去括號(hào)的本質(zhì)與教學(xué)思考

☉江蘇第二師范學(xué)院章飛

去括號(hào)的本質(zhì)與教學(xué)思考

☉江蘇第二師范學(xué)院章飛

在國(guó)培等活動(dòng)中與一線教師交流時(shí)，大家對(duì)去括號(hào)及其依據(jù)有些爭(zhēng)議，為此，筆者有了下面的思考，與大家共研.

一、括號(hào)的作用（為什么先算括號(hào)里的？）

括號(hào)，本就是用來(lái)規(guī)定運(yùn)算次序的符號(hào).我們看幾個(gè)算式：3×5-4+6，3×（5-4）+6，3×（5-4+6）.沒(méi)有括號(hào)時(shí)，運(yùn)算順序是自然的“×、-、+”.為了保證先進(jìn)行某些運(yùn)算，數(shù)學(xué)上引進(jìn)了括號(hào)，將括號(hào)內(nèi)看成一個(gè)整體，自然括號(hào)內(nèi)優(yōu)先運(yùn)算了，如后面兩者的運(yùn)算順序變成了“-、×、+”和“-、+、×”.

實(shí)際上，算式左邊有n個(gè)數(shù)，最終結(jié)果是1個(gè)數(shù)，中間過(guò)程中需要進(jìn)行n-1次運(yùn)算，這n-1次運(yùn)算本身應(yīng)該有先后的，為了體現(xiàn)這樣的運(yùn)算順序，需要依次通過(guò)“（）”加以體現(xiàn)，這樣，就應(yīng)該有n-2個(gè)“（）”.例如，上面的“3×5-4+6”，嚴(yán)格地講，應(yīng)該是“［（3×5）-4］+ 6”.顯然，這樣表示容易使人“眼花繚亂”，為了求簡(jiǎn)，應(yīng)盡可能減少“（）”，因此，就得有其他補(bǔ)充規(guī)定：沒(méi)有括號(hào)的先算乘除，再算加減；同一級(jí)的運(yùn)算，按照從左往右的順序進(jìn)行.

二、去括號(hào)的本質(zhì)（為什么要去括號(hào)？）

根據(jù)上面所說(shuō)“括號(hào)的作用”，不難知道，增補(bǔ)括號(hào)的目的是改變運(yùn)算的順序，因此，去除括號(hào)的目的還是改變運(yùn)算的順序.增補(bǔ)或者去除括號(hào)都不能減少運(yùn)算個(gè)數(shù)，只是改變順序.

那么又為什么要通過(guò)去括號(hào)來(lái)改變順序呢？實(shí)際上，這是為了將式子轉(zhuǎn)化成各項(xiàng)的代數(shù)和形式，然后進(jìn)行同類(lèi)項(xiàng)的合并.

我們先看一個(gè)例子：

圖1

按圖1的方式搭n個(gè)這樣的正方形需要幾根火柴？你是怎樣得出來(lái)的？

學(xué)生從不同的角度得出不同的算式：4+3×（x-1），1+ 3×x，2×x+（x+1），4×x-（x-1），顯然這幾者應(yīng)是相同的，如何說(shuō)明它們相同呢？看來(lái)需要化簡(jiǎn)為較簡(jiǎn)單的形式1+3× x，這就需要首先將括號(hào)去掉，轉(zhuǎn)化為只有x和常數(shù)的項(xiàng)，然后合并.也就是說(shuō)，去掉括號(hào)后，可以更好地看出所謂的同類(lèi)項(xiàng)，然后才能合并同類(lèi)項(xiàng).

去掉括號(hào)后，就自然可以合并了嗎？全部轉(zhuǎn)化為一些項(xiàng)的和或差的形式，這時(shí)，從初中數(shù)學(xué)中代數(shù)和的角度加以理解，都是若干項(xiàng)的和，因此，根據(jù)加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律，這些加數(shù)可以隨意組合，這樣就可能簡(jiǎn)便運(yùn)算了.我們看下面的例子：

三、去括號(hào)的法則（怎么去括號(hào)？）

怎么去括號(hào)？自然遵循去括號(hào)的法則：

括號(hào)前是“+”的，把括號(hào)和它前面的“+”去掉后，原括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)都不改變；

括號(hào)前是“-”的，把括號(hào)和它前面的“-”去掉后，原括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)都要改變.

那么，“2（x-1）=2x-2”屬于去括號(hào)嗎？從形式上看，也去掉了括號(hào)，但感覺(jué)和去括號(hào)的法則不一致，另外這里左邊是3個(gè)數(shù)，兩個(gè)運(yùn)算，右邊只有兩個(gè)數(shù)，1個(gè)運(yùn)算，也就是這個(gè)過(guò)程中已經(jīng)完成了一個(gè)運(yùn)算，即已經(jīng)完成了2與（x-1）的乘法，所以，這個(gè)不是我們一般意義上的去括號(hào)，而是乘法運(yùn)算.

我們不妨再看一個(gè)復(fù)雜的.

7p2-1-2（p2-p），因?yàn)橛欣ㄌ?hào)，運(yùn)算順序是：p2-p、2（p2-p）、7p2-1、7p2-1-2（p2-p），四次運(yùn)算.如果直接化成“7p2-1-2p2+2p”的形式，運(yùn)算順序是：7p2-1、7p2-1-2p2，7p2-1-2p2+2p，可見(jiàn)，這樣不僅改變了運(yùn)算順序，而且少了一步.也就是說(shuō)，這里實(shí)際上完成了兩個(gè)任務(wù)，去括號(hào)（改變運(yùn)算順序）的同時(shí)完成了“×2”這一動(dòng)作，因此，這不是一般意義上的去括號(hào).這也是一些潛能生容易發(fā)生錯(cuò)誤的原因.按照去括號(hào)的步驟，應(yīng)該是：

其中，第一個(gè)等號(hào)是進(jìn)行乘法運(yùn)算，依據(jù)是分配律，第二個(gè)等號(hào)才是去括號(hào).

四、去括號(hào)的依據(jù)（為什么可以這樣去括號(hào)？）

根據(jù)上面的分析，下面等號(hào)左邊變?yōu)橛疫叺倪^(guò)程叫去括號(hào).

對(duì)于小學(xué)生而言，其依據(jù)是加減法的運(yùn)算規(guī)律（單調(diào)性）：

兩數(shù)相減，如果被減數(shù)不變，減數(shù)加（或減）一個(gè)數(shù)，差反而減（或加）這個(gè)數(shù).

將減數(shù)（2p2-2p）看成2p2，多減了2p，結(jié)果少了2p，得加上來(lái).

對(duì)于初中生而言，其依據(jù)之一是相反數(shù)的意義：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).

7p2-1-（2p2-2p）=7p2-1+（-2p2+2p），實(shí)際上，這里還有括號(hào)（即先算-2p2+2p）.根據(jù)加法運(yùn)算的結(jié)合律與交換律，可以改變各項(xiàng)的運(yùn)算順序?yàn)?p2-1-2p2+2p（相當(dāng)于［（7p2-1）-2p2］+2p）.即在由7p2-1+（-2p2+2p）變?yōu)?p2-1-2p2+2p的去括號(hào)過(guò)程中，依據(jù)是加法的交換律和結(jié)合律.

所以，去括號(hào)的依據(jù)是加減法的意義和加法的交換律和結(jié)合律.

五、去括號(hào)法則的教學(xué)（去括號(hào)怎么教？）

去括號(hào)法則的教學(xué)中，應(yīng)注意引領(lǐng)學(xué)生依次完成下面幾項(xiàng)工作：通過(guò)情境感受去括號(hào)的必要性，自主探究并歸納總結(jié)去括號(hào)的法則，在運(yùn)用中鞏固去括號(hào)的法則.部分學(xué)生具有將括號(hào)前面的系數(shù)融合到去括號(hào)過(guò)程中的能力基礎(chǔ)，因此，可以在運(yùn)用鞏固去括號(hào)法則的過(guò)程中通過(guò)師生的交流引出這樣的“簡(jiǎn)便”做法，從而使得部分學(xué)生可以靈活運(yùn)用法則.具體地，可以有類(lèi)似下面的教學(xué)設(shè)計(jì).

（一）情境引入.

還記得前面學(xué)習(xí)的一個(gè)案例（參見(jiàn)圖1）嗎？相信大家在探索過(guò)程中一定得到了多種結(jié)果：4+3×（x-1），1+3× x，2×x+（x+1），4×x-（x-1）.同一個(gè)問(wèn)題，竟然有多種不同的表示方式，我們自然需要思考：這些式子既然表示同一個(gè)事物，它們肯定是相等的，那么怎么相互轉(zhuǎn)化呢？這些式子中哪個(gè)式子較為簡(jiǎn)捷？其他式子與這個(gè)式子的差別在哪里？怎么消去這個(gè)差別？從而引出需要去括號(hào)（點(diǎn)明課題）.

（二）探究法則.

1.根據(jù)上面的情境，2x+（x+1）=3x+1，4x-（x-1）=3x+ 1，你能從代數(shù)運(yùn)算的角度說(shuō)明其中的道理嗎？

2.反思交流.

相信大家不難發(fā)現(xiàn)：2x+（x+1）=2x+x+1=3x+1；4x-（x-1）=4x-x+1=3x+1.每個(gè)式子中第一個(gè)等號(hào)將括號(hào)去掉了，這就是去括號(hào).請(qǐng)借助上面的經(jīng)驗(yàn)去掉下面各式中的括號(hào)，并借助具體數(shù)據(jù)驗(yàn)證你的結(jié)論（提供4個(gè)括號(hào)前面僅有正負(fù)號(hào)的式子，略）.

3.歸納法則.

根據(jù)上面的經(jīng)驗(yàn)，不難歸納出去括號(hào)的法則：

括號(hào)前是“+”的，把括號(hào)和它前面的“+”去掉后，原括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)都不改變；

括號(hào)前是“-”的，把括號(hào)和它前面的“-”去掉后，原括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)都要改變.

（三）運(yùn)用法則（去括號(hào)，括號(hào)前面僅有“+”“-”，略）.

（四）變式發(fā)展.

1.情境再現(xiàn).

（1）如何說(shuō)明4+3（x-1）=3x+1呢？

（2）一般地，括號(hào)前面還有不是1的系數(shù)，怎么將括號(hào)前面的系數(shù)去掉呢？

引導(dǎo)學(xué)生先將括號(hào)前面的系數(shù)乘進(jìn)括號(hào)里再去括號(hào).

2.運(yùn)用鞏固（提供幾個(gè)括號(hào)前面有系數(shù)的式子，進(jìn)行去括號(hào)的強(qiáng)化訓(xùn)練，略）.

3.反思交流.

在巡視中發(fā)現(xiàn)有學(xué)生是這樣去括號(hào)的：4+3（x-1）= 4+3x-3=3x+1，你能說(shuō)說(shuō)這樣做的道理嗎？在討論的基礎(chǔ)上明晰：這樣做，實(shí)際上是將其中一步4+（3x-3）省去了，簡(jiǎn)潔了一些，但跳步可能增加出錯(cuò)的風(fēng)險(xiǎn)喲.將來(lái)，如果確信自己不會(huì)出錯(cuò)的情況下，可以省去這一步，如果沒(méi)有把握，當(dāng)然還是老實(shí)點(diǎn)兒不要跳步了.

這樣設(shè)計(jì)，既保證了算理清晰，沒(méi)有爭(zhēng)議，又給了學(xué)生選擇的空間，可以按照自己的學(xué)力水平靈活選擇適切的方式.多數(shù)學(xué)生能夠按照算理步步為營(yíng)，正確地得到結(jié)果，潛能生也能跟得上，又允許了學(xué)優(yōu)生直接跳步.

1.章飛，凌曉牧.初中數(shù)學(xué)研究與教學(xué)指引［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.