柱形測(cè)壓銅柱的靜態(tài)特性分析

王芳， 郭增貴， 朱明武

(1.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 江蘇 南京 210094； 2.國(guó)營(yíng)第641廠， 遼寧 錦州 121017)

柱形測(cè)壓銅柱的靜態(tài)特性分析

王芳1， 郭增貴2， 朱明武1

(1.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 江蘇 南京 210094； 2.國(guó)營(yíng)第641廠， 遼寧 錦州 121017)

為了提高銅柱測(cè)壓的精度，對(duì)廣泛應(yīng)用于兵器膛壓測(cè)量的柱形銅柱靜態(tài)變形規(guī)律進(jìn)行了研究。在合理假設(shè)基礎(chǔ)上建立了柱形銅柱靜態(tài)變形的數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)大量的銅柱靜態(tài)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)。根據(jù)此模型進(jìn)行的仿真計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)能很好地吻合，具有對(duì)不同規(guī)格銅柱的廣泛適用性，能可靠地估算銅柱的靜態(tài)變形規(guī)律。依據(jù)該數(shù)學(xué)模型，對(duì)銅柱測(cè)壓靈敏度隨變形量變化的規(guī)律和加工尺寸偏差對(duì)測(cè)壓精度的影響兩方面進(jìn)行了計(jì)算和分析。結(jié)果表明：當(dāng)銅柱壓后高度為原始高度的73%時(shí)，銅柱的測(cè)壓靈敏度最高；銅柱及工作活塞的幾何尺寸誤差是影響測(cè)量不確定度的主要因素，通過(guò)提高銅柱的加工精度可以明顯提高銅柱測(cè)壓精度。

兵器科學(xué)與技術(shù)； 膛壓測(cè)量； 測(cè)壓銅柱； 塑性測(cè)壓器； 靜態(tài)特性

0 引言

1 銅柱靜態(tài)變形的數(shù)學(xué)模型

1.1 銅柱靜態(tài)變形的數(shù)學(xué)模型建立

盡管鐓粗研究的最終結(jié)果不能用于銅柱的分析計(jì)算，然而其研究的某些方法和結(jié)論卻有可借鑒之處。影響墩粗過(guò)程的要素主要是材料的力學(xué)特性、被鐓粗體的原始尺寸(直徑d0和高度h0)和試件端面與壓頭之間的摩擦應(yīng)力。其中摩擦力是銅柱變形過(guò)程復(fù)雜化的重要原因。

大量柱形銅柱靜態(tài)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的分析結(jié)果表明，可以把原本復(fù)雜的三維變形過(guò)程簡(jiǎn)化為“準(zhǔn)一維變形”過(guò)程。建模的基本假設(shè)及其根據(jù)如下：

1)所有銅柱的材料力學(xué)特性是高度一致的。因?yàn)殂~柱都采用高純度的無(wú)氧銅，并經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的多次冷拔、退火處理，材質(zhì)的均勻性和一致性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)一般的工業(yè)用金屬材料。

2)摩擦力對(duì)于各種規(guī)格的銅柱影響基本相同。因?yàn)殂~柱測(cè)壓器的材料、加工精度、表面質(zhì)量等影響摩擦力的因素，幾乎都得到嚴(yán)格的控制。

3)銅柱變形過(guò)程中，其形狀始終保持為圓柱形，即忽略腰鼓形的影響。

4)銅柱變形過(guò)程中體積不變。因?yàn)楦呒兌鹊臒o(wú)氧銅的彈性極限很低(約30 MPa)，相應(yīng)的應(yīng)變值小于3×10-4；而銅柱的工作應(yīng)變卻較高，達(dá)0.1～0.55. 因此彈性變形引起的體積變化可以忽略，而塑性變形過(guò)程是體積不變的。

根據(jù)以上假設(shè)，可以列出以下基本方程：

力平衡方程

pS=σSc,

(1)

體積不變關(guān)系

(2)

應(yīng)變與瞬時(shí)高度關(guān)系

(3)

彈性恢復(fù)關(guān)系

Eεe=σe,

(4)

式中：p是壓力(Pa)；S是活塞工作面積(m2)；σ是銅柱平均應(yīng)力(Pa)；Sc是銅柱截面積(m2)；h是銅柱受壓后的瞬時(shí)高度(m)；d0、h0分別為銅柱的原始直徑和原始高度(m)；ε是銅柱的應(yīng)變值；E是銅柱材料的楊氏模量(Pa)；εe是銅柱卸載過(guò)程的彈性應(yīng)變；σe是銅柱卸載過(guò)程的應(yīng)力(Pa)。

(1)式、(2)式聯(lián)立可得

(5)

(4)式、(5)式聯(lián)立并考慮到彈性恢復(fù)過(guò)程的總應(yīng)變值為

(6)

式中：Δ是銅柱卸載過(guò)程的彈性恢復(fù)量(m)；hc是銅柱卸載后的殘余高度(壓后高度)?？傻?/p>

(7)

(3)式、(6)式、(7)式聯(lián)立可得銅柱在加壓p時(shí)的瞬時(shí)應(yīng)變值：

(8)

銅柱靜態(tài)校準(zhǔn)的結(jié)果是獲得一組關(guān)于壓力與壓后高的數(shù)據(jù)對(duì)(pi,hci),i=1,2,…,n. 利用(5)式和(8)式，可以計(jì)算得到相應(yīng)的瞬時(shí)應(yīng)力、應(yīng)變數(shù)據(jù)對(duì)(σi,εi),i=1,2,…,n. 對(duì)7種規(guī)格的柱形銅柱(φ3 mm×4.9 mm,φ4 mm×6.5 mm,φ5 mm×8.1 mm,φ6 mm×9.8 mm,φ8 mm×13 mm,φ4 mm×8 mm,φ3.5 mm×8.75 mm)，38個(gè)批次的313個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)[8]，進(jìn)行了計(jì)算分析，結(jié)果表明，用一個(gè)3階多項(xiàng)式可以很好地描述柱形銅柱的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系：

σ(ε)=2.458×109ε3-3.233×109ε2+
1.592×109ε+5.293×107.

(9)

擬合曲線的相關(guān)系數(shù)為0.992 4，標(biāo)準(zhǔn)差為4.1 MPa. 圖1清楚地表明了擬合曲線與上述7種不同規(guī)格銅柱的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合得很好。應(yīng)當(dāng)指出的是，根據(jù)(5)式和(8)式計(jì)算所得的應(yīng)力、應(yīng)變值以及由此而來(lái)的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系式(9)式，并不是材料真正的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系，而是隱含了對(duì)摩擦力等影響因素進(jìn)行了修正的等效應(yīng)力和等效應(yīng)變的關(guān)系式。

圖1 銅柱材料的塑性應(yīng)力、應(yīng)變曲線Fig.1 Plastic strain-stress curve of copper cylinders

(10)

式中的系數(shù)a0、a1、a2、a3可以根據(jù)以上分析計(jì)算獲得，但按照(10)式直接利用7種不同規(guī)格銅柱的多批次靜態(tài)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)(共百余組校準(zhǔn)數(shù)據(jù))進(jìn)行擬合，得到其中的系數(shù)應(yīng)該是更可靠的。計(jì)算結(jié)果如下：a0=2.516×109,a1=-6.602×109,a2=7.659×109,a3=-3.528×109.

根據(jù)(10)式不難求得銅柱的壓力系數(shù)k=dp/dhc，符合

(11)

圖2是按照(10)式和(11)式繪出的統(tǒng)一的柱形銅柱特性曲線，圖2(a)和圖2(b)兩條曲線適用于各種不同規(guī)格的柱形銅柱。

圖2 統(tǒng)一的柱形銅柱工作特性曲線Fig.2 Unified characteristic curves of copper cylinders

1.2 柱形銅柱特性的計(jì)算分析和驗(yàn)證

根據(jù)以上數(shù)學(xué)模型，給定基本參數(shù)d0、h0、S，并合理設(shè)定一系列銅柱受壓后的相對(duì)壓后高xi(i=1,2,…,m)，代入(10)式可得到一系列數(shù)據(jù)f(xi). 再代入某種銅柱的R值，可計(jì)算出pi,并根據(jù)xc求得壓后高值hci，從而可以得到各種銅柱的工作特性曲線。

圖3是7種不同規(guī)格銅柱的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的關(guān)系圖。圖3中的曲線和數(shù)據(jù)點(diǎn)都相當(dāng)吻合，說(shuō)明(10)式對(duì)銅柱分析具有很好的工程精度和廣泛的適用性。

圖3 7種柱形銅柱的工作特性計(jì)算結(jié)果Fig.3 Calculated results of seven different copper cylinders’ parameters

2 柱形銅柱靜態(tài)特性分析

利用(10)式和(11)式還可以分析銅柱多方面的工作特性，下面僅從銅柱壓力系數(shù)的特點(diǎn)和加工尺寸偏差對(duì)測(cè)壓精度的影響兩方面進(jìn)行初步分析。

2.1 銅柱壓力系數(shù)的變化規(guī)律

按(11)式不難證明，k的最小值出現(xiàn)在xc=2a2/6a3=0.73附近。即在hc=0.73h0附近靈敏度最高(見(jiàn)圖2(b)曲線)。這一點(diǎn)與實(shí)際數(shù)據(jù)非常吻

合。由于銅柱的實(shí)際壓后高度在(0.45～0.9)h0范圍之內(nèi)，這說(shuō)明銅柱的靈敏度在其量程內(nèi)呈兩端低、中間高的特點(diǎn)，所以任何柱形銅柱工作在其量程的中間偏上的壓力處是最佳的。

2.2 銅柱及活塞尺寸偏差對(duì)測(cè)壓精度的影響

銅柱及活塞的主要幾何尺寸如銅柱的原始直徑d0和高度h0及活塞直徑dp的加工誤差顯然對(duì)銅柱的測(cè)壓誤差是有影響的，然而過(guò)去由于缺乏適用的數(shù)學(xué)模型，一直無(wú)法定量分析其中的關(guān)系。而上述(10)式建立了這些參數(shù)及壓力之間的數(shù)學(xué)模型，為定量分析提供了基礎(chǔ)。表1是根據(jù)(10)式求得的當(dāng)誤差源分別來(lái)自于銅柱的原始直徑d0和高度h0及活塞的直徑dp，輸出分別為壓力p和壓后高度hc時(shí)誤差傳遞的靈敏系數(shù)。表1中相對(duì)誤差傳遞的靈敏系數(shù)除了3個(gè)常系數(shù)(k2,k3,k4)之外，其他3個(gè)都與k1有關(guān)。分析可知k1隨相對(duì)壓后高度xc增大而急劇增大，說(shuō)明原始高度h0的相對(duì)誤差對(duì)測(cè)壓的相對(duì)誤差影響隨著壓力減小而急劇增大。而k2、k3都是常數(shù)，所以d0、dp的誤差對(duì)測(cè)壓精度的影響是不隨壓力大小變化的。而k5、k6隨xc的變化相對(duì)較小。

表1 柱形銅柱幾何參數(shù)的誤差傳遞靈敏系數(shù)

由以上計(jì)算結(jié)果可知：第一，銅柱原始直徑d0公差的影響大于銅柱原始高度h0的公差；第二，同樣的尺寸公差對(duì)小尺寸銅柱的影響較大；第三，h0公差的影響隨xc的增大而增大，即對(duì)小壓力測(cè)量的影響大；d0公差的影響隨xc的增大而減小，即對(duì)小壓力測(cè)量的影響小。最后，由計(jì)算偏差與允許偏差之比可以看出，銅柱原始尺寸偏差是標(biāo)定壓后高度偏差的主要成因，由此可以得出結(jié)論：提高銅柱加工精度可以明顯地提高銅柱測(cè)壓的精度。利用(10)式和(11)式還可以進(jìn)行多方面的分析，本文限于篇幅不再贅述。

表2 銅柱加工誤差對(duì)壓后高度的影響

3 結(jié)論

1)本文從工程應(yīng)用出發(fā)，建立了柱形銅柱的半經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)模型，通過(guò)與大量實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的比較表明，該模型具有足夠高的工程計(jì)算精度，和對(duì)不同規(guī)格銅柱的廣泛適用性。

2)分析表明，銅柱壓后高度等于原始高度的73%時(shí)靈敏度最高，合理的工作量程應(yīng)盡可能對(duì)稱地分布在這個(gè)壓后高值的兩側(cè)。

3)目前我國(guó)的銅柱及工作活塞的幾何尺寸誤差是影響測(cè)量不確定度的主要因素，通過(guò)提高銅柱的加工精度可以明顯提高銅柱測(cè)壓精度。

4)利用本文的數(shù)學(xué)模型還可以對(duì)柱形銅柱的優(yōu)化設(shè)計(jì)、合理生產(chǎn)及科學(xué)使用提供更多的幫助，相關(guān)的研究工作尚待繼續(xù)進(jìn)行。

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Static Characteristics of Copper Cylinders for Chamber Pressure Measurement

WANG Fang1, GUO Zeng-gui2, ZHU Ming-wu1

(1.School of Mechanical Engineering,Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, Jiangsu, China;2.State-owned Factory 641, Jinzhou 121017, Liaoning, China)

Copper cylinders as a sensing element of crusher gauges are widely used for measuring the peak pressure in weapon chamber. In order to improve the measuring accuracy, a new mathematic model is proposed to investigate the static deformation of copper cylinders. The model parameters are estimated based on calibrated data.The calculated results are in good agreement with the experimental results. This model can be well applied to estimate the static deformation law of copper cylinders, and has wide applicability to different specifications of copper cylinders. According to the mathematical model, the variation of copper cylinder pressure sensitivity with deformation and the influence of machining dimension deviation on the accuracy of pressure measuring are calculated. When the height of copper cylinder after compression is 73% of its original one, the pressure sensitivity of the copper cylinder is the highest. The geometric dimension tolerances of copper cylinder and piston are the main factors which affect the pressure measurement uncertainty. The pressure measuring precision of copper cylinders can be improved by improving the machining precision obviously.

ordnance science and technology; chamber pressure measurement; copper cylinder; crusher gauge; static characteristic

2016-07-12

國(guó)防科技工業(yè)基礎(chǔ)科研計(jì)劃項(xiàng)目(2014年)

王芳(1966—)，女，博士研究生。E-mail: wangfang@mail.njust.edu.cn； 郭增貴(1931—)，男，研究員。E-mail: guosong816@sina.com

朱明武(1933—)，男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail: zhumw105@126.com

TJ012.1+6

A

1000-1093(2017)02-0412-05

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.02.028