動點函數(shù)
——中考的“常青藤”

☉江蘇如東縣掘港鎮(zhèn)童店初級中學(xué) 沈衛(wèi)衛(wèi)

動點函數(shù)
——中考的“常青藤”

☉江蘇如東縣掘港鎮(zhèn)童店初級中學(xué) 沈衛(wèi)衛(wèi)

縱觀每一年的中考題，不難發(fā)現(xiàn)有一類動點函數(shù)的選擇題屢屢出現(xiàn)，成為中考場上的亮點.這類題一般處在選擇壓軸題的位置，需要綜合調(diào)度知識來解決.通過梳理發(fā)現(xiàn)承載這類函數(shù)的載體元素一般是線段、周長、三角、面積等，很自然，在考查動點函數(shù)的同時融入了諸多圖形的核心知識，處于壓軸題的位置成為應(yīng)然之態(tài).本文通過2016年的中考題作一類析，供參考.

一、線段函數(shù)

例1（2016·西寧第10題）如圖1，點A的坐標為（0，1），點B是x軸的正半軸上一動點，以AB為邊作等腰直角△AB C，使∠BAC=90°，設(shè)點B的橫坐標為x，點C的縱坐標為y，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖像大致是（）.

圖1

圖2

點評：本題以點的坐標為載體，考查動點問題的函數(shù)圖像.解題的關(guān)鍵是明確題意，把點的坐標與線段關(guān)聯(lián)起來，通過輔助線構(gòu)造三角形形成對接，隱形考查了三角形的全等，進而建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式確定的函數(shù)類型結(jié)合自變量的取值范圍判斷出正確的函數(shù)圖像.

例2（2016·泰安第20題）如圖3，正△ABC的邊長為4，點P為BC邊上任意一點（不與點B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于點D.設(shè)BP=x，BD=y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖像大致是（）.

圖3

圖4

點評：x、y表示的都是線段長，據(jù)此可排除A、D，但仍不能確定答案，還需要構(gòu)建x、y之間的關(guān)聯(lián).由△ABC是正三角形，∠APD=60°，根據(jù)一個常見的相似模型“一線三等角”可證得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可獲得函數(shù)關(guān)系，答案自明.

二、周長函數(shù)

例3（2016·衢州市第10題）如圖5，在△ABC中，AC=BC=25，AB= 30，D是AB上一點（不與A、B重合），DE⊥BC，垂足是點E，設(shè)BD=x，四邊形ACED的周長為y，則下列圖像能大致反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是（）.

圖5

圖6

點評：確定y與x的函數(shù)關(guān)系的關(guān)鍵在于將DE、BE通過x表達出來，而這一關(guān)鍵仍離不開相似性的構(gòu)造，因此本題綜合考查了函數(shù)圖像、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識.另外，自變量的取值范圍也不容忽視

三、三角函數(shù)

例4（2016·煙臺市第12題）如圖7，⊙O的半徑為1，AD、BC是⊙O的兩條互相垂直的直徑，點P從點O出發(fā)（P點與O點不重合），沿O→C→D的路線運動，設(shè)AP=x，sin∠APB=y，那么y與x之間的關(guān)系圖像大致是（）.

圖7

圖8

點評：本題有轉(zhuǎn)折點，結(jié)合選擇支可以估測應(yīng)該是分段函數(shù)，其中轉(zhuǎn)折點是，故根據(jù)題意可分1＜x＜兩種情況處理，確定出三角函數(shù)y與x的關(guān)系式，是解本題的關(guān)鍵，其中第二段結(jié)合了圓的核心知識，形成了代數(shù)、幾何、三角的多重綜合.

四、面積函數(shù)

例5（2016·濟南市第15題）如圖9，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分別是AB、AD、CB上的點，AM=CE= 1，AN=3，點P從點M出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿折線MB-BE向點E運動，同時點Q從點N，以相同的速度沿折線ND-DCCE向點E運動，設(shè)△APQ的面積為S，運動的時間為t秒，則S與t函數(shù)關(guān)系的大致圖像為（）.

圖9

圖10

點評：求解析式和排除法相結(jié)合可減縮求解歷程，作為分段的面積函數(shù)有時候全部確定比較麻煩，此時要注意審時度勢，看看有無突破口.求出第一段的解析式后即可排除A、B兩個選項.而C、D選項的本質(zhì)差別在于最后的落點與第一段的最高點有高低之別，故而再求出這個終端值即可.

例6（2016·荊門市第8題）如圖11，正方形ABCD的邊長為2cm，動點P從點A出發(fā)，在正方形的邊上沿A→B→C的方向運動到點C停止，設(shè)點P的運動路程為x（cm），在下列圖像中，能表示△ADP的面積y（cm2）關(guān)于x（cm）的函數(shù)關(guān)系的圖像是（：）.

圖11

圖12

點評：本題作為選擇題，通過觀察面積走勢即可確定.若從求解析式的角度，本題用到的知識點是三角形的面積、一次函數(shù)及自變量的取值范圍等.

例7（2016·青海省第19題）如圖13，在邊長為2的正方形ABCD中剪去一個邊長為1的小正方形CEFG，動點P從點A出發(fā)，沿A→D→E→F→G→B的路線繞多邊形的邊勻速運動到點B時停止（不含點A和點B），則△ABP的面積S隨著時間t變化的函數(shù)圖像大致是（：）.

圖13

圖14

點評：對于本題，沒有必要具體確立每一段的函數(shù)解析式，只要根據(jù)點P在AD、DE、EF、FG、GB上時的不同狀態(tài)，探測出△ABP的面積S與時間t的變化態(tài)勢即可.

例8（2016·白銀市、臨夏州等）如圖15，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，點P是△ABC邊上一動點，沿B→A→C的路徑移動，過點P作PD⊥BC于點D，設(shè)BD=x，△BDP的面積為y，則下列能大致反映y與x函數(shù)關(guān)系的圖像是（：）.

圖15

圖16

點評：本題單憑走勢難以確定，只有具體求出每一段的解析式才能作出判斷，其關(guān)鍵仍然是轉(zhuǎn)折點的確定.

結(jié)語：四類問題均考查了動點問題的函數(shù)圖像.函數(shù)圖像是典型的數(shù)形結(jié)合，圖像應(yīng)用信息廣泛，備受命題專家的青睞，成為選擇題中考查學(xué)生多種能力的有效載體，綜合度大，立意高遠，可謂中考的“常青藤”.尤其是面積函數(shù)，一般呈分段態(tài)勢，所以解決面積函數(shù)的關(guān)鍵是分類討論思想的使用，要么具體求出函數(shù)關(guān)系式，要么觀其形態(tài)，探其走勢，通過排除法確立.

1.邢成云.備受青睞的運動與圖像［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中），2016（8）.