星空中的N體問題（下）

陳厚尊

1772年，法國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家約瑟夫·拉格朗日在一篇論文中首次利用自己建立的分析力學(xué)理論，嘗試求解了一類簡(jiǎn)化的三體模型，即所謂的“平面限制性三體問題”。這里的“平面”指的是三個(gè)星體的運(yùn)動(dòng)被固定在同一平面上?？紤]到太陽系各大行星的共面性，這個(gè)假設(shè)是有實(shí)際意義的。“限制性”指的是其中一個(gè)星體的質(zhì)量同另外兩個(gè)星體相比可忽略不計(jì)。如此一來，兩個(gè)大質(zhì)量的星體就構(gòu)成了一個(gè)普通的二體系統(tǒng)，小質(zhì)量星體同時(shí)受到兩個(gè)大星體的引力牽引。拉格朗日的研究表明，對(duì)小質(zhì)量星體而言，二體系統(tǒng)中有5個(gè)位置頗為特殊的點(diǎn)，它們都是該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，或者稱為不動(dòng)點(diǎn)，小質(zhì)量星體在這里不會(huì)感受到外力。后人將這5個(gè)點(diǎn)命名為“拉格朗日點(diǎn)”。

從力學(xué)穩(wěn)定性上看，前三個(gè)拉格朗日點(diǎn)在垂直于二體連線的方向上是不穩(wěn)定的（圖中的紅色箭頭）。這就如同一座倒置的金字塔，雖然理論上成立，可是任何微小的擾動(dòng)都會(huì)被放大，導(dǎo)致不可逆的位置偏離。后兩個(gè)拉格朗日點(diǎn)的所有方向都是力學(xué)穩(wěn)定的，除非受到足夠的外部影響，否則只能在平衡點(diǎn)附近振蕩。在太陽系里，木星是八大行星中體積和質(zhì)量最大的，所以日木系統(tǒng)的拉格朗日點(diǎn)相對(duì)特殊一些。遺憾的是，受限于當(dāng)時(shí)的觀測(cè)能力，拉格朗日的三體理論一直沒能得到觀測(cè)上的支持，許多人覺得這也許只是紙上談兵的純理論游戲。直到1906年2月，德國天文

學(xué)家馬克斯·沃爾夫在木星軌道上超前于木星位置60°附近發(fā)現(xiàn)了第588號(hào)小行星（沃爾夫以希臘英雄阿喀琉斯的名字命名它），這才證明了拉格朗日點(diǎn)的真實(shí)存在。

自進(jìn)入航天時(shí)代以來，日地系統(tǒng)的拉格朗日點(diǎn)越來越受到重視，尤其是L1點(diǎn)和L2點(diǎn)。相較于普通的人造衛(wèi)星軌道，前者能擺脫地球運(yùn)動(dòng)方向的干擾，尤其利于太陽的觀測(cè);后者能擺脫太陽和地球的電磁波干擾，尤其利于深空目標(biāo)的觀測(cè)。雖然從理論上來說，前兩個(gè)拉格朗日點(diǎn)都是不穩(wěn)定的，可實(shí)際情況中，航天器受擾動(dòng)飄離平衡點(diǎn)所需的時(shí)標(biāo)比較長。在此期間，只要航天器及時(shí)校正軌道，就能在L1點(diǎn)和L2點(diǎn)長期駐留。另外，針對(duì)前兩個(gè)拉格朗日點(diǎn)存在的日凌干擾問題，NASA的軌道設(shè)計(jì)專家羅伯特·法庫爾設(shè)計(jì)出一種圍繞拉格朗日點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的暈軌道。目前，歐空局和NASA共同研制的SOHO衛(wèi)星就運(yùn)行在日地系統(tǒng)L 1點(diǎn)的一個(gè)暈軌道上。2018年10月，日地系統(tǒng)L2點(diǎn)的暈軌道將迎來哈勃空間望遠(yuǎn)鏡的繼任者：詹姆斯·韋伯空間望遠(yuǎn)鏡。

事實(shí)上，現(xiàn)實(shí)中能觀察到的穩(wěn)定的三體模式屈指可數(shù)。19世紀(jì)末期，三體問題進(jìn)入純理論研究范疇，動(dòng)力學(xué)理論與天文學(xué)之間的關(guān)系似乎漸行漸遠(yuǎn)。可是誰也沒有料到，多年以后三體問題竟會(huì)以一種全然不同的面孔重返現(xiàn)實(shí)。

瞥見混沌

《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》是一本創(chuàng)刊于1882年的頂級(jí)數(shù)學(xué)期刊，由瑞典著名數(shù)學(xué)家米塔·列夫勒發(fā)起。在《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》1885年—1886年第7卷上，有一則關(guān)于“奧斯卡國王獎(jiǎng)”的通告。通告中說，數(shù)學(xué)家狄里克雷在去世前不久寫給幾何學(xué)家克羅內(nèi)克的信中，稱自己發(fā)現(xiàn)了一種能夠?qū)αW(xué)中的微分方程進(jìn)行積分的方法。應(yīng)用該方法，他能夠嚴(yán)格給出太陽系的穩(wěn)定性證明。遺憾的是，我們對(duì)此方法一無所知。為了慶祝挪威與瑞典國王奧斯卡二世的60歲生辰，雜志決定懸賞重新發(fā)現(xiàn)該方

法，并給出N體問題通解的第一人。

在當(dāng)時(shí)，這一獎(jiǎng)項(xiàng)的名聲甚至超過今日的諾貝爾獎(jiǎng)。布告發(fā)出后不久，數(shù)學(xué)界的研究重心就轉(zhuǎn)向了N體問題，許多人都希望通過參加競(jìng)賽提升自身知名度。但是，最后只有5個(gè)人按時(shí)提交了論文，其中就包括龐加萊的那篇討論三體問題的文章。盡管龐加萊的工作沒能給出通告里期望的那個(gè)解答，但其結(jié)果依然非常重要，甚至可以說開啟了天體力學(xué)的新紀(jì)元，龐加萊也因此獲得了僅有的那一屆“奧斯卡國王獎(jiǎng)”。此后，該獎(jiǎng)項(xiàng)便夭折了。否則，今天數(shù)學(xué)界的最高榮譽(yù)就不是菲爾茲獎(jiǎng)了。

嚴(yán)格地講，人們對(duì)混沌現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)始于龐加萊的這篇論文，雖然龐加萊本人從未意識(shí)到這一點(diǎn)，更不曾在論文中使用“混沌”這類字眼。19世紀(jì)后期，機(jī)械決定論的思想籠罩科學(xué)界，而且龐加萊骨子里的謙遜和藹不允許他做出離經(jīng)叛道的研究，否則，狹義相對(duì)論的提出者就不會(huì)是愛因斯坦了。在今天，“混沌”這個(gè)詞被濫用于各行各業(yè)，只要是沒有什么明顯規(guī)律的行為，似乎都可以同混沌掛上鉤。事實(shí)上，混沌現(xiàn)象是一類有明確定義的動(dòng)力學(xué)行為，一個(gè)系統(tǒng)必須具備如下3條性質(zhì)方可被稱為混沌：①系統(tǒng)行為對(duì)初值敏感;②有密集的周期解;③至少存在一條填滿相空間的軌道。依現(xiàn)代的觀點(diǎn)看，龐加萊當(dāng)年的論文實(shí)際上證明了“平面限制性三體系統(tǒng)”是一個(gè)混沌系統(tǒng)。

毫無疑問，龐加萊本人拒絕接受混沌現(xiàn)象的存在，他無法理解僅有三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力系統(tǒng)為什么會(huì)出現(xiàn)如此古怪的行為。在論文的最后一個(gè)部分，龐加萊實(shí)際上已經(jīng)瞥見了三體系統(tǒng)的相空間所具有的怪異結(jié)構(gòu)。他在論文里的措辭十分謹(jǐn)慎，他相信，N體問題的復(fù)雜性遠(yuǎn)在那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)研究水平之上。龐加萊希望今后的研究者能仔細(xì)篩查自己的研究對(duì)象，留意其中是否也存在與此類似的問題。富有戲劇性的是，經(jīng)過一個(gè)多世紀(jì)的探究，人們最終證明混沌現(xiàn)象充斥于科學(xué)領(lǐng)域的方方面面，它與20世紀(jì)初建立起來的量子力學(xué)一道，徹底埋葬了機(jī)械決定論的哲學(xué)大廈。

N=3，4，5……8

在天文學(xué)上，擁有3顆及以上恒星的體系常被稱為聚星系統(tǒng)。天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)，這些聚星系統(tǒng)往往以二體系統(tǒng)為基礎(chǔ)，自下而上逐級(jí)構(gòu)成。例如，勾陳一系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)同半人馬座三星類似，都是A、B兩星近距離相互繞轉(zhuǎn)，C星在外圍繞A、B兩星的質(zhì)心運(yùn)轉(zhuǎn)。再比如五車二的四合星系統(tǒng)，它包含了兩對(duì)雙星體系：一對(duì)紅巨星，一對(duì)紅矮星，后者在10000天文單位外圍繞前者緩慢運(yùn)行。之所以會(huì)出現(xiàn)這種格局，一方面當(dāng)然要?dú)w咎于二體系統(tǒng)本身的力學(xué)穩(wěn)定性，但更重要的原因是，這樣的格局也許是絕大多數(shù)N體系統(tǒng)最終的演化命運(yùn)。

計(jì)算機(jī)的發(fā)明與使用是20世紀(jì)的一件大事，它將科學(xué)家從繁瑣的計(jì)算中解脫出來，把更多的智慧用于對(duì)問題的全局把握。當(dāng)然，并非每一個(gè)領(lǐng)域的研究者都會(huì)積極地?fù)肀录夹g(shù)的到來。據(jù)說，普林斯頓高等研究院的許多數(shù)學(xué)家一度非常排斥計(jì)算機(jī)的使用。相較之下，在最渴望使用計(jì)算機(jī)的人群中，天文學(xué)家和天體力學(xué)家占了相當(dāng)?shù)谋戎亍Ｆ渲幸恍┤税袾體問題的數(shù)值算法編入計(jì)算機(jī)程序，于是，N體系統(tǒng)的數(shù)值模擬就成了某種具有消遣性質(zhì)的數(shù)學(xué)游戲，枯燥的N體問題一下變得有趣起來。模擬的例子多了，規(guī)律自然就會(huì)顯現(xiàn)出來。當(dāng)然，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)論證還是少不了的，畢竟沒人會(huì)把數(shù)值模擬當(dāng)作可靠的證明。不可否認(rèn)的是，數(shù)值模擬的結(jié)果確實(shí)會(huì)為研究者指明努力的方向。

其中一個(gè)有代表性的例子被稱作“畢達(dá)哥拉斯問題”。這是一個(gè)平面三體問題，由雅克比的學(xué)生梅塞爾于1893年提出。問題是這樣的：將質(zhì)量比為3∶4∶5的三顆星體分別放置于畢達(dá)哥拉斯三角形（即邊長比為3∶4∶5的直角三角形）的頂點(diǎn)，在初始時(shí)刻以靜止釋放它們，該系統(tǒng)在萬有引力的作用下，最終的演化命運(yùn)如何？梅塞爾和布魯曾為此做過大量的計(jì)算，但沒有取得有價(jià)值的結(jié)果。1966年，兩個(gè)分別來自耶魯大學(xué)和蘇黎世聯(lián)邦工業(yè)大學(xué)的研究小組，針對(duì)該問題分別編寫了一組計(jì)算機(jī)模擬程序，得出的結(jié)果令人震驚：經(jīng)過一段令人目眩的相互旋繞之后，忽然某一個(gè)瞬間，3顆星體變得異常接近，幾乎要碰撞在一起;之后，兩顆星體組成了一對(duì)緊密的雙星系統(tǒng)，由此引發(fā)的彈弓效應(yīng)將第3顆星體高速拋出。它獲得的動(dòng)能全部來自二體系統(tǒng)損失的引力勢(shì)能。

在這個(gè)模型中，我們仿佛目睹了半人馬座三星的誕生經(jīng)過：在遙遠(yuǎn)的過去，南門二雙星和比鄰星也許是誕生在同一片星云里的三個(gè)恒星胚胎。在原恒星時(shí)代，它們也曾經(jīng)歷過令人目眩卻稍縱即逝的“亂紀(jì)元”。之后的某個(gè)瞬間，3顆星抵達(dá)了碰撞的邊緣，比鄰星終于被彈弓效應(yīng)高速拋出，形成了如今的局面。

將這個(gè)例子推而廣之，恐怕就可以解釋星空中聚星系統(tǒng)的奧秘了。

N=9

八大行星加上中心的太陽構(gòu)成了一個(gè)九體系統(tǒng)。于是，我們?cè)俅位氐教栂档姆€(wěn)定性問題上來。

當(dāng)然，這樣的理解方法對(duì)問題的解決毫無助益。根據(jù)龐加萊的研究，我們不難猜測(cè)，太陽系的動(dòng)力系統(tǒng)多半是混沌的，并沒有理由認(rèn)為矮行星和小行星的攝動(dòng)作用可以被忽略。因此，太陽系的穩(wěn)定性問題本質(zhì)上是一個(gè)極端復(fù)雜的多體問題。即便如此，對(duì)八大行星、矮行星和絕大多數(shù)的小行星而言，橢圓軌道已是足夠好的近似，縱然它們的軌道參數(shù)存在這樣那樣的長期變化，但其原因也能用大行星間的攝動(dòng)理論一一解釋。攝動(dòng)作用確實(shí)會(huì)產(chǎn)生更高階的近似項(xiàng)，不過，每一

項(xiàng)都可以用含有時(shí)間項(xiàng)的無窮級(jí)數(shù)去逼近，直到達(dá)到所需的精度。與此相關(guān)的所有力學(xué)理論，都被法國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家拉普拉斯系統(tǒng)地集成于他所著的5卷16冊(cè)《天體力學(xué)》里。拉普拉斯在書中宣稱，他證明了太陽系是長期穩(wěn)定的，大行星間的一階攝動(dòng)效應(yīng)不會(huì)隨時(shí)間發(fā)生積累。后來，數(shù)學(xué)家泊松進(jìn)一步證明二階攝動(dòng)效應(yīng)同樣不會(huì)積累。今天，我們知道，行星間的任意階攝動(dòng)效應(yīng)都不會(huì)積累，只會(huì)產(chǎn)生有限的振蕩項(xiàng)。可是，這個(gè)結(jié)論依然不具有說服力，因?yàn)楫?dāng)太陽系的演化時(shí)標(biāo)被拉長至千萬年的時(shí)候，混沌現(xiàn)象開始出現(xiàn)，情況也會(huì)隨之發(fā)生一些變化。

1963年，數(shù)學(xué)家柯爾莫戈洛夫、阿諾德和莫澤共同提出并證明了著名的卡姆定理（定理的名字源于三個(gè)人姓名的首字母組合）。根據(jù)卡姆定理，確定系統(tǒng)與混沌系統(tǒng)之間并沒有一道明確的分界線，而是存在一片廣闊的過渡地帶。幸運(yùn)的是，太陽系的穩(wěn)定性問題就位于卡姆定理所說的過渡地帶上。該定理指出：只要太陽的質(zhì)量在太陽系內(nèi)占據(jù)主導(dǎo)地位，同時(shí)大行星的軌道偏心率e 和軌道傾角i 是小量，太陽系不穩(wěn)定的概率就幾乎是零。也就是說，我們可以認(rèn)為太陽系幾乎

是個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)。不過，究竟何種量級(jí)才算是卡姆定理所說的小量，還有待進(jìn)一步的探究。

N=100 000

接下來，讓我們把星體的數(shù)目急速上調(diào)。當(dāng)N抵達(dá)10萬的時(shí)候，我們便進(jìn)入了球狀星團(tuán)的世界。

據(jù)推測(cè)，銀河系里約有200個(gè)球狀星團(tuán)。它們以銀心為中心，在空間里呈球形均勻分布。目前已發(fā)現(xiàn)的系內(nèi)球狀星團(tuán)約有150個(gè)，其余的都被銀心遮擋，難以直接觀測(cè)到。球狀星團(tuán)有兩個(gè)明顯特點(diǎn)。第一，形貌相似。無論是星系、星云，還是疏散星團(tuán)，它們的外貌都十分多樣化?？墒牵驙钚菆F(tuán)的模樣似乎都差不多，恒星密度都是中心大外圍小，呈規(guī)則的球形分布。第二，球狀星團(tuán)普遍很古老，有的年齡甚至超過了130億歲（宇宙的年齡為137億年）。根據(jù)以上兩點(diǎn)，從天體力學(xué)的角度看，可以判定球狀星團(tuán)是一種異常穩(wěn)定的多體結(jié)構(gòu)。至于為何如此，目前還只有

一些定性的理解，沒有定量的證明。

N=100 000 000 000

讓我們繼續(xù)瘋狂上調(diào)星體的數(shù)目，直至抵達(dá)千億量級(jí)。在這里，我們又碰到了另一大類穩(wěn)定的多體結(jié)構(gòu)：星系。與球狀星團(tuán)不同的是，星系的形貌多種多樣。美國天文學(xué)家埃德溫·哈勃曾對(duì)星系做了大量的觀測(cè)，于1926年提出一種按形態(tài)劃分星系的分類系統(tǒng)，之后不斷完善，于20世紀(jì)50年代完成了著名的哈勃分類。哈勃分類里將星系歸為4大類：橢圓星系、旋渦星系、棒旋星系和不規(guī)則星系。

說起對(duì)星系形貌的理論解釋，必須要提到天才的華人天體物理學(xué)家林家翹和徐遐生。20世紀(jì)60年代，他們提出了星系旋臂的密度波理論。這是一種解釋星系旋臂圖樣的簡(jiǎn)潔而漂亮的理論，至今依然被認(rèn)為是旋臂成因的最佳解釋。不過，近年來的一些觀測(cè)表明，暗物質(zhì)也許在塑造星系形態(tài)方面起到了不可忽視的作用，否則宇宙中的星系不會(huì)是如今的模樣。今天，相關(guān)的理論研

究依然是天體物理學(xué)的前沿課題。