高階邊界元方法求解規(guī)則波在三維局部滲透海床上的傳播

章旭，勾瑩*，倪云林，2，滕斌，劉珍

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高階邊界元方法求解規(guī)則波在三維局部滲透海床上的傳播

章旭1，勾瑩1*，倪云林1，2，滕斌1，劉珍3

(1.大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116024；2.浙江海洋學(xué)院 海運與港航建筑工程學(xué)院，浙江 舟山316022；3.江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江212003)

摘要：基于線性勢流理論，利用高階邊界元法研究了規(guī)則波在三維局部滲透海床上的傳播。根據(jù)Darcy滲透定律推導(dǎo)出滲透海床的控制方程，利用滲透海床頂部和海底處法向速度和壓強連續(xù)條件得到滲透海床頂部滿足的邊界條件。根據(jù)繞射理論，利用滿足自由水面條件的格林函數(shù)建立了求解滲透海床繞射勢的邊界積分方程，采用高階邊界元方法求解邊界積分方程進而得到自由水面的繞射勢和波浪在局部滲透海床上傳播過程中幅值的變化情況。通過與已發(fā)表的波浪對圓柱形暗礁的時域全繞射結(jié)果對比，證明了本文建立的頻域方法計算波幅的正確性和有效性。利用這一模型研究了三維矩形滲透海床區(qū)域上波浪的傳播特性，并分析了入射波波長、海床滲透特性系數(shù)等參數(shù)對波浪傳播的影響。

關(guān)鍵詞：滲透海床；高階邊界元法；頻域；波浪傳播

1引言

在以往對波浪運動的研究中，都將海底考慮為不可滲透邊界。而在實際海洋環(huán)境中，海床是由不同介質(zhì)構(gòu)成的，波浪在傳播過程中存在著衰減。例如我國南海海域的島礁多為珊瑚礁，具有很大的孔隙率，不可滲透海底條件這一假設(shè)可能不再適用。

對于實際海床滲透邊界的處理，可以根據(jù)海床介質(zhì)特性采用相應(yīng)的方法。吳永勝等[1]在淤泥床面上引入了波浪邊界層，分析了波浪紊動的變化特性，建立了波浪-淤泥相互作用的數(shù)學(xué)模型。Lin和Jeng[2]介紹了將動態(tài)多孔彈性海床模型分別考慮為單相介質(zhì)模型、兩相介質(zhì)模型和考慮內(nèi)部摩擦的模型時波浪衰減的力學(xué)機制，提出了礫石和細沙海床上動態(tài)多孔彈性模型的適用范圍。相比淤泥質(zhì)和沙質(zhì)海床，珊瑚礁孔隙率較大且不可壓縮，不會受到波浪影響而產(chǎn)生變形。Putnam[3]、Reid和Kajiura[4]所提出的模型比較適合珊瑚礁的特性，他們假設(shè)滲透海床厚度無限且滿足Darcy滲透定律，并根據(jù)Darcy滲透定律推導(dǎo)出滲透邊界條件，采用勢流理論，分析了二維滲透海床上波浪的傳播特性。針對三維情況下滲透海床上波浪傳播的問題，Silva等[5]曾基于緩坡方程，研究了波浪在水深變化的滲透海床上的傳播問題。但應(yīng)用緩坡方程時對海底坡度有一定的適用要求，在海底地形變化劇烈、坡度較陡時，計算誤差較大。Booij[6]認為在應(yīng)用緩坡方程時，海底坡度應(yīng)小于1∶3。并且由于緩坡方程假設(shè)速度勢沿水深成雙曲余弦函數(shù)型變化，無法考慮波浪與浮式結(jié)構(gòu)物的作用。Cruz和Chen[7]給出水深積分平均速度表達的Boussinesq水波方程，該方程包含了滲透介質(zhì)的動量方程。Boussinesq方程適用于非線性波浪，具有較好的色散性，能比較容易地模擬波浪場和波浪傳播變形問題。但這種方法只適用于淺水情況，而且和緩坡方程一樣無法考慮波浪與浮式結(jié)構(gòu)的作用。另外Navier-Stokes方程[8]建立的模型則可較精確地模擬波浪傳播變形，但該模型由于采用有限元方法求解，計算量和存儲量的要求都較大，很難求解大區(qū)域波浪問題，而且即使在計算小區(qū)域的波浪傳播中，數(shù)值計算效率較低[9]。而以三維Laplace方程為控制方程、將海底地形為計算邊界的全繞射方法，對海底地形的坡度和水深沒有任何限制，因此在地形坡度變化比較劇烈且水深較大時全繞射方法較為精確[10]。當采用高階邊界元方法[11—12]分析波浪在滲透海床傳播的問題時，只需在計算流域邊界上劃分單元進行離散，將待求解問題的維數(shù)降低一維，減少了未知量的個數(shù)，提高了計算效率。如果采用滿足波浪條件的格林函數(shù)[13]，還可以消除邊界積分方程中除滲透海床以外的積分項，只需在海床表面劃分單元進行離散。這種方法尤為適合處理波浪在三維任意形狀局部滲透海床上的傳播問題。

本文針對珊瑚島礁海底可滲透的特性，利用高階邊界元方法建立了求解波浪經(jīng)過三維局部滲透海床時的數(shù)學(xué)模型。文中第二部分根據(jù)Darcy滲透定律推導(dǎo)出滲透海床的海底匹配條件，根據(jù)頻域繞射理論，利用滿足波浪條件的格林函數(shù)建立了以滲透海床繞射勢為未知量的高階邊界元積分方程，通過求解這一積分方程得到波浪經(jīng)過滲透海床后的變化特性。第三部分通過與時域方法計算的波浪經(jīng)過圓柱形暗礁的波幅結(jié)果對比，驗證了本文模型計算波面高度的正確性。并利用這一模型研究了大范圍矩形滲透海床區(qū)域上波浪的傳播特性，得出了入射波波長、海床滲透特性系數(shù)等參數(shù)對波浪傳播的影響規(guī)律。第四部分根據(jù)本文的計算結(jié)果對波浪在珊瑚礁海床上的傳播特性進行了總結(jié)。

2頻域數(shù)值模型

2.1滲透海床控制方程

假定厚度無限的海床完全飽和，不考慮構(gòu)成海床介質(zhì)的變形和孔隙水的壓縮性，海床為剛性的多孔介質(zhì)，孔隙水滿足質(zhì)量守恒方程[14—15]：

(1)

式中，us是通過控制面的平均滲流速度。Darcy滲透定律給出了滲流速度us與孔隙流體壓力ps梯度之間的關(guān)系：

(2)

式中，K是表征海床土體滲透特性的參數(shù)，單位：m2，μ是流體動力學(xué)黏性系數(shù)，單位：Pa·s。將式(2)代入式(1)得滲流壓強ps滿足Laplace方程：

(3)

在滲透海床頂部與上部流體的交界面處，應(yīng)該滿足流體垂向速度和壓強連續(xù)。因此有：

(4)

(5)

式中，p=iωρφ是上部流體的壓強，h為水深。設(shè)海床中的壓強表達式為ps=ρgcek(z+h)eikx，代入上述連續(xù)條件可得海床頂部與上部流體交界面處的邊界條件為：

(6)

式中，T=K/ν，單位：s，ν=μ/ρ為流體運動黏性系數(shù)，單位：m2/s。當T=0時上式右端為0，式(6)即變?yōu)椴豢蓾B透海底的邊界條件。對于珊瑚礁海床，T的取值范圍一般為T=2.0×10-4～9.2×10-4s[16]。

2.2邊界元積分方程

假定在無限大不可滲透海床上存在一任意形狀的局部滲透海床區(qū)域，如圖1所示。坐標系OXYZ為固定坐標系，坐標系原點位于靜水面上。其中Sp為滲透海床，Sf和Sd分別為自由水面和不可滲透的水底面。

圖1　坐標系定義Fig.1　Definition of coordinate systems

根據(jù)繞射理論，流場中速度勢可以表達為如下形式：

(7)

式中，φi為入射勢，φd為繞射勢。當波浪的入射角與X軸的夾角為β時，流場中的入射勢φi可以寫為：

(8)

式中，A0為入射波的波幅，g為重力加速度，k為波數(shù)，且波浪頻率與波數(shù)之間的關(guān)系滿足色散方程ω2=gktanhkh。

將式(7)代入式(6)中，可得滲透海床Sp邊界條件為：

(9)

(10)

將繞射勢φd和滿足波浪條件的格林函數(shù)應(yīng)用第二格林定理，并帶入海底邊界條件(10)可得積分方程：

(11)

式中，α為固角系數(shù)，其取值分別為：

(12)

式中，θ為海床表面所占的空間角度，Ω為流域，S為流域邊界。

將源點x0取在滲透海床上建立方程組，即可求解出滲透海床上的繞射勢。再將源點x0取在自由水面上，利用式(11)積分，即可計算出自由水面上的繞射勢。根據(jù)式(13)和(14)可求得自由水面上的波面η和波幅A：

(13)

(14)

3數(shù)值驗證及波浪傳播特性分析

為了驗證本文所建立的求解波面變化這一頻域數(shù)值模型的正確性，以波浪經(jīng)過圓柱形暗礁時的波面為例，與時域方法[17]進行了對比。對比計算中海底為不可滲透海底，即滲透系數(shù)T=0。為了研究滲透性對波浪傳播的影響，利用這一模型計算了T分別取0、1×10-4、1×10-3時，大范圍矩形水平滲透海床上波浪的傳播特性。

3.1數(shù)值驗證

為了便于對比，采用與文獻[17]中相同的算例，圓柱形暗礁半徑為b=60 m，如圖2所示。其中圓柱軸線與自由水面的交點為原點O，以入射波浪傳播方向為X軸正向，Z軸垂直向上，建立三維直角坐標系。暗礁頂部距離靜水面的高度為ha=3.2 m，水平海底處水深hb=4.8 m。

圖2　圓柱形暗礁示意圖Fig.2　Sketch of a circular hump

入射波浪為規(guī)則波浪，波長分別為暗礁地形底半徑b的0.5、1.0、1.5和2.0倍，即30 m、60 m、90 m和120 m。由于圓柱暗礁表面不可滲透，因此暗礁表面Sp上的邊界條件由公式(10)可寫為：

(15)

同理，邊界元積分式(11)變?yōu)椋?/p>

(16)

圖3為波長分別為30 m、60 m、90 m和120 m時圓柱附近的波面分布。圖中XY軸表示波面計算區(qū)域，虛線表示圓柱暗礁，其中圓柱半徑為60 m，頂面圓心在原點(0，0)處，無因次化波幅A/A0用等值線表示，其中A0為入射波波幅。圖3a、3c、3e、3g為本文頻域方法計算結(jié)果，圖3b、3d、3f、3h為時域方法計算結(jié)果。時域數(shù)值模型中計算域為圓域，采用阻尼層消波，因此在計算域邊界波浪被阻尼層衰減。表1為自由水面計算域內(nèi)波浪幅值的最大值，波長L=30 m較其他工況相差較大主要是因為時域模型最大值出現(xiàn)在阻尼層附近，易受到反射影響，即波長L=30 m的時域結(jié)果中最大波浪幅值是偏大的。對比其他工況下波浪幅值的最大值和其他不受阻尼層影響的區(qū)域，兩種方法吻合較好，驗證了所建立頻域數(shù)值模型的正確性。從圖3中可以明顯看出波浪經(jīng)過海底圓柱形暗礁后波幅的變化趨勢，在圓柱后方y(tǒng)=0附近區(qū)域，波幅有明顯增長，并且入射波浪波長越短，該區(qū)域波幅升高的越顯著。

基于聚合物敏感膜的電位傳感器往往用于金屬離子的檢測，對于生物分子的檢測很難在傳統(tǒng)聚合物選擇性膜上實現(xiàn)，于是眾多研究者將目光轉(zhuǎn)移到了具有選擇性結(jié)合序列的適配體和有特異性結(jié)合的小分子上。

表1　不同波長入射波浪下圓柱形暗礁地形上方自由水面最大波幅

3.2滲透海底上波浪傳播特性分析

根據(jù)珊瑚礁海底實際的滲透系數(shù)，較小的滲透區(qū)域幾乎不會對波浪衰減產(chǎn)生影響，但是對于滲透區(qū)域較大的情況，波浪衰減將比較顯著，因此考慮長1 000 m、寬200 m的大面積的矩形水平滲透海床，如圖4所示。水深4.8 m，入射波浪為規(guī)則波，波長分別為30 m、60 m、90 m和120 m，波浪要素見表2，入射方向與X軸正向一致。

表2　波浪要素

由于珊瑚礁海床T的取值范圍一般情況下為T=2.0×10-4～9.2×10-4s，為了研究滲透特性T的影響，這里T分別取為0、10-4、10-3s。其中0表示海床不可滲透，即其無因次化波浪幅值應(yīng)為1、1×10-4和1×10-3s分別對應(yīng)珊瑚礁海床T取值下限的量級和上限的量級。

為了研究滲透海床邊界處波幅的變化情況，波面計算范圍應(yīng)比滲透區(qū)域大，這里X方向取-200～1 200 m，Y方向取-200～200 m，如圖5所示。

圖6和圖7分別給出了T=1×10-4s和T=1×10-3s時，不同波長情況下無因次化波幅分布圖。從圖中可以看出，波浪進入滲透區(qū)域后開始衰減，相同x值處中線(y=0)處衰減最大，隨著距中線距離的增加，衰減逐漸減弱；相同y值處滲透區(qū)域末端(x=1 000)處衰減最大，隨著距中線距離的增加，衰減減小。另外波浪傳經(jīng)滲透區(qū)域時，波幅有一定波動，傳出滲透區(qū)域后波動消失。

上述各工況中的波幅最小值見表3。當T=1×10-4s時，波浪幅值衰減幾乎可以忽略，波長L=120 m衰減最小，為0.27%；波長L=30 m衰減最大，為1.04%。當T=1×10-3s時，波浪幅值衰減較為明顯，其中波長L=30 m衰減比列可以達到9.69%。由此可知，當滲透系數(shù)較大，且滲透海床面積也較大時，波浪幅值衰減不可忽略，在計算海洋工程結(jié)構(gòu)物的波浪荷載及運動響應(yīng)時應(yīng)給予考慮。

表3　波浪幅值最小值

圖3　不同波長入射波浪下圓柱形暗礁地形上方自由水面的波幅Fig.3　Wave amplitudes in free surface over a circular hump for various values of wave length

圖4　滲透海床俯視圖Fig.4　The top view of permeable seabed

圖5　波面俯視圖Fig.5　The top view of free surface

圖6　T=10-4 s時不同波長入射波經(jīng)過滲透海床時上方自由水面無因次化波幅Fig.6　Dimensionless wave amplitudes for various values of wave length when T=10-4 s

圖7　T=10-3 s時不同波長入射波經(jīng)過滲透海床時上方自由水面無因次化波幅Fig.7　Dimensionless wave amplitudes for various values of wave length when T=10-3 s

圖8　各滲透系數(shù)下不同波長入射波經(jīng)過滲透海床時中線上方無因次化波幅Fig.8　Dimensionless wave amplitudes of different porosity parameter for various values of wave length at y=0

圖9　各入射波長下波浪傳過不同滲透系數(shù)海床時中線上方無因次化波幅Fig.9　Dimensionless wave amplitudes of different wave length for various values porosity parameter of at y=0

圖10　滲透海床俯視圖Fig.10　The top view of permeable seabed

圖11　各滲透系數(shù)下不同波長入射波經(jīng)過滲透海床時中線上方無因次化波幅Fig.11　Dimensionless wave amplitudes of different maximal porosity parameter for various values of wave length at y=0

為了更清晰的顯示波浪幅值沿傳播方向的變化情況，圖8給出了y=0處滲透系數(shù)取不同值時波幅的變化情況，在T=0時即海床不可滲透，各工況的波浪幅值均為1，進一步驗證了本文數(shù)學(xué)模型的正確性，且滲透系數(shù)越大，波浪幅值衰減越大，符合實際情況。另外圖9中對同一滲透系數(shù)不同波長時的結(jié)果做了對比。從結(jié)果中可以看出從不可滲透海底進入到滲透海底區(qū)域后，波浪沿著傳播方向逐漸衰減，當從滲透海底進入到不可滲透海底區(qū)域后，波浪幅值不再衰減，并且對于長波情況，幅值略有增加。當波長一定時，對于不同的滲透系數(shù)，隨著滲透系數(shù)的增加，波浪衰減逐漸增大；當滲透系數(shù)一定時，波長越小衰減越大。此外更明顯的看出在不可滲透海底和滲透海底的交界處，波面發(fā)生了明顯的波動，并且滲透系數(shù)越大、波長越長這一現(xiàn)象越明顯。

對于上述結(jié)果中波幅發(fā)生震蕩的情況，應(yīng)該是由于波浪傳播至滲透海床邊界處(x=0和x=1 000處)由于滲透性發(fā)生突變引起波浪反射所造成的。為了進一步研究這一現(xiàn)象，將滲透海床邊界處T改為漸變?nèi)≈狄詼p小波浪反射影響，具體取值滿足式(17)，滲透海床如圖10中所示。

(17)

滲透系數(shù)漸變?nèi)≈岛?，波浪在傳入滲透海床的過程中，滲透系數(shù)逐漸增大，傳出的過程中滲透系數(shù)逐漸減小，這樣大大減弱了滲透海床邊界反射對波浪幅值的影響。海床中線y=0上波幅的計算結(jié)果如圖11所示，從圖中可以看出波幅變化的曲線趨近平滑，幾乎沒有發(fā)生波動現(xiàn)象，說明波動現(xiàn)象確實是由滲透海床邊界處的波浪反射引起的。

圖12　各入射波長下波浪傳過不同滲透系數(shù)海床時中線上方無因次化波幅Fig.12　Dimensionless wave amplitudes of different wave length for various values porosity parameter of at y=0

4結(jié)論

本文基于全繞射理論，利用滿足波浪條件的格林

函數(shù)建立了求解規(guī)則波在三維局部可滲海床上傳播的頻域數(shù)值模型，并利用這一模型研究了規(guī)則波在三維局部矩形水平滲透海床上的傳播問題。通過對不同情況下波幅衰減的數(shù)值計算分析，得出以下結(jié)論：

(1)波浪傳入矩形水平滲透海床后波幅逐漸衰減，傳出滲透區(qū)域后波幅逐漸增加。由于三維影響，在垂直于波浪傳播的方向上，矩形滲透海底中線處衰減最大，遠離中線處衰減逐漸減小，波幅分布具有明顯的三維特性。

(2)在入射波浪波長一定，即周期一定時，滲透海底的滲透系數(shù)越大，波浪沿著傳播方向衰減越明顯；在滲透系數(shù)一定時，波長越小即周期越小波浪沿著傳播方向衰減越明顯。

(3)在不可滲透海底和滲透海底的交界處，滲透性發(fā)生突變，波浪出現(xiàn)明顯的反射現(xiàn)象，并且滲透系數(shù)越大，波長越長，即周期越大時，反射現(xiàn)象越明顯。當交界處的滲透性漸變時，反射現(xiàn)象明顯減弱。

通過以上的計算可知，在一定條件下滲透海底會對波面產(chǎn)生影響，因此在研究三維滲透島礁海底上海洋工程結(jié)構(gòu)物的波浪荷載及運動響應(yīng)時，需要考慮滲透海底產(chǎn)生的影響。

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收稿日期：2015-03-10；

修訂日期：2015-04-30。

基金項目：國家基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(973)(2013CB036101)；國家自然科學(xué)基金(51479026，51209107)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(DUT14ZD203)。

作者簡介：章旭(1989—),男，安徽省蚌埠市人，主要從事波浪與大型浮體作用的研究。E-mail:soma28@163.com *通信作者：勾瑩，副教授，主要從事浮式結(jié)構(gòu)物水動力特性的研究。E-mail:gouying@dlut.edu.cn

中圖分類號:P731.22

文獻標志碼：A

文章編號：0253-4193(2016)01-0133-10

Regular wave propagation on 3-D local permeable seabed by higher-order boundary element method

1，Ni Yunlin1，2，Teng Bin1，Liu Zhen3

(1.StateKeyLaboratoryofCoastalandOffshoreEngineering，DalianUniversityofTechnology，Dalian116024，China;2.SchoolofMaritimeandCivilEngineering,ZhejiangOceanUniversity，Zhoushan316022，China;3.SchoolofNavalArchitecture&OceanEngineering，JiangsuUniversityofScienceandTechnology，Zhenjiang212003，China)

Abstract:Regular wave propagation on 3-D local permeable seabed is studied by higher-order boundary element method based on the linear potential flow theory. The control equation of permeable seabed is derived from the Darcy law. The boundary condition on the permeable seabed’s surface is developed by the continuous conditions of normal velocity and pressure on the interface between permeable seabed and water. The boundary integral equations，which can be solved to obtain the diffraction potentials of permeable seabed，are established by the adoption of wave Green function based on the theory of wave diffraction. Then，when wave pass through the permeable seabed，the diffraction potentials of free surface and the variation of wave amplitude can be calculated after solving the boundary integral equations by higher-order boundary element method. The validity and effectiveness of the present frequency domain method is verified by the results comparison with time domain method，in that case the wave diffractions on cylindrical hump seabed are considered. The characteristic of wave propagation on 3-D local rectangular permeable seabed is investigated by the present numerical method，and the effects of parameters such as wave length and the porosity parameter are discussed further．

Key words:permeable seabed；higher-order boundary element method；frequency domain；wave propagation

章旭，勾瑩，倪云林，等. 高階邊界元方法求解規(guī)則波在三維局部滲透海床上的傳播[J]. 海洋學(xué)報，2016，38(1): 133-142，doi：10.3969/j.issn.0253-4193.2016.01.013

Zhang Xu，Gou Ying，Ni Yunlin，et al. Regular wave propagation on 3-D local permeable seabed by higher-order boundary element method[J]. Haiyang Xuebao，2016，38(1): 133-142，doi：10.3969/j.issn.0253-4193.2016.01.013