通過創(chuàng)設(shè)情境與問題跟進、改進課堂

☉江蘇省無錫市濱湖區(qū)教研中心 王華民

通過創(chuàng)設(shè)情境與問題跟進、改進課堂

☉江蘇省無錫市立人高級中學(xué) 阮必勝

☉江蘇省無錫市濱湖區(qū)教研中心 王華民

顧泠沅先生在世界課堂研究學(xué)會（2007，香港）作了“課堂改進是關(guān)鍵”的主題演講，指出“基于課堂教學(xué)改進的教師在職學(xué)習(xí)，正是中國教師專業(yè)化發(fā)展的一個重要方面”.筆者覺得，對于進入后課改時代的今天，改革的重心不在教學(xué)理念，而在“課堂改進”.改進是改變舊有情況，舍棄一些不合理的元素，吸收一些被實踐證明有效的經(jīng)驗，使其有所進步.在數(shù)學(xué)新授課教學(xué)中，其一，創(chuàng)設(shè)情境是課堂導(dǎo)入的基本而重要的環(huán)節(jié)，這一點數(shù)學(xué)教育工作者已達成共識；其二，情境創(chuàng)設(shè)后，提出怎樣的問題？如何進行探索？更需要我們深入研討.以下通過一個概念教學(xué)的案例，談?wù)勎覀儗?chuàng)設(shè)情境及問題跟進的一些認識.

一、教學(xué)案例：必修1“函數(shù)單調(diào)性”

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，其中增、減函數(shù)的概念是用形式化定義的，較為抽象，構(gòu)成學(xué)生理解的一個難點.

［課本情境再現(xiàn)］

第2.1.1節(jié)開頭的第三個問題中，氣溫θ關(guān)于時間t的函數(shù)，記為θ=f（t）.觀察這個氣溫變化圖（如圖1），說出氣溫在哪段時間內(nèi)是逐漸升高的或下降的.

圖1

問題：怎樣用數(shù)學(xué)語言刻畫上述時段內(nèi)“隨著時間的增加氣溫逐漸升高”這一特征？

一般的，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為A，區(qū)間I?A.如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x1和x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)，I稱為y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間……

［說明］從氣溫圖情境中提出問題后，就直接到單調(diào)增（減）函數(shù)的定義，其增（減）函數(shù)概念的形成過程，需教師去填充，通過教師對課標、教材和學(xué)生的理解，進行二次備課.以下提供了教師設(shè)計的幾種方案.

［方案1］圖1（見上）為無錫市2015年12月的某一天24小時內(nèi)的氣溫變化圖.觀察該圖，請回答下列問題：

問題1：氣溫在哪些時段是逐步升高或下降的？

問題2：為什么說氣溫在［4，14］是上升的？

生：氣溫隨著時間的增大而增大.（直觀定義）

教師說明：對于氣溫函數(shù)f（t），在［4，14］內(nèi)的任意兩個值t1和t2，當t1＜t2時，都有f（t1）＜f（t2），則函數(shù)f（t）在［4，14］上是增函數(shù)，［4，14］為f（t）的增區(qū)間.

教師給出增函數(shù)、減函數(shù)及單調(diào)區(qū)間的定義（見上）.

［方案2］問題1、2（見方案1）.

問題3：因氣溫θ與時間t的函數(shù)關(guān)系為θ=f（t），當t∈［4，14］時，氣溫θ隨時間t的增大而增大，你能說出具體的對應(yīng)關(guān)系嗎？

（譬如時間t從4到5，4＜5，氣溫θ隨時間增大而增大，則f（4）＜f（5）；讓學(xué)生多舉一些例子）

問題4：在t∈［4，14］時，氣溫θ隨時間增大而增大的例子有多少？你能寫出所有的例子嗎？

（例子有無數(shù)個，不能寫出來；產(chǎn)生認知沖突，有少數(shù)學(xué)生能想到“用字母表示數(shù)”，師生一同總結(jié)出：對于任意的t1，t2∈［4，14］，當t1＜t2時，都有f（t1）＜f（t2））

問題5：反過來，對于任意的t1，t2∈［4，14］，當t1＜t2時，都有f（t1）＜f（t2），能否說明f（t）在t∈［4，14］上是增函數(shù)？

（讓學(xué)生體會：不論怎樣取t1，t2∈［4，14］，當t1＜t2時，前面的函數(shù)值總小于后面的函數(shù)值，來感知圖像總是上升的）

［方案3］第一步，給出具體函數(shù)，增加感性體驗（1）.

問題1：畫出下列函數(shù)的簡圖，并說明函數(shù)值y隨x的增大而怎樣變化？

（1）y=x2；（2）y=（x＞0）.

學(xué)生練習(xí)后，教師從“形”的直觀性對增函數(shù)和減函數(shù)作了定性描述.

第二步，教師提問，引導(dǎo)學(xué)生思考.

問題2：如何從“數(shù)”的角度，對“函數(shù)值y隨著x的增大而增大（或減?。┑奶卣鳌苯o以具體地定量刻畫呢？（大部分學(xué)生感到說不清、道不明，教師再明確如下）

問題3：函數(shù)（1）在［0，+∞）是增函數(shù)，你能舉一些具體數(shù)據(jù)說明一下嗎？

生：當x=0時，y=0，當x=1時，y=1，當x=3時，y=9……

問題4：這樣的數(shù)據(jù)能列舉完嗎？想一想，用什么辦法能解決好這個問題？（同方案2問題4）

第三步，小組討論、尋求突破.

請學(xué)生先思考，再前后四人討論1～2分鐘，教師巡視發(fā)現(xiàn)，有少數(shù)同學(xué)想到了“用字母表示這些數(shù)”，“構(gòu)建一個函數(shù)y=f（x）”，設(shè)兩個自變量a，b，當a＜b時，f（a）＜f（b）.

教師給予充分肯定，再引導(dǎo)學(xué)生，把自變量a，b改為x1，x2，逐步得出：對任意的兩個自變量x1，x2∈［0，+∞），當x1＜x2時，有f（x1）＜f（x2）.

第四步，嘗試定義、形成概念.

由2～3人回答單調(diào)增（減）函數(shù)的定義，與書中定義對比.（略）

二、教學(xué)評析

方案1比課本情境多了一個“教師說明”，引進了兩個自變量t1，t2和對應(yīng)的函數(shù)值，3分鐘就得出增（減）函數(shù)和單調(diào)區(qū)間的定義，看似高效.但從教學(xué)效益看，有三個問題值得我們思考.其一，缺乏對重點知識形成過程的揭示.有的“知識”只需了解即可，而對于“函數(shù)增（減）性”的概念，課標要求“理解”.美國有句名言：“你聽到了，你忘記了；你看到了，你記住了；你經(jīng)歷了，你學(xué)會了.”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學(xué)活動過程的結(jié)果.這個過程不會一蹴而就，需要在“做”的過程和“思”的過程中不斷探索、逐步積累，也就是必須要展示知識的形成過程，進行“意義建構(gòu)”.這樣學(xué)生才能真正理解數(shù)學(xué)知識，便于今后有效遷移.其二是學(xué)生的知識基礎(chǔ)，在本案例中，學(xué)生在初中已經(jīng)通過圖像的直觀性，感知到“函數(shù)值隨自變量的增大而增大”，學(xué)生所不明白的是：增（減）函數(shù)的直觀定義已經(jīng)學(xué)了，為什么還要形式定義增（減）函數(shù)呢？在疑惑不解時，就直接定義，其結(jié)果不僅脫離了學(xué)生的需要，還讓他們感覺到數(shù)學(xué)仿佛是天外來客，其效果自然不理想.

方案2通過對函數(shù)增減性的形式化定義這一難點實施局部探究，充分暴露知識形成的過程.設(shè)置問題3，是因情境中已經(jīng)提出了氣溫θ與時間t的函數(shù)關(guān)系θ=f（t），再明確該函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，實際上是通過舉例使之具體化.設(shè)置問題4，讓學(xué)生多舉例不僅是為讓學(xué)生增多感性體驗，更重要的是讓學(xué)生產(chǎn)生認知沖突，迫使學(xué)生想辦法——“用字母表示數(shù)”.設(shè)置問題5，是由定義的內(nèi)涵去尋找所涉及的外延中的具體對象，從另一個角度揭示增減函數(shù)的完備性，反映了增減函數(shù)的定義既是增（減）函數(shù)的判定，又是增（減）函數(shù)的性質(zhì)，這樣的問題設(shè)計和學(xué)生活動才有效益，學(xué)生不僅理解了知識的來龍去脈，而且用數(shù)學(xué)自身的魅力來吸引學(xué)生參與，做到為理解數(shù)學(xué)而教，為知識的遷移而教，同時培養(yǎng)了學(xué)生邏輯思維能力，效果很明顯.

方案3與方案2類似，也是對概念的形式化定義實施的局部探究（1），是通過設(shè)置由遠及近的三個問題.問題1，給出兩個已知的具體函數(shù)，既為函數(shù)的單調(diào)性起了鋪墊作用，更是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)直觀情景.問題2是從“定性”到“定量”的一個轉(zhuǎn)換，它給少數(shù)尖子生一個思維的空間，但大部分學(xué)生仍缺乏思路問題3是以學(xué)生的直觀經(jīng)驗為出發(fā)點，從最簡單的舉例開始，多舉例是為了讓學(xué)生增多感性體驗，通過親身嘗試、同伴的交流，理解、明晰了概念的產(chǎn)生過程.它與方案2的不同點，其一，沒有用課本上的氣溫圖，而是讓學(xué)生畫兩個基本函數(shù)圖像，設(shè)置了動手操作情境，也很直觀.其二，缺少一個反過來的說明，如能增加方案2的問題5，方案3也不失為一個合理的方案.

文中涉及教材的使用，我們以為，一方面要尊重教材，關(guān)注學(xué)生，合理整合教材資源，是“用教材教”；另一方面，不唯教材，發(fā)揮教師的智慧，尋求更合理的情境及問題，惠及學(xué)生.

三、教學(xué)感悟

透過上述案例，對創(chuàng)設(shè)問題情境方面有了進一步的認識，對于教材中的一些重、難點內(nèi)容，往往需要創(chuàng)設(shè)問題情境.問題情境分兩層含義：首先是有“問題”，即數(shù)學(xué)問題.數(shù)學(xué)問題是指學(xué)生個體與已有認知產(chǎn)生矛盾沖突，還不能理解或者不能正確解答的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).問題的障礙性不能影響學(xué)生接受和產(chǎn)生興趣，學(xué)生通過探索能獲得解決；其次才是“情境”，即數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生或應(yīng)用的具體環(huán)境.這種環(huán)境可以是真實的生活環(huán)境、虛擬的想象環(huán)境和數(shù)學(xué)的體系環(huán)境.問題之中有情境，情境之中有問題，但核心是問題.問題情境設(shè)計的優(yōu)劣，將直接關(guān)系到課堂教學(xué)的質(zhì)量、學(xué)生的興趣和可持續(xù)性發(fā)展；借助于這些情境及問題，師生進行思想交流和碰撞，從而完成教學(xué)任務(wù).因此，一方面要重視創(chuàng)設(shè)情境，另一方面，情境創(chuàng)設(shè)后，要注意問題跟進.

1.創(chuàng)設(shè)情境的主要途徑

梳理一下，創(chuàng)設(shè)情境主要有以下途徑：

（1）聯(lián)系生活實際創(chuàng)設(shè)，學(xué)生可以利用自己的生活經(jīng)驗，進行自主探索，如案例中學(xué)生每天會感受到的天氣溫度，從中提出一些問題，學(xué)生很容易接受.

（2）根據(jù)學(xué)生年齡特點創(chuàng)設(shè)，學(xué)生喜好網(wǎng)絡(luò)、容易追星，可以利用一些網(wǎng)絡(luò)熱詞、熱點新聞、生動的故事、有趣的游戲，如從釣魚島、奧運會、閱兵式等創(chuàng)設(shè)情境，有益于學(xué)生激發(fā)興趣，全神貫注.

（3）根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)容特點創(chuàng)設(shè)，有的內(nèi)容難在抽象，可以創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生動手操作的情景，如案例中讓學(xué)生畫兩張基本函數(shù)的圖像，學(xué)生在親歷操作中感受、探索新知.

（4）根據(jù)數(shù)學(xué)邏輯體系的需要創(chuàng)設(shè)，數(shù)學(xué)知識具有內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，如二項式定理的情境：由多項式法則可以知道：（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4的三個展開式，提出問題：你能寫出（a+b）n的展開式嗎？這樣的問題情境，目標明確、清晰，有針對性，費時少，適合高年級的學(xué)生.

2.問題跟進的幾個要點

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實質(zhì)就是解決數(shù)學(xué)問題.教材中有的內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)情境后中間沒有過程或者問題的開放度比較高，這樣，給教師的二次備課余地比較大，給教師創(chuàng)造性發(fā)揮的機會多，譬如案例中從氣溫圖情境中提出問題后，就直接到單調(diào)性的定義，中間不提供過程，就是給教師的再創(chuàng)造提供了舞臺.因此，在創(chuàng)設(shè)“情境”后，問題跟進（提出問題和數(shù)學(xué)探索）非常重要，關(guān)鍵是問題的設(shè)計，總的要符合“通過自主學(xué)習(xí)和探究活動，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程”的理念.具體而言，應(yīng)把握以下幾點：

（1）目標性，問題設(shè)計要圍繞教學(xué)目標和主題進行，如案例中的增（減）函數(shù)的形式化定義，就是從一天的氣溫變化中提出與增減性定義相關(guān)的問題，要防止一些過于花哨、偏離主題的問題情境.

（2）可及性，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計，最好要緊扣學(xué)生的已有經(jīng)驗，聯(lián)系生活、學(xué)習(xí)的實際，這樣有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

（3）思考性，能引發(fā)學(xué)生的思考，能產(chǎn)生認知沖突，最好要有一定的挑戰(zhàn)性，有益于促進學(xué)生理解數(shù)學(xué).譬如方案2中的問題2、4、5，方案3中的問題2、4.

（4）簡明性，從情境中提出的問題要自然、簡明，不要繞圈子，不宜過長.

對一些重、難點知識，對設(shè)計后的問題要進行探索，以暴露知識的形成過程，讓學(xué)生意義建構(gòu)新知，獲得一些感受與體驗.突破難點的過程往往有一個關(guān)鍵點，如突破函數(shù)增減性定義的關(guān)鍵是具體化的例子.

讓我們創(chuàng)設(shè)合理的情境，設(shè)計精彩的問題，帶領(lǐng)學(xué)生步入引人入勝的境地，引起認知上的沖突、語言的交流、情感上的共鳴，激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，催生火熱的學(xué)習(xí)思考，親歷數(shù)學(xué)探究，獲得成功的體驗，從而改進、優(yōu)化課堂教學(xué).

1.王華民.讓局部探究成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的常態(tài).《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》（上旬），2008.8.