數(shù)形結(jié)合知識(shí)點(diǎn)解題技巧與體會(huì)

李正言

摘要：對(duì)于高等數(shù)學(xué)而言，數(shù)形結(jié)合可謂是一種極為基礎(chǔ)但同時(shí)也非常重要的解題思路與解題方法，學(xué)生在初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)期間便已經(jīng)與其有了簡(jiǎn)短的接觸，接觸高等數(shù)學(xué)之后，數(shù)形結(jié)合依然是解決高等數(shù)學(xué)問(wèn)題的一條捷徑，通過(guò)“數(shù)”與“形”的滲透與轉(zhuǎn)換，抽象的問(wèn)題得以更加直觀化與生動(dòng)化，學(xué)生不再困擾于抽象思維，而是可以利用形象思維來(lái)有效解題。本研究選擇一些常見(jiàn)類型的習(xí)題，試探究如何利用數(shù)形結(jié)合知識(shí)來(lái)更加有技巧地解題，并總結(jié)相關(guān)學(xué)習(xí)體會(huì)。

關(guān)鍵詞：解題技巧 學(xué)習(xí)體會(huì) 知識(shí)點(diǎn) 數(shù)形結(jié)合

如果說(shuō)初中階段重在培養(yǎng)學(xué)生的解題思路，那么高中階段便重在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，可謂是創(chuàng)新思維培養(yǎng)的黃金時(shí)期。在高中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中，應(yīng)該充分利用數(shù)形結(jié)合相關(guān)知識(shí)點(diǎn)來(lái)解題，即基于數(shù)學(xué)問(wèn)題的內(nèi)在原因，將“數(shù)”與“形”兩個(gè)要素有機(jī)結(jié)合在一起，從直觀、形象的角度來(lái)分析問(wèn)題，如此可以簡(jiǎn)化習(xí)題中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系與抽象的數(shù)學(xué)要素，更簡(jiǎn)單地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，以揭示其代數(shù)意義與幾何直觀意義。

一、以形轉(zhuǎn)數(shù)的解題技巧

例題1：見(jiàn)圖1，假若（X-1）2

解題思路分析：假設(shè)f1（x）=（X-1）2，f2（x）=logaX，若要實(shí)現(xiàn)（X-1）21的時(shí)候，若要確保（X-1）2

總結(jié)：圖形雖然比數(shù)值更加直觀形象，但是在推理邏輯性與計(jì)算正確性上卻有明顯的缺陷，對(duì)于需要求得具體數(shù)值的問(wèn)題，如果只用圖形解題將有可能出現(xiàn)錯(cuò)誤，這時(shí)便需要借助“以形轉(zhuǎn)數(shù)”的解題技巧來(lái)將圖形轉(zhuǎn)化為代數(shù)語(yǔ)言，從另一條道路上探究問(wèn)題解決方法。當(dāng)然，需要注意的是，教師應(yīng)該告知學(xué)生全面思考的重要性，不要遺漏任何已知條件，必須考慮到各種可能性，只有這樣才能獲得完整且正確的計(jì)算結(jié)果。

二、以數(shù)轉(zhuǎn)形的解題技巧

例題2：>0，為此不等式求解。

解題思路分析：這個(gè)不等式帶有根號(hào)，直接求解需要經(jīng)歷復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程，其中需要運(yùn)用到的計(jì)算技巧并不是高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)，因此可以將不等式與函數(shù)圖像聯(lián)合起來(lái)進(jìn)行求解。首先，可以將無(wú)理式兩邊配以平方，使其化為整式，隨后為其取不等式的交集。通過(guò)教師的計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，若=0這一等式，將是沒(méi)有解的，但是可以將其轉(zhuǎn)化為y1=，y2=，如此便可以在坐標(biāo)軸中畫(huà)出圖2中的函數(shù)圖像，最終取結(jié)果的交集，即x≥3。

體會(huì)：從例題2的解題過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，不等式解題若直接進(jìn)行計(jì)算，學(xué)生難免受思維不全面所限而難以給出全面的結(jié)果，并且復(fù)雜的復(fù)習(xí)和計(jì)算過(guò)程也會(huì)浪費(fèi)學(xué)生的計(jì)算時(shí)間，因此教師可以將“數(shù)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤靶巍眮?lái)擴(kuò)展學(xué)生的解題思路，以數(shù)轉(zhuǎn)形的解題技巧不僅可以使學(xué)生更加簡(jiǎn)便的得出答案，更有助于學(xué)生培養(yǎng)發(fā)散思維。

三、其他數(shù)形結(jié)合的解題實(shí)例

例題3：已知一條直線與一條曲線，分別為y=k（x-2）+4與y=1+，它們相交于2個(gè)不同的點(diǎn)，求k的具體取值范圍。

解題思路分析：為曲線y=1+配以平方，得出（y-1）2+x2=

4，已知y介于1～3之間，繪出圖形（圖3），曲線所形成的圓形有圓心點(diǎn)A（0，1），半徑為2，鑒于y的值域大于1，因此解題所涉及的圖形是上半圓。因直線為y=k（x-2）+4穿過(guò)點(diǎn)B（2，4），將直線圍繞點(diǎn)B進(jìn)行順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可使圓形、直線相切，即直線和圓的交點(diǎn)只需要在弧線MT之上便可以滿足題意。由于交點(diǎn)M也在直線y=1之上，因此可得出點(diǎn)M坐標(biāo)為（-2，1），而直線BM經(jīng)過(guò)點(diǎn)斜式法進(jìn)行計(jì)算可得KBM=3/4，也就是說(shuō)點(diǎn)M與點(diǎn)A兩點(diǎn)之間的距離即為半徑，因此可以列出等式|1+2k-4|-4||，最終計(jì)算可得KBR=5/12，即k∈（5/12，3/4）。

體會(huì)：高中階段的圓類問(wèn)題通常與其他幾何圖形交叉存在，題目多給出直線或圓形的標(biāo)準(zhǔn)方式，若僅進(jìn)行抽象計(jì)算不僅會(huì)提高錯(cuò)誤出現(xiàn)幾率，也不利于快速得出正確答案。以例題3為例，若要解決圓與直線位置關(guān)系問(wèn)題，可以借助直角坐標(biāo)系進(jìn)行圓與直線空間位置的直觀觀察，通過(guò)計(jì)算直線與圓心之間的距離來(lái)判斷二者是相切、相交、相離。經(jīng)過(guò)初中、高中階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生們已經(jīng)得知，直線與圓心距離小于半徑即為相切、直線與圓心距離等于半徑即為相交、直線與圓心距離大于半徑即為相離，再結(jié)合圖形，便可以計(jì)算出相應(yīng)點(diǎn)的位置（取值范圍）。

四、結(jié)語(yǔ)

數(shù)形結(jié)合實(shí)際上是一種創(chuàng)新性的思維，學(xué)生嘗試從不同于題目敘述角度的另一個(gè)方面進(jìn)行解題，其實(shí)際上是對(duì)學(xué)生知識(shí)儲(chǔ)備信息的重新組合，是一種具有較高價(jià)值的設(shè)想與發(fā)現(xiàn)。從學(xué)習(xí)角度來(lái)說(shuō)，數(shù)形結(jié)合技巧可以使學(xué)生奠定更加扎實(shí)牢固的知識(shí)基礎(chǔ)，可以使學(xué)生獲得更加便捷有效的解題技巧，無(wú)論是對(duì)日常學(xué)習(xí)還是對(duì)高考，都有非常高的應(yīng)用價(jià)值。本文嘗試分析“以數(shù)轉(zhuǎn)形”、“以形轉(zhuǎn)數(shù)”等數(shù)形結(jié)合解題技巧，結(jié)合例題進(jìn)行展示與分析，總結(jié)了相應(yīng)的學(xué)習(xí)體會(huì)，旨在更清晰地指明數(shù)形結(jié)合的解題思路。

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（作者單位：河北省保定市第三中學(xué)）