厘清概念 掌握運(yùn)算 透視考點(diǎn)

數(shù)與式是中考必考知識(shí)點(diǎn)，一般分值占中考總分10%左右，主要考查同學(xué)們對(duì)基本概念的理解和基本運(yùn)算的掌握情況，現(xiàn)以2016年中考題為例，聚焦中考中的“數(shù)與式”，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)參考.

一、考查數(shù)與式的相關(guān)概念

1.正、負(fù)數(shù)的識(shí)別.

例1 （2016·攀枝花）下列各數(shù)中，不是負(fù)數(shù)的是（ ）.

A.-2 B.3 C.[-58] D.-0.10

【分析】利用負(fù)數(shù)的定義判斷即可得到結(jié)果.

解：由負(fù)數(shù)的定義知，-2，[-58]，-0.10均為負(fù)數(shù)，而3不是負(fù)數(shù).故選B.

【點(diǎn)評(píng)】負(fù)數(shù)可以從以下兩個(gè)方面識(shí)別：①根據(jù)數(shù)前面的符號(hào)：非零數(shù)前面只有一個(gè)“-”號(hào)是負(fù)數(shù)，非零數(shù)前面只有一個(gè)“+”號(hào)是正數(shù)；②根據(jù)與零的大小關(guān)系：大于零的數(shù)是正數(shù)，小于零的數(shù)是負(fù)數(shù).

2.相反數(shù)、倒數(shù).

例2 （2016·永州）[-12016]的相反數(shù)的倒數(shù)是（ ）.

A.1 B.-1 C.2016 D.-2016

【分析】本題應(yīng)先求相反數(shù)，再求倒數(shù).

解：[-12016]的相反數(shù)是[12016]，[12016]的倒數(shù)是2016.故選C.

【點(diǎn)評(píng)】求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，相當(dāng)于改變這個(gè)數(shù)的符號(hào)，即在這個(gè)數(shù)前面加上“-”號(hào)；求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，即求1除以這個(gè)數(shù)的商.

3.數(shù)的開(kāi)方.

例3 （2016·常德）4的平方根是（ ）.

A.2 B.-2 C.[±2] D.±2

【分析】一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù).

解：∵（±2）2=4，∴4的平方根是±2.故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求一個(gè)正數(shù)的平方根，這類(lèi)題一般比較簡(jiǎn)單，記住它們的概念是解題的前提.這類(lèi)題有如下規(guī)律：非負(fù)數(shù)a的平方根是[±a]，算術(shù)平方根是[a]，立方根是[a3].

4.無(wú)理數(shù)的概念.

例4 （2016·宜黃）下列各數(shù)：1.414，[2]，[-13]，0，其中是無(wú)理數(shù)的為（ ）.

A.1.414 B.[2] C.[-13] D.0

【分析】無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，符合這個(gè)要求的就是無(wú)理數(shù)，當(dāng)然需要化簡(jiǎn)或計(jì)算的要看化簡(jiǎn)以后的結(jié)果.

解：因?yàn)?.414和[-13]都是分?jǐn)?shù)，0是有理數(shù)，故只有[2]是無(wú)理數(shù).故選擇B.

【點(diǎn)評(píng)】常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有以下幾種形式：①開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如[2]，[3]，[-3]，[33]；②特定意義的數(shù)，如圓周率π，tan30°；③特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001….特別注意像[22]，[π3]等含開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)或含π的數(shù)不是分?jǐn)?shù)而是無(wú)理數(shù).

5.科學(xué)記數(shù)法.

例5 （2016·達(dá)州）在“十二五”期間，達(dá)州市經(jīng)濟(jì)保持穩(wěn)步增長(zhǎng)，地區(qū)生產(chǎn)總值約由819億元增加到1351億元，年均增長(zhǎng)約10%，將1351億元用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（ ）.

A.1.351×1011 B.13.51×1012

C.1.351×1013 D.0.1351×1012

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n，其中1≤[a]<10，n為整數(shù).先數(shù)出這個(gè)數(shù)共有多少數(shù)位，再根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義確定答案.

解：把1351億寫(xiě)成135100000000，它的整數(shù)位有12位，此時(shí)a=1.351，n=12-1=11.故選A.

【點(diǎn)評(píng)】科學(xué)記數(shù)法的表示方法：a值的確定：1≤a<10；n值的確定：①當(dāng)原數(shù)大于或等于10時(shí)，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；②當(dāng)原數(shù)小于1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)，它的絕對(duì)值等于原數(shù)左起第一位非零數(shù)字前所有零的個(gè)數(shù)（含小數(shù)點(diǎn)前的零）；③有數(shù)字單位的科學(xué)記數(shù)法，先把數(shù)字單位轉(zhuǎn)化為數(shù)字表示，再用科學(xué)記數(shù)法表示.

6.實(shí)數(shù)與數(shù)軸.

例6 （2016·北京）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（ ）.

A.a>-2 B.a<-3

C.a>-b D.a<-b

【分析】觀(guān)察數(shù)軸得到a，b的正負(fù)性及離原點(diǎn)的距離，從而解決問(wèn)題.

解：由數(shù)軸可知，-3

誤；又知1

-2<-b<-1，即-b在-2與-1之間，所以a<

-b.故選D.

【點(diǎn)評(píng)】觀(guān)察數(shù)軸上的數(shù)應(yīng)從兩方面入手：①數(shù)的正負(fù)性，數(shù)在原點(diǎn)左側(cè)則負(fù)，數(shù)在原點(diǎn)右側(cè)則正；②數(shù)離原點(diǎn)的距離大小.另外利用數(shù)軸還可以比較有理數(shù)的大?。簲?shù)軸上右邊的數(shù)總大于左邊的數(shù).由于引進(jìn)了數(shù)軸，我們把數(shù)和點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來(lái)，也就是把“數(shù)”與“形”結(jié)合起來(lái)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

7.整式的有關(guān)概念.

例7 （2016·銅仁）單項(xiàng)式[πr22]的系數(shù)是（ ）.

A.[12] B.π C.2 D.[π2]

【分析】直接利用“單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)”解題.

解：?jiǎn)雾?xiàng)式[πr22]的系數(shù)是：[π2].故選D.

【點(diǎn)評(píng)】單項(xiàng)式的系數(shù)包括它前面的符號(hào)，且只與數(shù)字因數(shù)有關(guān).另外單項(xiàng)式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，通常寫(xiě)成假分?jǐn)?shù).

8.同類(lèi)項(xiàng).

例8 （2016·常德）若-x3ya與xby是同類(lèi)項(xiàng)，則a+b的值為（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.5

【分析】根據(jù)同類(lèi)項(xiàng)的定義，即相同字母的指數(shù)相同，可分別求出a、b的值.

解：由同類(lèi)項(xiàng)的定義，得a=1，b=3，a+b=4.故選C.

【點(diǎn)評(píng)】所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相等的項(xiàng)叫做同類(lèi)項(xiàng)，據(jù)此列出方程（組）即可解決這類(lèi)問(wèn)題.

9.分式的有關(guān)概念.

例9 （2016·北京）如果分式[2x-1]有意義，那么x的取值范圍是 .

【分析】分式有意義，必須使分母不為零，由此可得x的取值范圍.

解：由分式的意義，知x-1≠0，解得x≠1.故答案為x≠1.

【點(diǎn)評(píng)】分式是否有意義，只取決于分式的分母，與分式的分子無(wú)關(guān).

例10 （2016·湘潭）若分式[x-1x+1]的值為0，則x=（ ）.

A.-1 B.1 C.±1 D.0

【分析】根據(jù)分式的值為0的條件“分子為0，分母不等于0”，列出方程和不等式求解.

解：由題意可知：x-1=0，得x=1.由x+1≠0，得x≠-1，所以x=1.故選B.

【點(diǎn)評(píng)】此類(lèi)問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是忽視分式的值為0的前提條件：分式有意義，即分母不等于0.

10.二次根式的有關(guān)概念.

例11 （2016·白銀）下列根式中是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）.

A.[23] B.[3] C.[9] D.[12]

【分析】最簡(jiǎn)二次根式滿(mǎn)足下面的條件：①被開(kāi)方數(shù)不含分母；②被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.根據(jù)這兩個(gè)條件進(jìn)行辨別.

解：A選項(xiàng)：[23]不是最簡(jiǎn)二次根式，因?yàn)楦?hào)中含有分母；B選項(xiàng)：[3]是最簡(jiǎn)二次根式；C選項(xiàng)：[9]不是最簡(jiǎn)二次根式，因?yàn)楦?hào)中含有開(kāi)得盡的因數(shù)；D選項(xiàng)：[12]不是最簡(jiǎn)二次根式，因?yàn)楦?hào)中含有開(kāi)得盡的因數(shù).故選B.

【點(diǎn)評(píng)】判斷最簡(jiǎn)二次根式時(shí)，特別要注意分母中不能含有根號(hào)哦！

11.二次根式有意義的條件.

例12 （2016·西寧）若式子[x+1]有意義，則x的取值范圍是 .

【分析】二次根式有意義，必須滿(mǎn)足被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，然后解不等式即可.

解：∵二次根式[x+1]有意義，∴x+1≥0，∴x≥-1.故答案為x≥-1.

【點(diǎn)評(píng)】解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是由被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)得出不等式，解這個(gè)不等式即可.對(duì)于分式形式的代數(shù)式，同學(xué)們還要注意所取的字母的值不能使分母為零.

二、考查數(shù)與式的運(yùn)算能力

1.冪的運(yùn)算.

例13 （2016·茂名）下列各式計(jì)算正確的是（ ）.

A.a2·a3=a6 B.（a2）3=a5

C.a2+3a2=4a4 D.a4÷a2=a2

【分析】分別從“同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方法則、合并同類(lèi)項(xiàng)的法則、同底數(shù)冪的除法法則”逐個(gè)驗(yàn)證各選項(xiàng)的正確性.

解：a2·a3=a2+3=a5；（a2）3=a2×3=a6；a2+3a2=（1+3）a2=4a2；a4÷a2=a4-2=a2.故選擇D.

【點(diǎn)評(píng)】?jī)绲倪\(yùn)算是整式運(yùn)算的基礎(chǔ)，需要熟練掌握，注意不要混淆相關(guān)知識(shí)，尤其是冪的乘方不要與同底數(shù)冪的乘法混淆，冪的乘方運(yùn)算是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘法運(yùn)算，而同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運(yùn)算.

2.無(wú)理數(shù)的估算.

例14 （2016·畢節(jié)）估計(jì)[6+1]的值在（ ）.

A.2到3之間 B.3到4之間

C.4到5之間 D.5到6之間

【分析】先找到緊挨6的兩個(gè)完全平方數(shù)，再判斷[6]夾在哪兩個(gè)正整數(shù)之間，從而判斷[6+1]夾在哪兩個(gè)正整數(shù)之間.

解：∵4<6<9，∴2<[6]<3，∴3<[6]+1<4.故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)[a]的估算能力，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是確定與a相鄰的兩個(gè)平方數(shù)，即比a大和比a小，且同時(shí)最接近a的平方數(shù)，然后分別求出這些平方數(shù)的算術(shù)平方根，便可知[a]在哪兩個(gè)整數(shù)之間，從而得到[a±b]（b為整數(shù)）的范圍.

3.因式分解.

例15 因式分解：（1）（2016·襄陽(yáng)）2a2-2= ；

（2）（2016·深圳）a2b+2ab2+b3= .

【分析】（1）先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式；（2）先提取公因式b，剩下（a2+2ab+b2）正好滿(mǎn)足完全平方公式.

解：（1）2（a+1）（a-1）；（2）b（a+b）2.

【點(diǎn)評(píng)】因式分解問(wèn)題應(yīng)首先考慮是否能提公因式，找公因式應(yīng)從系數(shù)、字母和字母的指數(shù)三個(gè)方面分別考慮.沒(méi)有公因式或提公因式后，再根據(jù)項(xiàng)數(shù)考慮公式法，兩項(xiàng)則判定是否可用平方差公式，三項(xiàng)則判定是否可用完全平方公式，三項(xiàng)以上則應(yīng)考慮使用分組分解法.

4.非負(fù)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.

例16 （2016·自貢）若[a-1]+b2-4b+4=0，則ab的值等于（ ）.

A.-2 B.0 C.1 D.2

【分析】[a-1]+b2-4b+4=0可變形為[a-1]+（b-2）2=0，根據(jù)非負(fù)數(shù)的和為零可得a、b的值，再根據(jù)有理數(shù)的乘法得到答案.

解：由[a-1]+b2-4b+4=0可得：[a-1]+（b-2）2=0，∴a-1=0，b-2=0，解得a=1，b=2，∴ab=2.故選D.

【點(diǎn)評(píng)】初中階段學(xué)習(xí)了三種非負(fù)數(shù)：①[a]≥0；②a2≥0；③[a]≥0.如果出現(xiàn)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則說(shuō)明這幾個(gè)非負(fù)數(shù)的值都等于0，此時(shí)可得一個(gè)方程組，解方程組即可求得未知數(shù)的值.

5.實(shí)數(shù)的運(yùn)算.

例17 （2016·海南）計(jì)算：6÷（-3）+[4]-8×2-2.

【分析】先計(jì)算有理數(shù)除法、算術(shù)平方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及有理數(shù)乘法，最后再加減.

解：原式=-2+2-8×[14]=-2+2-2=-2.

【點(diǎn)評(píng)】實(shí)數(shù)的計(jì)算題常常將零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、倒數(shù)、絕對(duì)值、算術(shù)平方根、特殊角的三角函數(shù)值、冪的運(yùn)算性質(zhì)等集于一題，綜合考查運(yùn)算能力，解題時(shí)需記住以下規(guī)律：①對(duì)于一個(gè)非零數(shù)a，有a0=1，需要注意a必須是一個(gè)非零數(shù)，否則沒(méi)有意義；②對(duì)于一個(gè)數(shù)的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的求法公式：a-n=[1an]，應(yīng)注意a≠0，n為正整數(shù).

6.整式的運(yùn)算.

例18 （2016·烏魯木齊）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+2）（x-2）+（2x-1）2-4x（x-1），其中x=[23].

【分析】先利用乘法公式和單項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，再合并同類(lèi)項(xiàng)，最后代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算.

解：原式=x2-4+（4x2-4x+1）-（4x2-4x）=x2-4+4x2-4x+1-4x2+4x=x2-3.當(dāng)x=[23]時(shí)，原式=（[23]）2-3=12-3=9.

【點(diǎn)評(píng)】整式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題是中考的必考內(nèi)容，主要涉及整式的乘除、乘法公式和整式的加減，同學(xué)們只要能熟練掌握有關(guān)法則及公式就可以解決此類(lèi)問(wèn)題.

7.分式與二次根式的運(yùn)算.

例19 （2016·恩施）先化簡(jiǎn)，再求值：[a-32a-4]÷[a+2-5a-2]，其中a=[5-3].

【分析】先確定分式的運(yùn)算順序：先算小括號(hào)內(nèi)的，再進(jìn)行除法運(yùn)算，最后代入求值.

解：原式=[a-32a-2]÷[a2-4a-2-5a-2]=[a-32a-2]÷[a2-9a-2]=[a-32a-2]·[a-2a+3a-3]=[12a+3].當(dāng)a=[5-3]時(shí)，原式=[125]=[510].

【點(diǎn)評(píng)】分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的.另外分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)算.

（作者單位：江蘇省海門(mén)市實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）