樣例學(xué)習(xí)及其在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探究
——基于“慕課+翻轉(zhuǎn)課堂”的視角

孫露，方輝平，劉植

（1.黃山學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽黃山245041；2.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥230009）

樣例學(xué)習(xí)及其在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探究
——基于“慕課+翻轉(zhuǎn)課堂”的視角

孫露1，方輝平1，劉植2

（1.黃山學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽黃山245041；2.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥230009）

基于樣例的內(nèi)涵對(duì)高等數(shù)學(xué)課程中樣例的類型以及樣例學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)進(jìn)行了剖析。以此為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)對(duì)樣例學(xué)習(xí)和“慕課+翻轉(zhuǎn)課堂”背景下的高等數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行比較，對(duì)樣例學(xué)習(xí)應(yīng)用的可能性以及應(yīng)用的資源與平臺(tái)進(jìn)行了梳理，并在此基礎(chǔ)上提出了促進(jìn)樣例學(xué)習(xí)有效應(yīng)用的教學(xué)原則與措施。

樣例學(xué)習(xí)；高等數(shù)學(xué)教學(xué)；慕課+翻轉(zhuǎn)課堂；應(yīng)用

1 問(wèn)題的提出

翻轉(zhuǎn)課堂作為一種以學(xué)生為中心的教學(xué)模式，鼓勵(lì)學(xué)生為自己的學(xué)習(xí)負(fù)責(zé)。兩位翻轉(zhuǎn)課堂先驅(qū)者喬納森·伯格曼以及亞倫·薩姆的研究表明，基于此模式下學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解更為深刻。隨著教育信息化的推進(jìn)以及“慕課”風(fēng)暴對(duì)高等教育的影響，研究者們進(jìn)一步將“慕課(MOOC)”與“翻轉(zhuǎn)課堂”理念相聯(lián)系，“形成了以微視頻為載體的‘慕課+翻轉(zhuǎn)課堂’的先學(xué)后教的”全新教學(xué)模式。[1]

高等數(shù)學(xué)作為大學(xué)階段重要的基礎(chǔ)課程之一，由于其抽象程度較高，且在課程教學(xué)中存在著內(nèi)容多而課時(shí)較少以及大班授課等問(wèn)題，常常導(dǎo)致課堂教學(xué)效率不高，具體表現(xiàn)為大多數(shù)學(xué)生在對(duì)知識(shí)的理解與把握上顯得較為薄弱，做題時(shí)往往“依葫蘆畫瓢”，不能很好地將所學(xué)知識(shí)進(jìn)行有效遷移。為了提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)效果和質(zhì)量，幫助學(xué)生獲得對(duì)知識(shí)更為深刻的理解，考慮到大學(xué)生課余時(shí)間較多且已具有較好的自主學(xué)習(xí)意識(shí)，近年來(lái)“慕課+翻轉(zhuǎn)課堂”這一全新教學(xué)模式開始在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行應(yīng)用。這使得有關(guān)對(duì)此模式的設(shè)計(jì)與實(shí)踐探討成了進(jìn)一步值得思考與探究的問(wèn)題。

由于翻轉(zhuǎn)課堂的指向在于“讓學(xué)生自己對(duì)其學(xué)習(xí)負(fù)責(zé)”[2]，且在“先學(xué)”階段需要學(xué)生通過(guò)對(duì)教材及微視頻的學(xué)習(xí)完成相關(guān)進(jìn)階作業(yè)，這都對(duì)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)方式提出了一定的要求。樣例學(xué)習(xí)作為一種依靠閱讀樣例進(jìn)行學(xué)習(xí)的自主性學(xué)習(xí)方式，在內(nèi)涵與形式上與翻轉(zhuǎn)課堂具有較多的相似性，且心理學(xué)研究結(jié)果表明“大多數(shù)學(xué)生傾向于通過(guò)考查樣例來(lái)解決問(wèn)題，而不是求助于規(guī)則”。[3]因而，在基于“慕課+翻轉(zhuǎn)課堂”背景下的高等數(shù)學(xué)教學(xué)中可以有效地將其應(yīng)用其中，促使這一全新教學(xué)模式更好地落實(shí)與開展。

2 樣例學(xué)習(xí)的概述

為了更好地認(rèn)識(shí)樣例學(xué)習(xí)并將其有效地引入高校教學(xué)中去，需要對(duì)其關(guān)鍵詞“樣例”以及樣例學(xué)習(xí)的內(nèi)涵及其功能有較為清晰的認(rèn)識(shí)。

2.1 樣例的內(nèi)涵與類型

教育心理學(xué)中將樣例定義為“是一種能夠例說(shuō)或表征較為抽象的概念原理的相對(duì)具體的實(shí)體，能夠展示同一類事物性質(zhì)的樣本，或值得模仿的榜樣?！盵4]簡(jiǎn)而言之，樣例即是能夠?qū)^為抽象的概念、原理、性質(zhì)、方法以及解決思路等進(jìn)行解釋與說(shuō)明，且具有一定示范作用的例子。具體到數(shù)學(xué)學(xué)科，樣例則是對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)概念、原理、公式的內(nèi)涵與用法以及某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解法、思路等進(jìn)行說(shuō)明和解釋的具體數(shù)學(xué)范例。

基于內(nèi)涵來(lái)看，樣例的外延遠(yuǎn)要大于教材中常見(jiàn)的例題。在數(shù)學(xué)學(xué)科中可以依據(jù)樣例的作用將其分為以下4種類型。

1.內(nèi)涵型

此類型的樣例即是用于對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵進(jìn)行例釋的例子。概念作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在高等數(shù)學(xué)中有著大量的數(shù)學(xué)概念。為了更好地幫助學(xué)生理解較為抽象的數(shù)學(xué)概念，教材中常使用一些樣例對(duì)其進(jìn)行例說(shuō)。例如，在定義“原函數(shù)”之后給出了“例如，因，故是的一個(gè)原函數(shù)”這一具體樣例用于進(jìn)一步地對(duì)其內(nèi)涵進(jìn)行說(shuō)明，幫助學(xué)生能夠通過(guò)閱讀此例子并利用先前所學(xué)的導(dǎo)數(shù)知識(shí)，在認(rèn)識(shí)到函數(shù)與原函數(shù)間關(guān)系的基礎(chǔ)上獲得對(duì)原函數(shù)概念的理解。

2.性質(zhì)型

性質(zhì)型數(shù)學(xué)樣例是用于例說(shuō)某一數(shù)學(xué)知識(shí)性質(zhì)的例子。性質(zhì)作為事物的本質(zhì)，能進(jìn)一步表明事物間的內(nèi)在關(guān)系。由于數(shù)與形及其之間的關(guān)系是數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象，因而在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中需要學(xué)生對(duì)性質(zhì)有較為深刻的理解。與內(nèi)涵型類似，教材中也會(huì)輔以樣例幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)并把握數(shù)學(xué)對(duì)象間的關(guān)系。譬如，在對(duì)定積分的性質(zhì)進(jìn)行討論時(shí)，教材在給出性質(zhì)及其證明的同時(shí)也提供具體的幾何圖形進(jìn)行例說(shuō)，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合定積分的幾何意義獲得對(duì)性質(zhì)的理解。

3.方法型

此種類型的樣例主要是通過(guò)具體例子對(duì)某種數(shù)學(xué)方法如何運(yùn)用進(jìn)行例示。函數(shù)作為高等數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象，需要學(xué)生掌握有關(guān)其極限、導(dǎo)數(shù)、不定積分、定積分等計(jì)算問(wèn)題。因而，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中計(jì)算占有較大的比重。教材在介紹計(jì)算方法時(shí)也常常結(jié)合具體的例子進(jìn)行說(shuō)明。例如，通過(guò)給出“直接利用代換把積分化為更簡(jiǎn)單的積分”對(duì)不定積分的“第二類換元法”做出更為具體的解釋。

4.問(wèn)題解決型

此類型即是通過(guò)具體的樣例問(wèn)題對(duì)問(wèn)題的解決思路、方法與過(guò)程進(jìn)行說(shuō)明。由于樣例問(wèn)題包含了所需解決的問(wèn)題以及具體的解答過(guò)程，可見(jiàn)教材中起到解題示范的“例題”正是此種類型樣例最為常見(jiàn)的一種形式。高等數(shù)學(xué)中此類型的樣例最多，往往在對(duì)性質(zhì)、定理以及計(jì)算方法進(jìn)行討論后都會(huì)給出一系列例題對(duì)其具體應(yīng)用進(jìn)行例說(shuō)，通過(guò)示范供學(xué)生能對(duì)相關(guān)的算法及其過(guò)程進(jìn)行學(xué)習(xí)與模仿。

2.2 樣例學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)與功能

樣例學(xué)習(xí)“顧名思義，就是從樣例中學(xué)習(xí)、通過(guò)樣例來(lái)學(xué)習(xí)的一種學(xué)習(xí)方式?！盵5]在此過(guò)程中學(xué)生通過(guò)對(duì)樣例的閱讀與思考，能夠歸納出其中所蘊(yùn)含的知識(shí)、技能以及解決問(wèn)題的方法等，并對(duì)其進(jìn)行掌握。從這一角度來(lái)看，樣例學(xué)習(xí)其實(shí)質(zhì)是一種建構(gòu)主義學(xué)習(xí)。學(xué)生對(duì)樣例進(jìn)行閱讀、分析、歸納的過(guò)程正是學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程，因?yàn)檫@需要學(xué)生對(duì)樣例進(jìn)行分析，并將其與所對(duì)應(yīng)的抽象概念、性質(zhì)、原理、方法等建立聯(lián)系，通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)樣例中所蘊(yùn)含的知識(shí)與方法，并將其主動(dòng)內(nèi)化，從而獲得對(duì)概念、原理的內(nèi)涵以及有關(guān)方法等較為深刻的認(rèn)識(shí)?？梢?jiàn)，樣例作為樣例學(xué)習(xí)的主要學(xué)習(xí)材料是其有效進(jìn)行的物質(zhì)基礎(chǔ)，而在對(duì)樣例研讀的基礎(chǔ)上主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)則是樣例學(xué)習(xí)的核心所在。

由于樣例也具有樣板的作用，能夠?yàn)閷W(xué)生提供問(wèn)題解決所需的知識(shí)、思路與方法。因而學(xué)生在進(jìn)行練習(xí)活動(dòng)時(shí)，會(huì)以樣例作為示范，將所學(xué)的知識(shí)、解題方法以及規(guī)范進(jìn)行嘗試的應(yīng)用，這不僅能對(duì)知識(shí)技能進(jìn)行鞏固，還能進(jìn)一步學(xué)會(huì)將其進(jìn)行遷移，即通過(guò)將所需解決的新問(wèn)題與樣例進(jìn)行類比，從而尋找到解決的思路與方法?？梢?jiàn)，樣例學(xué)習(xí)能夠促使遷移的產(chǎn)生，同時(shí)也反映出樣例學(xué)習(xí)作為一種以學(xué)生為主體的學(xué)習(xí)，需要學(xué)習(xí)者積極地參與到學(xué)習(xí)過(guò)程之中。因?yàn)橹挥姓嬲龑?duì)樣例中所蘊(yùn)含的知識(shí)、原理、方法有了較為深刻的理解，才能將其進(jìn)行有效遷移。

在樣例學(xué)習(xí)過(guò)程中，由于學(xué)生會(huì)接觸到一系列不同類型的樣例，通過(guò)對(duì)其進(jìn)行分析與學(xué)習(xí)能不斷地歸納出新的知識(shí)與技能，并在內(nèi)化中獲得自身能力的提高。這也表明出樣例學(xué)習(xí)還是一種自適應(yīng)學(xué)習(xí)，即學(xué)生在這樣的自我學(xué)習(xí)中，“系統(tǒng)在不斷重復(fù)的工作中對(duì)自身能力的增強(qiáng)或改進(jìn)，使得系統(tǒng)在下一次執(zhí)行同樣的或類似的任務(wù)時(shí)，比現(xiàn)在做的更好或效率更好?！盵6]可見(jiàn)，學(xué)生在樣例學(xué)習(xí)過(guò)程中不僅能利用樣例獲得蘊(yùn)含其中的知識(shí)，而且還能夠基于已有樣例的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)提高學(xué)習(xí)的效率。

3 全新教學(xué)模式下高等數(shù)學(xué)樣例學(xué)習(xí)的應(yīng)用

樣例學(xué)習(xí)不僅作為一種學(xué)習(xí)方式，也是一種必不可少的教學(xué)形式。在日常教學(xué)中，不論是教材或是教師都常常使用具體的例子對(duì)概念、公式、原理、方法等進(jìn)行闡釋。因而，教師可以基于樣例以及樣例學(xué)習(xí)的優(yōu)勢(shì)將其有效地融入教學(xué)之中。

3.1 樣例學(xué)習(xí)應(yīng)用的可能性

樣例作為樣例學(xué)習(xí)的主要學(xué)習(xí)材料，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中非常常見(jiàn)。例如，教師在對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)進(jìn)行講解時(shí)，常常會(huì)結(jié)合具體的樣例對(duì)其內(nèi)涵進(jìn)行說(shuō)明；在介紹具體的計(jì)算方法時(shí)，也常常結(jié)合不同類型的例題對(duì)解題的思路以及方法的使用等進(jìn)行闡述。對(duì)于學(xué)生而言，樣例學(xué)習(xí)更多地發(fā)生在課后作業(yè)環(huán)節(jié)，他們會(huì)利用樣例的示范性，對(duì)教材中所呈現(xiàn)的例題進(jìn)行閱讀并類推，學(xué)會(huì)如何使用公式以及了解算法的具體過(guò)程與步驟等。然而，通過(guò)對(duì)學(xué)生的調(diào)查情況來(lái)看，樣例學(xué)習(xí)并沒(méi)有真正地發(fā)揮其功效。學(xué)生在解題時(shí)更多地是將樣例作為模仿的對(duì)象，僅是掌握了有關(guān)套用公式或是算法流程等表層知識(shí)，卻并沒(méi)能真正地對(duì)樣例進(jìn)行解讀、認(rèn)識(shí)并掌握其中所蘊(yùn)含的更為深層次的原理、思想方法以及解題思路等。

不同于傳統(tǒng)教學(xué)中學(xué)生們只需“坐著聽(tīng)課”等著教師告知他們所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，基于“慕課+翻轉(zhuǎn)課堂”背景下的高等數(shù)學(xué)課堂則強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心。其“先學(xué)后教”的模式需要學(xué)生在課前對(duì)微視頻學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上能夠掌握基本的知識(shí)和技能，而課堂的主要任務(wù)則是通過(guò)師生間的互動(dòng)，解決學(xué)生學(xué)習(xí)的疑惑，對(duì)有關(guān)知識(shí)進(jìn)行更深層次地挖掘與提高。由此可見(jiàn)，這需要學(xué)生具備一定的自主學(xué)習(xí)能力。樣例學(xué)習(xí)作為一種重要的自主學(xué)習(xí)方式，需要學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)對(duì)樣例這一自主學(xué)習(xí)材料理解。而例題作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，全新教學(xué)模式下的高等數(shù)學(xué)教學(xué)也不例外，在微視頻以及教材中均存在大量的樣例，而且“先學(xué)”階段的關(guān)鍵也在于需要學(xué)生通過(guò)對(duì)微視頻的觀看掌握其中的知識(shí)?；谶@一視角，樣例學(xué)習(xí)與基于“慕課+翻轉(zhuǎn)課堂”的高等數(shù)學(xué)教學(xué)在學(xué)習(xí)的內(nèi)容與方式上均具有較高的吻合度。

3.2 樣例學(xué)習(xí)應(yīng)用的資源與平臺(tái)

為了有效地將樣例學(xué)習(xí)應(yīng)用在教學(xué)中，首先需要對(duì)其應(yīng)用的資源及其平臺(tái)進(jìn)行梳理和挖掘。結(jié)合樣例學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)及其所需的素材，圍繞“先學(xué)”與“后教”兩個(gè)教學(xué)階段尋找到以下4個(gè)方面。

1.微視頻

微視頻作為基于“慕課+翻轉(zhuǎn)課堂”背景下高等數(shù)學(xué)教學(xué)在“先學(xué)”階段的主要載體。由于碎片化是其主要特點(diǎn)，因而微視頻中教師的講授往往僅圍繞一個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行展開，且考慮到時(shí)間所限，視頻中所講授的內(nèi)容更多地是需教師講述才能理解的。因此，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)不論是數(shù)學(xué)概念，還是數(shù)學(xué)公式、性質(zhì)、原理或是方法，教師在講授時(shí)為了幫助學(xué)生能比較直觀地掌握與理解，都會(huì)結(jié)合具體的例子進(jìn)行分析?？梢?jiàn)，微視頻為樣例學(xué)習(xí)提供了一個(gè)很好的平臺(tái)。

2.教材

雖然微視頻是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的主要學(xué)習(xí)材料，但基于微視頻的特點(diǎn)學(xué)生通過(guò)閱讀教材能夠獲得理解的內(nèi)容并未包括其中。這意味著學(xué)生自主學(xué)習(xí)的材料除了微視頻以外還包括教材這一重要的教學(xué)媒介。眾所周知，高等數(shù)學(xué)具有較強(qiáng)的抽象性，這也使得在其教材中包含了大量的內(nèi)涵、性質(zhì)、方法以及問(wèn)題解決型樣例。因而，在樣例學(xué)習(xí)的應(yīng)用過(guò)程中需有效地把握教材這一豐富的樣例資源。

3.進(jìn)階作業(yè)

為了了解學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，“先學(xué)”階段在微視頻學(xué)習(xí)后也為學(xué)生提供了一定數(shù)量的進(jìn)階作業(yè)。為了保證能夠順利地進(jìn)階，需要學(xué)生通過(guò)對(duì)微視頻的觀看以及教材的學(xué)習(xí),掌握相關(guān)的知識(shí)，并在其中所呈現(xiàn)的樣例啟發(fā)下獲得有關(guān)解決作業(yè)中相關(guān)問(wèn)題的思路或方法。可見(jiàn)，進(jìn)階作業(yè)也為學(xué)生進(jìn)行樣例學(xué)習(xí)提供了生成的平臺(tái)。而且練習(xí)與樣例間存在著一定的關(guān)聯(lián)，一旦練習(xí)完成，它同樣既具有了詳細(xì)的解答步驟也蘊(yùn)含了相應(yīng)的知識(shí)與方法，這使得已完成的練習(xí)也成為了學(xué)生可以進(jìn)一步賴以學(xué)習(xí)的樣例。

4.課堂教學(xué)

通過(guò)師生的共同探究對(duì)學(xué)生在“先學(xué)”階段中沒(méi)有弄懂的知識(shí)點(diǎn)以及進(jìn)階作業(yè)中所遇到的問(wèn)題與疑惑進(jìn)行解決是“后教”階段課堂教學(xué)的主要任務(wù)。因而，在此過(guò)程中教師仍需進(jìn)一步對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行剖析，并再次結(jié)合進(jìn)階作業(yè)對(duì)有關(guān)的原理、思路與方法進(jìn)行講授。由前所述，在這一過(guò)程中自然少不了樣例的參與，需要諸如內(nèi)涵型、問(wèn)題解決型等樣例對(duì)概念的內(nèi)涵或是解決問(wèn)題的方法進(jìn)行例說(shuō)，幫助學(xué)生在對(duì)樣例的考查中明晰概念，掌握其中所蘊(yùn)含的思想方法。

3.3 促進(jìn)樣例學(xué)習(xí)應(yīng)用的教學(xué)原則與措施

從以上4種應(yīng)用的資源與平臺(tái)可以看出，樣例學(xué)習(xí)在微視頻以及課堂教學(xué)中的應(yīng)用更多是以教師講授為主，即教師在講授知識(shí)時(shí)有效地將樣例融入其中，啟發(fā)學(xué)生通過(guò)樣例獲得對(duì)知識(shí)的理解與把握，這需要教師根據(jù)所講授的知識(shí)點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)臉永欢鴮?duì)于教材與進(jìn)階作業(yè)，樣例學(xué)習(xí)的應(yīng)用雖然是以學(xué)生自主學(xué)習(xí)為主，但要促使學(xué)生能基于樣例有效的開展學(xué)習(xí)，則需要教師做好樣例的設(shè)計(jì)工作。而且“樣例設(shè)計(jì)是否符合學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)規(guī)律，都將影響學(xué)習(xí)者從樣例中歸納抽象知識(shí)的程度。”[7]因而，為了促使樣例學(xué)習(xí)能有效地融入教學(xué)并發(fā)揮其教育功效，教師需要基于樣例學(xué)習(xí)的資源與平臺(tái)對(duì)樣例學(xué)習(xí)進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)與組織。

3.3.1 合理、系統(tǒng)地選取典型性樣例

相關(guān)研究表明，樣例學(xué)習(xí)“在認(rèn)知技能獲得的早期階段起著重要的作用”。[8]因而，教師需要抓住這一關(guān)鍵時(shí)期，在對(duì)微視頻這一最早向?qū)W生傳遞信息的重要載體進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)注重樣例學(xué)習(xí)的融入。在知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)中融入相關(guān)的樣例，即通過(guò)對(duì)所講授知識(shí)點(diǎn)的分析，依據(jù)其類型選擇合適的樣例。當(dāng)講授一個(gè)數(shù)學(xué)概念時(shí)，則選取可以用于例釋其內(nèi)涵的內(nèi)涵型的樣例，而當(dāng)知識(shí)點(diǎn)涉及某一計(jì)算方法時(shí)，則可以利用方法型或問(wèn)題解決型樣例對(duì)其進(jìn)行解釋與說(shuō)明。

教學(xué)作為一個(gè)系統(tǒng)，各個(gè)教學(xué)要素間相互作用、相互依賴?；跇永龑W(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)亦是如此，微視頻、教材、進(jìn)階作業(yè)以及課堂教學(xué)不僅作為樣例學(xué)習(xí)應(yīng)用的資源與平臺(tái)，同樣也是系統(tǒng)中的教學(xué)要素，需要教師在教學(xué)時(shí)有效地將它們進(jìn)行整合。因而，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)需基于系統(tǒng)的觀點(diǎn)對(duì)樣例進(jìn)行選取。為了幫助學(xué)生有效地將微視頻的觀看與教材的學(xué)習(xí)結(jié)合起來(lái)，教師在微視頻設(shè)計(jì)前需要對(duì)教材有關(guān)知識(shí)點(diǎn)的樣例進(jìn)行整理，并基于典型性及示范性的標(biāo)準(zhǔn)有選擇地將其融入在微視頻教學(xué)之中。這不僅有助于學(xué)生能在微視頻教學(xué)的指導(dǎo)下對(duì)教材中的樣例進(jìn)行理解并把握，也有助于他們通過(guò)對(duì)樣例的研讀獲取相應(yīng)的知識(shí)技能，并能在樣例的示范與啟發(fā)下完成進(jìn)階作業(yè)?？紤]到練習(xí)也作為樣例的一種來(lái)源，因而在對(duì)進(jìn)階練習(xí)進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)也需要考慮其典型性，題目既能夠較為全面地體現(xiàn)出知識(shí)點(diǎn)所涉及的內(nèi)容，還能對(duì)之后的學(xué)習(xí)起到一定的示范作用。課堂教學(xué)的主要內(nèi)容是基于知識(shí)點(diǎn)以及作業(yè)中不易理解的部分，因而，教師在講授時(shí)仍需結(jié)合視頻、教材以及作業(yè)中已采用的一些樣例對(duì)其進(jìn)行解釋。因?yàn)槭煜さ臉永粌H能幫助學(xué)生較快地將其與知識(shí)建立聯(lián)系，還能通過(guò)教師的講解及時(shí)對(duì)其中的疑惑進(jìn)行釋疑，更好地形成對(duì)知識(shí)的理解。

3.3.2 設(shè)計(jì)具有層次性樣例的同時(shí)考慮變異性

由于樣例的數(shù)量與學(xué)生遷移能力的關(guān)系一直是教育心理學(xué)研究者們關(guān)注的主要問(wèn)題，例如“Reed和Bolstad以大學(xué)生為被試研究發(fā)現(xiàn)，要想提高樣例學(xué)習(xí)的遷移成績(jī)至少需要呈現(xiàn)2個(gè)樣例?！盵9]這也使得基于樣例學(xué)習(xí)的課堂教學(xué)也常常需要對(duì)樣例的數(shù)量選取等設(shè)置問(wèn)題進(jìn)行考慮。

由于確保知識(shí)點(diǎn)的掌握是微視頻以及進(jìn)階作業(yè)環(huán)節(jié)的主要任務(wù)。因而，在樣例的設(shè)置時(shí)需要考慮到微視頻教學(xué)時(shí)間的有限性、數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性以及初學(xué)者的接受程度。若在教學(xué)時(shí)僅是提供一個(gè)樣例來(lái)幫助學(xué)生對(duì)概念的內(nèi)涵進(jìn)行明晰或是對(duì)某一數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行歸納必然是不夠的。因而基于實(shí)證研究的結(jié)果“至少需要呈現(xiàn)2個(gè)樣例”，在教學(xué)時(shí)可以設(shè)計(jì)成具有層次的多個(gè)樣例鏈。即通過(guò)一個(gè)基礎(chǔ)性的樣例幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、原理或是方法有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，并在此基礎(chǔ)上提供一個(gè)復(fù)雜程度稍高的樣例，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行分析與歸納。通過(guò)對(duì)多個(gè)有層次的樣例進(jìn)行學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生更好地把握知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)。例如，在對(duì)“牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算問(wèn)題”這一知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師可以首先選取較為簡(jiǎn)單的“作為樣例，幫助學(xué)生初步了解公式是如何運(yùn)用的，之后再向?qū)W生提供諸如的樣例，通過(guò)分析與講解促使學(xué)生認(rèn)識(shí)到在運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)需考慮函數(shù)的特點(diǎn)以及定積分的性質(zhì)等，不僅掌握了當(dāng)前所學(xué)內(nèi)容還能從中形成知識(shí)間的聯(lián)系。同樣在對(duì)進(jìn)階作業(yè)的設(shè)計(jì)時(shí)也是如此，可以圍繞知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)具有層次性的練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生能夠循序漸進(jìn)地掌握知識(shí)，并形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

由于數(shù)學(xué)的抽象性與復(fù)雜性，使得很多數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性常常被一些非本質(zhì)的特征所遮蔽，導(dǎo)致學(xué)生在理解上存在一定的困難。因而，為了更全面地向?qū)W生展示對(duì)象，在具有層次性的多個(gè)樣例中不僅要注意樣例的相似性，也需要考慮其變異性。不同于“先學(xué)”階段強(qiáng)調(diào)知識(shí)的基礎(chǔ)性，“后教”階段的課堂教學(xué)則旨在加深與提高。因此，在此階段不僅需要選取典型性樣例幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固對(duì)知識(shí)點(diǎn)的初步理解，還需選取一定的變式樣例，幫助學(xué)生通過(guò)分析不同形式的樣例，在辨析差異的過(guò)程中“認(rèn)識(shí)到哪些是事物的本質(zhì)特征，哪些是事物的非本質(zhì)特征”，[10]形成對(duì)知識(shí)點(diǎn)多角度的理解，從而更為深刻地把握知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)。例如，在“洛必達(dá)法則”教學(xué)中，由于微視頻教學(xué)的重點(diǎn)在于講授兩種基本類型的未定式計(jì)算方法，因而在課堂教學(xué)時(shí)教師還需在此基礎(chǔ)上給出有關(guān)不能直接套用法則計(jì)算的樣例，如等，幫助學(xué)生對(duì)運(yùn)算法則的適用性有更為清晰的認(rèn)識(shí)，同時(shí)從相關(guān)樣例學(xué)習(xí)中了解其他類型未定式的計(jì)算方法，并進(jìn)一步掌握其中所蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想。

3.3.3 有效地對(duì)樣例進(jìn)行整合與呈現(xiàn)

樣例作為樣例學(xué)習(xí)的主要學(xué)習(xí)材料對(duì)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)起著示范以及指導(dǎo)的作用。然而，由于有限的工作記憶使學(xué)習(xí)者很難同時(shí)加工多種信息，這使得樣例的結(jié)構(gòu)特征成為了學(xué)生樣例學(xué)習(xí)效果的關(guān)鍵所在。因而為了保證樣例學(xué)習(xí)的有效性，避免樣例中所存在的一些無(wú)效信息導(dǎo)致注意力分散效應(yīng)的產(chǎn)生，在樣例設(shè)計(jì)時(shí)需要對(duì)信息進(jìn)行整合，并且對(duì)其中的重點(diǎn)信息進(jìn)行凸顯。

在“慕課+翻轉(zhuǎn)課堂”模式中微視頻作為教學(xué)內(nèi)容的重要載體，也是樣例學(xué)習(xí)的重要平臺(tái)。由于微視頻借助了現(xiàn)代信息技術(shù)，與傳統(tǒng)的教師講授相比，它具有整合圖、文、聲、像等要素的優(yōu)勢(shì)。因此，在對(duì)樣例設(shè)計(jì)時(shí)可以抓住這一特征，并基于學(xué)生的認(rèn)知注意特點(diǎn)，對(duì)樣例中各種信息進(jìn)行整合。由于微視頻中存在大量的視覺(jué)信息，如文本信息以及以圖形、表格形式為主的圖示信息等，基于學(xué)習(xí)者在面對(duì)這兩種信息時(shí)對(duì)后者關(guān)注更多的特點(diǎn)，教學(xué)時(shí)可以有效地將樣例中的文本解釋信息整合到所對(duì)應(yīng)的圖示信息中去。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，教材對(duì)很多知識(shí)點(diǎn)都設(shè)置了體現(xiàn)幾何意義的圖形進(jìn)行補(bǔ)充解釋，諸如導(dǎo)數(shù)、微分、不定積分、中值定理等等，因而在講授這些內(nèi)容時(shí)均可以采用此種方式進(jìn)行整合，通過(guò)圖形樣例呈現(xiàn)促使學(xué)生的注意力集中于文本解釋所指向的幾何意義。同時(shí)微視頻主要是通過(guò)教師的講授向?qū)W生傳遞知識(shí)，因而其中還包含了很多聽(tīng)覺(jué)信息，實(shí)證研究表明將樣例中的視覺(jué)與聽(tīng)覺(jué)信息進(jìn)行整合能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。因此，在樣例呈現(xiàn)時(shí)不妨有效地利用聽(tīng)覺(jué)這一感知通道，對(duì)所呈現(xiàn)的視覺(jué)信息輔以口頭語(yǔ)言進(jìn)行解釋與說(shuō)明，幫助學(xué)生能夠在口頭說(shuō)明的指導(dǎo)下對(duì)文本或圖示等視覺(jué)信息進(jìn)行觀察與思考。

信息冗余理論指出在信息傳輸過(guò)程中一定的冗余度有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，這也使得樣例中需要存在一定量的無(wú)關(guān)信息。但這些信息的存在會(huì)增加學(xué)生樣例學(xué)習(xí)時(shí)認(rèn)知負(fù)荷的增加，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)效率的降低。因此，在教學(xué)時(shí)教師需要強(qiáng)調(diào)樣例的結(jié)構(gòu)特征，凸顯樣例中所要強(qiáng)調(diào)的核心內(nèi)容與信息。這要求教師對(duì)樣例進(jìn)行提前分析，把握樣例所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想與方法等，并在教學(xué)中對(duì)其進(jìn)行說(shuō)明的同時(shí)利用加粗或加著重號(hào)等形式對(duì)樣例中的一些關(guān)鍵信息進(jìn)行書面標(biāo)記與提示。例如，在對(duì)“極限運(yùn)算法則計(jì)算”的教學(xué)時(shí)，為了突出樣例不能直接使用商的極限運(yùn)算法則，教師可以在分析過(guò)程中用紅色對(duì)分母部分進(jìn)行標(biāo)記來(lái)引起學(xué)生對(duì)其的重視，并促使他們?cè)趯?duì)樣例的學(xué)習(xí)中體會(huì)到在對(duì)商形式極限計(jì)算時(shí)首先要對(duì)運(yùn)算法則的適用范圍進(jìn)行考查。

3.3.4 設(shè)計(jì)并組織對(duì)樣例的解釋活動(dòng)

在教學(xué)中樣例不僅具有示范解題步驟的功能，更關(guān)鍵地是在方法步驟的背后所蘊(yùn)含的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)與技能。若學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)僅停留在對(duì)樣例的模仿，而忽視了其中所蘊(yùn)含的思想方法或是解決問(wèn)題時(shí)所需知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系等，那么學(xué)生在后續(xù)的練習(xí)環(huán)節(jié)只能是“依葫蘆畫瓢”，而并不能達(dá)到樣例學(xué)習(xí)所強(qiáng)調(diào)的對(duì)知識(shí)進(jìn)行理解建構(gòu)的效果。因而，為了促使樣例學(xué)習(xí)能從表層的模仿走向理解的深入，需要在基于樣例學(xué)習(xí)的教學(xué)時(shí)加強(qiáng)對(duì)其的解釋。

樣例學(xué)習(xí)作為一種建構(gòu)主義形式的學(xué)習(xí)，需要學(xué)生對(duì)樣例進(jìn)行自主建構(gòu)與內(nèi)化。系列心理實(shí)驗(yàn)表明如果在樣例學(xué)習(xí)中加強(qiáng)學(xué)生自我解釋的訓(xùn)練，將有助于學(xué)生學(xué)習(xí)效果的提高。因而，在樣例教學(xué)中需要設(shè)計(jì)有關(guān)促進(jìn)學(xué)生自我解釋的活動(dòng)。例如，在對(duì)進(jìn)階作業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)可以讓學(xué)生舉例說(shuō)明，促使學(xué)生在對(duì)微視頻和教材中的樣例學(xué)習(xí)后，自己找到相應(yīng)的例子對(duì)概念的內(nèi)涵或關(guān)系進(jìn)行說(shuō)明；也可以在作業(yè)中為學(xué)生提供不完整的樣例，即刪除了問(wèn)題解決型樣例中部分解題步驟，讓學(xué)生對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)充；還可以在課堂教學(xué)中圍繞進(jìn)階作業(yè)設(shè)計(jì)諸如“這個(gè)例子告訴了你哪些信息？”這一開放性問(wèn)題，在互動(dòng)中引發(fā)學(xué)生對(duì)樣例的作用、意義等進(jìn)行思考并做出解釋?？梢钥闯?，要完成對(duì)例子的尋找、步驟的完善以及問(wèn)題的解釋這些任務(wù)，都需要建立在學(xué)生對(duì)已有樣例進(jìn)行深層次的分析，并對(duì)其中的意義內(nèi)涵做出較為積極的自我解釋基礎(chǔ)之上。

同樣，在對(duì)樣例主要由教師進(jìn)行呈現(xiàn)與講解的微視頻教學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)也需強(qiáng)調(diào)這一解釋性原則。教師在利用樣例對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行講授時(shí)不能僅是向?qū)W生提供樣例，或僅是對(duì)方法步驟進(jìn)行呈現(xiàn)，更重要地是要在此基礎(chǔ)之上對(duì)樣例的條件進(jìn)行分析，對(duì)解題思路的來(lái)龍去脈進(jìn)行剖析，對(duì)解題中所需知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、所蘊(yùn)含的原理及其思想方法進(jìn)行解釋，幫助學(xué)生通過(guò)對(duì)樣例的學(xué)習(xí)不僅學(xué)會(huì)對(duì)解題步驟的運(yùn)用，更能從中歸納出解題的規(guī)律與思考的方法，使其能知其然，更能知其所以然。有關(guān)樣例學(xué)習(xí)方式對(duì)大學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響研究表明“教學(xué)條件下的樣例學(xué)習(xí)比自學(xué)條件下的樣例學(xué)習(xí)能更顯著地促進(jìn)學(xué)生對(duì)遠(yuǎn)遷移問(wèn)題的解決?！盵11]因而，在教學(xué)時(shí)需要重視、加強(qiáng)這種教師講授式的樣例學(xué)習(xí)，在學(xué)生自主進(jìn)行樣例學(xué)習(xí)的同時(shí)，利用教師引導(dǎo)者、合作者的身份對(duì)樣例進(jìn)行講解與指導(dǎo)，促使學(xué)生能更好地理解樣例的實(shí)質(zhì)與結(jié)構(gòu)，并形成有效地遷移。

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Learning from the Worked Example and Its application in the Teaching ofHigher Mathematics——From the Perspective of“MOOCs+Flipped Classroom”

Sun Lu1,Fang Huiping1,Liu Zhi2
（1.School of Mathematics and Statistics,Huangshan University,Huangshan 245041,China;2.School of Mathematics,Hefei University of Technology,Hefei230000,China)

Based on the connotation of worked examples,the paper analyzes the type of worked examples in the higher mathematics curriculum and the essence of learning from them.Taking this as the starting point,through a comparison oflearning from worked examples and the teaching of higher mathematics under the background of“MOOCs+flipped classroom”,the paper introduces the possibility of the application of learning from worked examples,sorts out the application resources and platform,and puts forward four teaching principles and measures to promote the effective learning from worked examples.

learning from worked examples;teaching of higher mathematics;MOOCs+flipped classroom;application

G642

A

1672-447X(2017)05-0101-006

2017-04-18

黃山學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目（2016JXYJ03）；安徽省教育廳教學(xué)研究項(xiàng)目（2014jyxm399；2015jyxm035）

孫露（1982-），安徽歙縣人，博士，黃山學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課程與教學(xué)；劉植（1976-），安徽金寨人，博士，合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院副教授，研究方向?yàn)橛?jì)算數(shù)學(xué)。

責(zé)任編輯：胡德明