主成分分析的匹配點對提純方法

董 楊，范大昭，紀 松，雷 蓉

信息工程大學，河南 鄭州 450000

主成分分析的匹配點對提純方法

董 楊，范大昭，紀 松，雷 蓉

信息工程大學，河南 鄭州 450000

傳統(tǒng)的匹配點對提純算法通常需要尋找小部分點集作為初始輸入，再迭代求解出能夠滿足大多數(shù)點對約束要求的最優(yōu)解，其提純結果易陷入局部極值，造成正確匹配點對的遺漏。針對這一問題，本文引入了主成分分析思想，將整體點集作為初始輸入，逐步剔除誤匹配點對，穩(wěn)健求解，得到更為準確的全局最優(yōu)解，降低正確匹配點對的遺漏率，達到較好的提純效果。試驗表明，本文方法在一定的原始誤匹配率下，能夠得到整體最優(yōu)解，在剔除誤匹配點對的同時，能夠避免或減少正確匹配點對的遺漏。

影像匹配；主成分分析；奇異值分解；提純；RANSAC

在影像匹配過程中，經(jīng)常會存在一些誤匹配點對，這時可以通過匹配提純的方法對誤匹配點對進行剔除。一般的提純思路是尋找一個恰當?shù)钠ヅ潼c對約束模型，估計出正確的模型參數(shù)，利用約束模型進行匹配點對提純。在匹配點對約束模型中，通常使用變換約束矩陣作為估計模型，其一般包括平移變換、剛體變換、相似性變換、仿射變換、射影變換、極線幾何基本矩陣變換等?，F(xiàn)行的變換約束矩陣模型已經(jīng)能夠很好地進行匹配點對間的幾何約束，因此大多數(shù)學者更加傾向于模型參數(shù)估計方法的研究。

在模型參數(shù)估計中，常用的方法有穩(wěn)健回歸估計和隨機參數(shù)估計等。對于穩(wěn)健回歸估計方法，如M-估計[1-2]，其核心思想是采用迭代加權最小二乘估計回歸系數(shù)，但其僅能適應誤匹配率較小的情況。對于隨機參數(shù)估計方法，如LMedS(least median of squares)算法[3-4]、MLESAC(maximum likelihood estimation sample and consensus)算法[5]和RANSAC(random sample consensus)算法[6]等，其核心思想是隨機選擇樣本子集，迭代挑選出最佳模型參數(shù)。其中，RANSAC算法能夠在存在大量外點的數(shù)據(jù)中找到內(nèi)點，因而得到廣泛應用并派生出一系列改進算法[7-9]。改進的RANSAC方法主要從兩個方面進行了優(yōu)化。一方面是速度優(yōu)化，如P-RANSAC(preemptive RANSAC)[10-11]和R-RANSAC(randomized RANSAC)[12-13]等；一方面是提純率的優(yōu)化，如M-RANSAC(multi RANSAC)[7]等。然而這些算法都需要選擇一個合適的初始內(nèi)點集，提純結果容易陷入局部最優(yōu)解，造成部分正確匹配點對遺漏；在誤匹配率增大時，成功選擇內(nèi)點集的試驗次數(shù)也急劇增大。除了以上的約束模型及參數(shù)估計方法，近期也有一些其他的研究成果[14-17]。文獻[14]提出通過統(tǒng)計模板的旋轉角度直方圖來剔除誤匹配，但其依賴角度區(qū)間的劃分，僅適用于對精度要求不高的情況；文獻[15]提出一致性函數(shù)(correspondence function)模型，通過學習匹配點對一致性函數(shù)來拒絕誤匹配；文獻[17]提出通過Hough變換求解模型參數(shù)來進行匹配點對提純，然而僅適用于模型參數(shù)較少的情況。由此，在匹配點對約束模型選定的情況下，本文對如何求解模型參數(shù)整體最優(yōu)解，實現(xiàn)穩(wěn)健匹配點對提純的問題進行了研究。

主成分分析(principal components analysis，PCA)[18-20]是一種有效的多元統(tǒng)計方法，在信號處理、統(tǒng)計學等領域有重要應用。類似于信號處理過程中利用主成分分析方法進行噪聲去除，可將主成分分析思想引入匹配點對提純的過程，逐步剔除噪聲點，實現(xiàn)匹配點對的提純。為了方便闡述與試驗，文中以奇異值分解作為主成分分析的具體實現(xiàn)方法，并以此為基礎對提純方法進行了推導與論述。奇異值分解[21-22](singular value decomposition，SVD)是矩陣分析中正規(guī)矩陣酉對角化的推廣，是一種重要的主成分分析實現(xiàn)方法，能夠進行并行化計算[23-24]，可用于最小二乘求解[25-26]，已被廣泛應用于各個領域。

本文分析了奇異值分解中奇異值的對應含義，并將其引用到匹配點對提純過程中。首先，用特定模型來描述匹配點對之間的變換關系，建立模型誤差方程；其次，對含有匹配點對信息的系數(shù)矩陣進行奇異值分解，重構大奇異值對應的矩陣，得到差分矩陣；然后，剔除可能的誤匹配點對，構造降階矩陣，進行模型求解；最后，利用求解的模型參數(shù)，進行匹配點對約束，達到匹配點對提純的目的。

1 匹配點對提純模型與算法

1.1 主成分分析與奇異值分解模型

經(jīng)典的主成分分析算法通過計算輸入數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣及其特征向量來實現(xiàn)數(shù)據(jù)主成分的提取。當數(shù)據(jù)規(guī)模較大時，這一途徑的計算代價非常昂貴。而奇異值分解與主成分分析都是特征正交分解(proper orthogonal decomposition，POD)，具有等價性[27]，在實際應用中處理效果相似[28]。奇異值分解無需計算協(xié)方差矩陣，無需進行均值化處理，計算量少，能避免計算協(xié)方差矩陣的舍入誤差，相對誤差較小，因此計算主成分最優(yōu)的方法是使用奇異值分解[29]。

定義一個秩為r的m×n維矩陣A，則A的奇異值分解形式為

A=USVT

(1)

式中，U為m×m維正交矩陣；V為n×n維正交矩陣，S為m×n維對角陣。U的列向量ui稱為矩陣A的左奇異向量；V的列向量vi稱為矩陣A的右奇異向量；S的對角線元素σi稱為矩陣A的奇異值，且以遞減順序排列，即σ1≥σ2≥…≥σr。

由矩陣A的前t個奇異值重新組成對角陣St×t=diag[σ1,σ2,…,σt]，由奇異值對應的左、右奇異向量重新組成矩陣Um×t=[u1,u2,…,ut]和Vt×n=[v1,v2,…,vt]，利用式(1)可重構矩陣A，得到

(2)

對式(2)進行化簡可得

(3)

A′為A的近似矩陣，由矩陣A的主奇異值重構而成，包含了矩陣A的主要信息。兩矩陣間的差分矩陣ΔA為

(4)

可以發(fā)現(xiàn)，A與A′間僅相差小奇異值對應的部分。研究表明，大的奇異值對應的重構矩陣A′包含更多的主要信息，小的奇異值對應的差分矩陣ΔA包含更多的噪聲信息[30-32]。基于這種思想，ΔA則反映了矩陣A中噪聲信息的大體分布情況。因此，可依據(jù)差分矩陣ΔA進行矩陣A中的噪聲剔除，得到更為合理的降階矩陣B，這也是本文主成分分析思想研究的關鍵。

1.2 主成分分析思想下的提純模型

隨著特征點提取與匹配技術的不斷發(fā)展，硬件計算能力的日益增長，現(xiàn)行的匹配算法已使匹配精度達到一個較高的水平。但由于算法本身的缺陷，不可避免地存在一些誤匹配點對，這時就需要利用一些技術手段將其剔除。在此背景下，本文以“正確匹配點對占據(jù)匹配中的主要成分”為先驗條件，結合現(xiàn)有的數(shù)據(jù)分析技術，嘗試在匹配點對提純中引入主成分分析思想，從而求解出較優(yōu)的提純結果。

為了具體說明提純方法，下文以奇異值分解作為主成分分析的具體實現(xiàn)方法，以基本矩陣模型作為約束模型，對以上過程進行詳細推導。

1.3 基于奇異值分解的匹配點對提純算法

匹配點對提純應遵循兩個原則：一是正確匹配點對被剔除的概率應盡量小，即“棄真”錯誤少發(fā)生；二是誤匹配點對被接受的概率應盡量小，即“取偽”錯誤少發(fā)生。前者避免了提純算法過于嚴格，后者避免了提純算法過于寬松。兩者相互作用，

避免了提純結果陷入局部最優(yōu)解，確保了提純過程的穩(wěn)健性。匹配提純的實質是匹配點對間模型參數(shù)的確定，選擇合適的模型以及適當?shù)膮?shù)，使其滿足提純的兩個原則，即可實現(xiàn)匹配點對間的提純操作。這里使用基本矩陣模型進行求解推導。

圖1 主成分分析思想下的提純流程Fig.1 The process of purification based on principal component analysis

影像間匹配點對一般滿足極線幾何約束，即對應匹配點應在對應極線上。這一約束可通過基本矩陣描述為

m′Fm=0

(5)

式中，m=(x,y,1)T、m′=(x′,y′,1)T分別為匹配點對齊次坐標；F為基本矩陣。令F=(fij)，則式(5)可寫為如下形式

(x′x,x′y,x′,y′x,y′y,y′,x,y,1)f=0

(6)

式中，f=[f11f12f13f21f22f23f31f32f33]T。將式(6)作為模型，f作為待解參數(shù)，可進行匹配點對的提純。給定n對匹配點對可以得到線性方程組

(7)

(8)

式中，Δaij為ΔA中的元素。以近似均方誤差作為閾值，對每一匹配點對誤差方程進行篩選，得到約束后的匹配點對誤差方程，然后再次重新組成系數(shù)矩陣，得到降維矩陣B。對矩陣B再次進行奇異值分解，求解f的最小二乘解，并進行秩2約束，得到最終的模型參數(shù)解f。利用求解的參數(shù)及相應的模型，對匹配點對進行約束，得到提純點對。利用提純后的點對迭代進行以上步驟，直到求解的模型參數(shù)f趨于穩(wěn)定。整個算法流程如圖2所示。

圖2 匹配點對提純流程Fig.2 Matching points purification

2 試驗及其結果分析

上述算法中，重要的一步是計算重構矩陣時奇異值個數(shù)t的確定。一個恰當?shù)膖應能使計算的重構矩陣A′中的正確匹配點對部分，與原始矩陣A中對應的正確匹配點對部分盡量相似，而對應的誤匹配部分盡量相差較大。即ΔA中正確匹配點對的近似誤差值盡量小，而誤匹配點對的近似誤差值盡量大。

利用多幅影像進行試驗，這里選取某幅影像中的1000對正確匹配點對進行說明。如圖3所示，對前100對匹配點對加入隨機誤差，分別在t=1,2,…,8的條件下求解差分矩陣，計算每一匹配點對對應的近似誤差，得到如圖4所示的結果。

圖4中橫軸表示匹配點對，縱軸表示對應的近似誤差值，其中前100個為誤匹配點對，可以看出當t值取5時，已經(jīng)能夠很好地區(qū)別正確匹配點對與誤匹配點對，當t值增大時，雖然這種區(qū)別更加明顯，但計算量也隨之而增長。在實際操作中取t=5。

在得到恰當?shù)膖值后，為了進一步驗證本文算法的實際效果，對含有不同誤點率的影像匹配點對進行了試驗，截取其中6對試驗影像，如圖5至圖10所示。其中，每幅圖中(a)圖表示原始像對圖，(b)圖表示加入誤匹配點對后的像對圖，(c)圖表示利用本文方法進行點對提純后的像對圖。

圖5至圖7為手機拍攝影像，圖8至圖9為普通相機拍攝影像，圖10為航拍影像。可以看出，在不同場景中隨著誤匹配率的不斷提升，本文方法仍能保持著優(yōu)良的提純率，反映了本文方法較好的穩(wěn)健性。同時，為了比較本文算法的效率與全局求解的優(yōu)勢，將上述像對分別用經(jīng)典RANSAC算法進行處理，統(tǒng)計每次的運算耗時與實際迭代次數(shù)，統(tǒng)計如表1所示。其中，設置RANSAC算法迭代上限為2000次，本文算法迭代上限為50次，編號1—編號6數(shù)據(jù)分別對應圖5—圖10。

表1 對比結果信息

表1中時間欄為多次試驗的平均耗時。同時，本文認為試驗中處理時間差異在10 ms以內(nèi)的兩種方法處于相同的耗時水平。由表1可以看出不同情況下本文方法迭代次數(shù)皆遠小于RANSAC方法的迭代次數(shù)。由于全局求解的優(yōu)勢，本文方法在數(shù)次迭代后便可得到最優(yōu)解，而RANSAC方法由于隨機抽樣的特性，在大數(shù)據(jù)量與高誤點率的情況下，迭代次數(shù)驟然上升。試驗中編號為5和6的數(shù)據(jù)試驗結果表明RANSAC方法在此種情況下已達到迭代次數(shù)上限。同時，由表1也可以看出在低誤點率情況下，本文方法與RANSAC方法時間消耗相當，在中誤點率的情況下，本文方法時間消耗少于RANSAC方法，而在高誤點率的情況下，本文方法耗時多于RANSAC方法。這種特性是由奇異值分解過程的耗時與迭代次數(shù)上限的設置共同造成的。單次奇異值分解的耗時大于單次隨機采樣求解的耗時，在低誤點率的情況下，RANSAC方法迭代次數(shù)多于本文方法，總體而言時間消耗相當；在中誤點率的情況下，RANSAC方法迭代次數(shù)驟然增加，而本文方法迭代次數(shù)增加緩慢，總體而言本文方法耗時相對較少；在高誤點率的極端情況下，由于RANSAC方法迭代次數(shù)已達到上限，而本文方法的迭代次數(shù)繼續(xù)增加，耗時相對較多。在實際應用中可通過奇異值分解算法的并行求解與GPU加速縮短單次求解時間，優(yōu)化整體耗時。

為了進一步驗證本文算法與現(xiàn)有算法間的性能優(yōu)劣，取1000對正確匹配點對逐步加入隨機誤差，分別用經(jīng)典RANSAC算法和本文算法對匹配點對進行提純，得到結果如表2和圖11所示。

圖3 匹配點對示意圖Fig.3 Matching points diagram

圖4 取值誤差示意圖Fig.4 Value of the error diagram

圖5 經(jīng)過本文方法提純后，誤點率由13.85%降到0Fig.5 The mismatch percentage is reduced from 13.85% to 0

圖6 經(jīng)過本文方法提純后，誤點率由33.33%降到0Fig.6 The mismatch percentage is reduced from 33.33% to 0

圖7 經(jīng)過本文方法提純后，誤點率由36.94%降到0Fig.7 The mismatch percentage is reduced from 36.94% to 0

圖8 經(jīng)過本文方法提純后，誤點率由50.00%降到0Fig.8 The mismatch percentage is reduced from 50% to 0

圖9 經(jīng)過本文方法提純后，誤點率由71.00%降到2.03%Fig.9 The mismatch percentage is reduced from 71.00% to 2.03%

圖10 經(jīng)過本文方法提純后，誤點率由78.33%降到0.77%Fig.10 The mismatch percentage is reduced from 78.33% to 0.77%

圖11 試驗結果對比Fig.11 Comparison of experimental results

試驗中，RANSAC算法和本文算法的最終閾值約束都設置為3。根據(jù)之前提到的兩個原則，定義棄真率的計算公式為PT=nt1/nt，nt1表示未能被提取出來的正確匹配點對個數(shù)，nt表示總共的正確匹配點對個數(shù)；定義取假率的計算公式為PF=nf1/nf，nf1表示被提取出來的誤匹配點對的個數(shù)，nf表示總共的誤匹配點對個數(shù)。圖11中橫軸表示原始匹配點對中的誤匹配率值，縱軸表示比率值。表2中括號內(nèi)的數(shù)據(jù)表示誤匹配點對的個數(shù)。由表2和圖11中數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，在不同的原始誤匹配率下，RANSAC方法始終帶有一定的棄真率，這是由求解的模型參數(shù)陷入局部極值造成的。而本文方法，在原始誤匹配率達到87%之前，都保持著較低的棄真率與取假率，尤其是在誤匹配率達到50%之前，有著理想的棄真率與取假率，具有穩(wěn)健的模型參數(shù)解，相對優(yōu)于RANSAC方法，符合預期結果。但在誤匹配率達到87%之后，本文方法的棄真率急劇上升，RANSAC方法棄真率則保持在38%左右。這是由于本文方法引入的主成分分特性所造成的，當誤匹配率極大時，正確信息被湮沒在噪聲信息之中造成了正確主成分提取失敗。但在實際應用過程中，原始誤匹配率達到80%的情況不易發(fā)生，本文方法在棄真率與取假率方面總體而言優(yōu)于RANSAC方法。

表2 對比結果信息

3 結 語

經(jīng)典的RANSAC方法將隨機挑選的小部分點對作為輸入，計算模型參數(shù)，然后驗證全部點對，留下能夠滿足大多數(shù)點對的模型參數(shù)作為結果，是一種“由小到大”的思想。本文方法首先將全部點對作為輸入，利用主成分分析思想，剔除可能的誤匹配點對，計算模型參數(shù)，然后驗證全部點對，迭代求解出穩(wěn)健的模型參數(shù)，是一種“由大到小”的思想。RANSAC方法由于這種隨機抽選的特性，使得其容易陷入局部極大值，求解不出最優(yōu)的模型參數(shù)。針對這種不足，本文方法將整體匹配點對作為輸入，避免了局部極值的弊端，能夠求解出相對穩(wěn)定的模型參數(shù)。試驗表明，在中、低原始誤匹配率的情況下，本文方法迭代次數(shù)較少，總體耗時較短，棄真率與取假率較低，相對優(yōu)于RANSAC方法；在高原始誤匹配率的極端情況下，本文方法相對劣于RANSAC方法。同時，本文在試驗中推導并采用了奇異值分解模型和基本矩陣模型，在實際應用中可根據(jù)情況更換模型。

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(責任編輯：張艷玲)

The Purification Method of Matching Points Based on Principal Component Analysis

DONG Yang，F(xiàn)AN Dazhao，JI Song，LEI Rong

Information Engineering University，Zhengzhou 450000，China

The traditional purification method of matching points usually uses a small number of the points as initial input. Though it can meet most of the requirements of point constraints, the iterative purification solution is easy to fall into local extreme, which results in the missing of correct matching points. To solve this problem, we introduce the principal component analysis method to use the whole point set as initial input. And thorough mismatching points step eliminating and robust solving, more accurate global optimal solution, which intends to reduce the omission rate of correct matching points and thus reaches better purification effect, can be obtained. Experimental results show that this method can obtain the global optimal solution under a certain original false matching rate, and can decrease or avoid the omission of correct matching points.

image matching; principal components analysis; singular value decomposition; purification; random sample consensus

The National Natural Science Foundation of China (No.41401534); State Key Laboratory of Geographic Information Engineering (No. SKLGIE2013-M-3-1)

DONG Yang(1992—)，male，postgraduate，majors in digital photogrammetry.

FAN Dazhao

董楊，范大昭，紀松,等.主成分分析的匹配點對提純方法[J].測繪學報，2017,46(2)：228-236.

10.11947/j.AGCS.2017.20160250. DONG Yang，F(xiàn)AN Dazhao，JI Song，et al.The Purification Method of Matching Points Based on Principal Component Analysis[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2017,46(2):228-236. DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20160250.

P236

A

1001-1595(2017)02-0228-09

國家自然科學基金(41401534)；地理信息工程國家重點實驗室開放基金(SKLGIE2013-M-3-1)

2016-05-24

董楊(1992—)，男，碩士生，研究方向為數(shù)字攝影測量。

E-mail： wenku34@163.com

范大昭

E-mail： fdzcehui@163.com

修回日期： 2017-01-04