數(shù)學(xué)實驗：賦予兒童幾何學(xué)習(xí)以生長的力量

【摘要】“圖形與幾何”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的領(lǐng)域，它承載著極其豐富的數(shù)學(xué)實驗內(nèi)容?？茖W(xué)有效的數(shù)學(xué)實驗不僅能幫助學(xué)生理解幾何形體的特征，體驗幾何原理的生長過程，也是學(xué)生建立和發(fā)展空間觀念、提升數(shù)學(xué)學(xué)力、培育數(shù)學(xué)情感的重要途徑。

【關(guān)鍵詞】“圖形與幾何”；數(shù)學(xué)實驗；幾何學(xué)習(xí)；空間觀念；范式建構(gòu)

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）09-0031-03

【作者簡介】毛新薇，江蘇省江陰市徐霞客實驗小學(xué)（江蘇江陰，214406）副校長，高級教師，無錫市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。

在“圖形與幾何”內(nèi)容領(lǐng)域開展數(shù)學(xué)實驗是指學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何知識時，能夠借助一定的工具，開展平移、折疊、拼合等積極的實踐活動，在“數(shù)學(xué)化”的過程中理解知識、積累經(jīng)驗、發(fā)展空間觀念與空間想象力。在教學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容時開展科學(xué)有效的數(shù)學(xué)實驗，不僅能幫助學(xué)生正確理解幾何形體的特征，體驗幾何原理的生長過程，也有助于學(xué)生建立和發(fā)展空間觀念、提升數(shù)學(xué)學(xué)力、培育數(shù)學(xué)情感。

一、尋繹：教材文本中的實驗基因

在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，“圖形與幾何”領(lǐng)域包括圖形的認(rèn)識、測量、運動與位置這四大內(nèi)容。依據(jù)實驗的目的，筆者將這四大內(nèi)容中的數(shù)學(xué)實驗分為理解型、探究型和驗證型三類。理解型實驗有：圓錐的認(rèn)識；做圓柱與圓錐，求底面周長與底面積；量圓錐實物，理解高與底面；理解平面圖繪制中各部分的占地形狀；等等。探究型實驗有：圓柱的認(rèn)識；選擇合適規(guī)格的鐵皮做長方體；等等。驗證型實驗有：擺正方體，從不同方向觀察其形狀；折正方體并展開，驗證其展開圖；等等。

二、建構(gòu)：“圖形與幾何”領(lǐng)域中數(shù)學(xué)實驗的操作范式

筆者重點提煉了“圖形的認(rèn)識”“圖形的測量”“圖形的運動”這三個范疇中數(shù)學(xué)實驗的范式。在具體實施時，教師應(yīng)根據(jù)具體情況靈活調(diào)整，形成適合教學(xué)實際的“變式”，以更好地提高實驗教學(xué)的有效性。

1.“圖形的認(rèn)識”的實驗范式。

“圖形的認(rèn)識”是空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映，它是“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，其大部分內(nèi)容均與概念教學(xué)有關(guān)，屬于“形概念”教學(xué)?！皥D形的認(rèn)識”的實驗范式如圖1所示：

2.“圖形的測量”的實驗范式。

“圖形的測量”是學(xué)生三維空間觀念逐步建構(gòu)和完善的過程，主要包括長度、面積、體積的度量和圖形周長、面積、體積的計算公式推導(dǎo)兩大部分。筆者以計算公式的推導(dǎo)為例，說明“圖形的測量”的實驗范式（如圖2）。

3.“圖形的運動”的實驗范式。

“圖形的運動”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生從平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱變換等運動變化的角度認(rèn)識圖形，了解圖形之間的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，感受、欣賞圖形的美，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造潛能，其實施范式如圖3所示：

三、深耕：“圖形與幾何”領(lǐng)域?qū)嶒灲虒W(xué)的智性實踐

1.理解型實驗：“高觀點”下洞悉“圖形與幾何”知識的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

理解型實驗是為了讓學(xué)生形成“形概念”，理解圖形的特征，體驗圖形的多方面性質(zhì)（如度量性質(zhì)、組合性質(zhì)、穩(wěn)定性質(zhì)等），體悟定理、公式產(chǎn)生的原理而進(jìn)行的實驗。教師應(yīng)站在“制高點”上審視理解型實驗的價值，根據(jù)學(xué)生對幾何知識的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計實驗，讓學(xué)生真正洞悉幾何知識的本質(zhì)屬性。

（1）多元突破：豐盈學(xué)生的感知力

根據(jù)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特點，教師可以采取多種途徑與方法來幫助學(xué)生感知幾何知識。表1中列舉了幾種實驗方法。

（2）舉象會意：豐滿學(xué)生的表象力

教師要通過數(shù)學(xué)實驗給予學(xué)生豐富的表象，讓學(xué)生通過表象來領(lǐng)會幾何知識的意義，從而使他們更好地進(jìn)行抽象的“思”。例如：蘇教版三上《軸對稱圖形》的實驗教學(xué)，一是從生活實例中抽象出軸對稱圖形，讓學(xué)生通過觀察直觀建立“前表象”概念；二是通過折一折、比一比等操作活動概括軸對稱圖形的本質(zhì)屬性，尋求其背后的物質(zhì)表象，建立“準(zhǔn)表象”概念；三是借助長方形、正方形紙片等工具，設(shè)計、創(chuàng)造一個軸對稱圖形，以此豐富學(xué)生的元認(rèn)知表象，實現(xiàn)內(nèi)化與躍遷。

（3）逐層推進(jìn)：豐厚學(xué)生的理解力

教師在設(shè)計數(shù)學(xué)實驗時，要按照知識的邏輯程序和學(xué)生的認(rèn)知程序進(jìn)行梯度式實驗，分層推進(jìn)，逐步建構(gòu)。例如：教學(xué)蘇教版五下《圓的認(rèn)識》，教師先呈現(xiàn)圓形的實物圖形，讓學(xué)生感受圓的基本特征，這對應(yīng)學(xué)生對感官型概念理解的心理水平；其次，讓學(xué)生用圓規(guī)或自主設(shè)計畫圓工具來畫圓，概括圓的本質(zhì)屬性，這對應(yīng)學(xué)生對工具型概念理解的心理水平；最后，讓學(xué)生用圓形圖片模擬車輪沿桌面邊緣滾動，猜想車軸的運動軌跡并解釋將車軸裝在圓心的原理，這對應(yīng)學(xué)生對關(guān)系型概念理解的心理水平。三層實驗和三度思考，有助于學(xué)生深入地理解圓的概念。

2.探究型實驗：讓學(xué)生深入進(jìn)行幾何學(xué)習(xí)。

探究型實驗是指學(xué)生事先不知道結(jié)論，通過開展有針對性的探究實驗活動獲取結(jié)果。在教學(xué)幾何圖形的定理、公式時，教師可以借助數(shù)學(xué)實驗，讓學(xué)生深入進(jìn)行探究活動，親歷數(shù)學(xué)知識的形成過程，體驗探究成功的樂趣。

（1）“姿態(tài)”大氣：從控權(quán)到放權(quán)

教師要做到“姿態(tài)大氣”：在理念上，要從只關(guān)注知識技能培養(yǎng)走向關(guān)注人的發(fā)展；在方式上，要從離身學(xué)習(xí)走向具身學(xué)習(xí)；在材料上，要從封閉單一走向開放多元；在過程上，要從小步子推進(jìn)走向大空間探究。當(dāng)然，“放權(quán)”不是放任自流，當(dāng)學(xué)生實驗受阻或偏離方向時、實驗方法不科學(xué)或數(shù)據(jù)失真時、探究結(jié)論遇到困難時，都需要教師的指點、幫助和引領(lǐng)。

（2）過程完整：從操作到內(nèi)化

鄭毓信教授曾指出：“數(shù)學(xué)實驗要實現(xiàn)對操作層面的必要超越。”數(shù)學(xué)實驗活動的外化與數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的內(nèi)化是相互統(tǒng)一的，數(shù)學(xué)實驗不能停留于實驗操作的層面，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中實現(xiàn)必要的重構(gòu)，在活動過程中理解幾何對象的內(nèi)在屬性，提升幾何思維水平。

（3）視野完好：從現(xiàn)象到本質(zhì)

在實驗時，學(xué)生往往只會關(guān)注那些表面的、外在的、直觀的現(xiàn)象，而很難深入知識的深層內(nèi)核，挖掘知識的本質(zhì)，這就需要教師加以引導(dǎo)，幫助學(xué)生體悟現(xiàn)象背后的本質(zhì)屬性。例如：蘇教版五上《平行四邊形的面積》實驗教學(xué)結(jié)束時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)實驗背后的本質(zhì)，感受平行四邊形可轉(zhuǎn)化為長方形，從而對圖形的特征及其內(nèi)在關(guān)系建立起基本的數(shù)學(xué)感覺。

3.驗證型實驗：開掘?qū)W生幾何學(xué)習(xí)的潛能。

驗證型實驗是指學(xué)生已經(jīng)知道或者大概知道結(jié)論，通過實驗操作和觀察、記錄、分析等手段，嘗試運用所學(xué)知識和方法對已有的數(shù)學(xué)猜想給出證明或“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”的實驗。這類實驗對學(xué)生推理能力、實踐能力和理性精神的培養(yǎng)有著不可替代的作用。

（1）猜想：驗證的起點

教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過推導(dǎo)大膽地提出自己的合理猜想，同時要追問學(xué)生猜想的依據(jù)是什么，幫助學(xué)生調(diào)整思路、篩選結(jié)果，不斷提高學(xué)生的猜想水平。如教學(xué)蘇教版六下《長方體的體積》練習(xí)課時，有這樣一道題目：把一張長5cm、寬4cm的長方形紙分別繞它的長和寬旋轉(zhuǎn)一周，形成的物體是什么形狀？它的體積最大是多少？教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度猜想：一是利用已有生活經(jīng)驗來猜想；二是融入動態(tài)表象，讓學(xué)生進(jìn)行動態(tài)操作想象，使長方形在他們頭腦中“動”起來，建立起一個連續(xù)、漸變的圓柱表象。

（2）實驗：驗證的基點

教師通過設(shè)計多維互證的方式，讓學(xué)生采用多種方法來進(jìn)行實驗。例如：教學(xué)蘇教版六下《圓錐的體積》時，在學(xué)生猜測后，教師可以提供多種實驗材料，讓學(xué)生分組驗證。面對富有挑戰(zhàn)性的實驗材料，學(xué)生可能會想出多種驗證方案：用橡皮泥捏等底等高的圓柱與圓錐尋求體積關(guān)系；削圓錐形蘿卜后稱重量比較；通過注水法探求體積關(guān)系；等等。然后引導(dǎo)學(xué)生在動手操作的過程中印證圓錐體積公式的合理性。

（3）有本有源地思辨：驗證的落腳點

為了使學(xué)生避開操作誤差的干擾，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行思想實驗，引導(dǎo)學(xué)生通過進(jìn)行理性的思辨尋求結(jié)論背后的理論支撐，以增強結(jié)論的可信度。例如：教學(xué)《圓錐的體積》一課，在學(xué)生通過動手操作獲得結(jié)論后，教師可以以“你知道嗎”的形式補充圓錐體積的推導(dǎo)過程：用平行于圓錐底面的平面把它切成一些近似的小圓柱，將這些小圓柱的體積求和就近似于原來圓錐的體積，切成小圓柱的份數(shù)越多，結(jié)果就越精確。這樣的理性推導(dǎo)，直抵圓錐公式的本源，既與操作的結(jié)論相印證，又能拓展學(xué)生的知識視界，培養(yǎng)學(xué)生的分析、推理能力，讓學(xué)生的驗證真正落到知識本源處。

總之，從本質(zhì)上看，學(xué)習(xí)是一種基于經(jīng)驗的自然生長。生長需要土壤、水分和陽光，而數(shù)學(xué)實驗因其獨特的內(nèi)在價值，能夠成為學(xué)生空間觀念培養(yǎng)與數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的加速器，能夠賦予學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)以生長的力量。<＼＼Ysc02＼d＼邱＼江蘇教育＼小學(xué)版＼2017＼02＼KT1.TIF>

【參考文獻(xiàn)】

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[2]董林偉.初中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的理論與實踐[M].南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2013.

注：本文獲2016年江蘇省“教海探航”征文競賽一等獎，有刪改。