x)FI=0，則稱F是具有相對迷向的平均Landsberg曲率的芬斯勒度量。

F∶=αφ(s)，s=β/α

其中φ=φ(s)是定義在開區(qū)間(-b0,b0)的C∞函數(shù)。

對任意給定的(α,β)-度量,根據(jù)線性代數(shù)的知識可以直接計算得[8]：

det(gij)=φn+1×(φ-sφ′)n-2×

[(φ-sφ′)+(b2-s2)φ″]×det(aij)

(4)

其中b∶=‖βx‖α

φ(s)>0

φ(s)-sφ′(s)+(ρ2-s2)φ″(s)>0

‖s‖≤ρ

(5)

在式(5)中，令‖s‖=ρ可得：

φ(s)-sφ′(s)>0，‖s‖

(6)

本文主要研究正則的(α,β)-度量。

記“;”為關(guān)于α的黎曼聯(lián)絡(luò)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)。令

bi;jθj∶

可得：

(7)

ri∶=bjrji，si∶=bjsji

其中(aij)∶=(aij)-1且bj∶=ajkbk。

根據(jù)式(3)和式(4)，可以直接計算出(α,β)-度量的平均Cartan張量[7]：

φ-sφ′)·hi

(8)

其中

Δ∶=1+sQ+(b2-s2)Q′，

Φ∶=-(nΔ+1+sQ)(Q-sQ′)-

(b2-s2)(1+sQ)Q″

yi=aijyj

hi=bi-α-1syi

文獻(xiàn)[7,9]中，程新躍及李本伶、沈忠民給出了(α,β)-度量的平均Landsberg曲率，其表達(dá)式可由式(9)給出。

(9)

其中

Ψ1∶

令J∶=Jjbj。由式(9)可以計算得：

αΨ2(r0+s0)}

(10)

其中

Ψ2∶

2 射影平坦的Berwald-(α, β)-度量

Berwald度量是芬斯勒幾何中的一類重要度量。一個芬斯勒度量F是Berwald度量的充分必要條件是F與某一黎曼度量有相同的測地系數(shù)。本節(jié)著重分類和刻畫射影平坦的Berwald-(α,β)-度量，并得到了如下定理：

定理3 令F=αφ(β/α)為定義在n維流形M上的射影平坦的(α,β)-度量。若F為Berwald度量，則α一定具有常數(shù)截面曲率，記為μ。進(jìn)一步地：

若μ=0，則F為局部Minkowski度量；若μ≠0，則β可由下式確定：

其中Q=(qij)是一個反對稱矩陣，v=(vi)為常向量。

為了證明定理3，需要如下2個引理：

引理1[8]令F是定義在流形M上的芬斯勒度量。F射影平坦的充分必要條件是存在TM上的標(biāo)量函數(shù)P使得：

Gi=Pyi

(11)

其中P=P(x,y)滿足：

(12)

定理3的證明：

由于F為Berwald度量，所以易證bi;j=0，從而

rij=0，sij=0

由式(7)可得：

(13)

情形1μ=0

根據(jù)式(1)可知：

此時，式(13)可以寫為

(14)

易知bi=constant，所以β=〈b,y〉，其中b=(bi)∈Rn為常向量。在這種情況下，F(xiàn)為局部Minkowski度量。

情形2μ≠0

此時

容易發(fā)現(xiàn)：

此時，α的Christoffel記號可以表示為：

(15)

根據(jù)式(13)和式(15)可得：

(16)

顯然，通過式(16)可得：

(17)

(18)

再根據(jù)式(18)，可以計算出[10]

這表明mi對x的二階偏導(dǎo)數(shù)恒為0。所以：mi關(guān)于x是一階線性的[10]，即mi=qijxj+vi。其中Q=(qij)為n階常矩陣，v=(vi)為n維常向量。更進(jìn)一步地，由式(18)可知：Q=(qij)是一個反對稱矩陣，所以

進(jìn)而有

3 定理1的證明

本節(jié)將證明定理1。為了完成這一目標(biāo)，需要如下的一些引理：

一方面，需要運用弱Landsberg度量的一些性質(zhì)。

引理3[9]令F=αφ(β/α)是定義在2維流形上的(α,β)-度量。若F是弱Landsberg度量，則F是Berwald度量。

引理4[9]令F=αφ(β/α)是定義在n(≥3)維流形M上的(α,β)-度量。F是弱Landsberg度量的充分必要條件是：β滿足

sij=0

rij=k(b2aij-bibj)+σbibj

(19)

其中k=k(x)，σ=σ(x)是流形M上的標(biāo)量函數(shù)。并且φ=φ(s)滿足

kΨ1+sσΨ3=0

(20)

其中

Ψ3∶

另一方面，需要利用(α,β)-度量的一些性質(zhì)。

根據(jù)Deicke定理可知：一個芬斯勒度量F為黎曼度量的充分必要條件是I=0。再通過式(8)，可得所需的下述引理。

引理5[7]一個(α,β)-度量F為黎曼度量的充分必要條件是Φ=0。

引理6[11]對于(α,β)-度量F=αφ(β/α)，若φ=φ(s)滿足Ψ1=0，則F是黎曼度量。

引理7[9]對于(α,β)-度量F=αφ(β./α)，若

Φ≠0，sij=0，

rij=k(b2aij-bibj)+σbibj

則Q=q1s，其中q1是一個常數(shù)。

引理8[12]對于(α,β)-度量F=αφ(β/α)，若Q-sQ′=0或Q=q1s，其中q1是一個與s無關(guān)的數(shù)，則

φ

其中k1，k2是與s無關(guān)的數(shù)。此時F為黎曼度量。

定理1的證明：

令F=αφ(β/α)是一個弱Landsberg度量。

1) 當(dāng)n=2時。由引理3可知F是Berwald度量。再根據(jù)定理3可以確定F。

2) 當(dāng)n≥3時。根據(jù)引理4可得β滿足式(19)且φ=φ(s)滿足

kΨ1+sσΨ3=0

①Φ=0。通過引理5可知F為黎曼度量。

②Φ≠0。

k=0且σ=0。由引理4可知sij=0且rij=0，所以bi; j=0，此時F為Berwald度量。再由定理5可以確定F。

k≠0且σ=0。根據(jù)引理4可得Ψ1=0。進(jìn)而由引理6得出F為黎曼度量。

k=0且σ≠0。通過引理4可以發(fā)現(xiàn)sij=0，rij=σbibj。進(jìn)而由引理7和引理8可以得出F為黎曼度量。

k≠0且σ≠0。由引理4可知sij=0，rij=k(b2aij-bibj)+σbibj。再通過引理7和引理8可以得出F為黎曼度量。

證明完畢。

4 定理2的證明

本節(jié)將證明定理2。為了完成這一目標(biāo)，需要如下2個引理。

引理9[13]令F=αφ(β/α)是定義在n(≥3)維流形M上的非Randers型的(α,β)-度量，此時φ=φ(s)是關(guān)于s的多項式。若F具有相對迷向平均Landsberg曲率，即J+c(x)FI=0，則F為Berwald度量。

引理10[14]對于定義在n維流形M上的Randers度量F=α+β，下列條件是等價的：①J+c(x)FI=0； ②S=(n+1)cF。其中c=c(x) 是流形M上的標(biāo)量函數(shù)。

定理2的證明：

令F=αφ(β/α)是射影平坦F具有相對迷向平均Landsberg曲率的(α,β)-度量，其中φ=φ(s) 是關(guān)于s的多項式。

1)F不是Randers型的芬斯勒度量。根據(jù)引理9可知：F是Berwald度量。再通過定理3可以確定F。

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(責(zé)任編輯 劉 舸)

On Projectively Flat (α,β)-Metrics with Relatively Isotropic Mean Landsberg Curvature

CHENG Xin-yue, LIU Shu-hua

(College of Science, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China)

We studied projectively flat (α,β)-metrics in the form ofF=αφ(β/α), whereαis a Riemannian metric andβis a 1-form on the manifold. We classified projectively flat weak Landsberg (α,β)-metrics. Further, we classified projectively flat (α,β)-metricF=αφ(β/α), whereφ=φ(s) is a polynomial ins, with relatively isotropic mean Landsberg curvature.

projectively flat Finsler metrics; (α,β)-metrics; Landsberg curvature; mean Landsberg curvature

2016-05-20 基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(11371386)

程新躍(1958—)，男，重慶人，博士，教授，主要從事微分幾何及其應(yīng)用研究；劉樹華(1990—)，男，湖北人，碩士研究生，主要從事微分幾何及其應(yīng)用研究，E-mail:12612954@qq.com。

程新躍，劉樹華.射影平坦且具有相對迷向平均Landsberg曲率的(α,β)-度量[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué))，2017(2):140-145.

format：CHENG Xin-yue, LIU Shu-hua.On Projectively Flat (α,β)-Metrics with Relatively Isotropic Mean Landsberg Curvature[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(2):140-145.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.02.023

O186.1

A

1674-8425(2017)02-0140-06