基于奇異值分解的單快拍DOA估計方法

蔣柏峰，吳 琨，呂曉德

(1.中國電子科學(xué)研究院， 北京 100041；2.中國科學(xué)院電子學(xué)研究所微波成像技術(shù)國家級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100190)

基于奇異值分解的單快拍DOA估計方法

蔣柏峰1，吳 琨1，呂曉德2

(1.中國電子科學(xué)研究院， 北京 100041；2.中國科學(xué)院電子學(xué)研究所微波成像技術(shù)國家級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100190)

針對大多數(shù)空間譜估計方法在單快拍情況下失效的問題，本文以奇異值分解為基本手段，提出一種直接利用單快拍陣列接收數(shù)據(jù)構(gòu)造長方形偽協(xié)方差矩陣的方法模型。相比于已有構(gòu)造Hermitian矩陣的偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造方法，本文提出的構(gòu)造方法一方面等效陣列維度更高，角度估計性能更優(yōu)；另一方面，其基本構(gòu)造模型兼容已有構(gòu)造方法，更具一般性。理論分析和仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了本文提出構(gòu)造方法的正確性和有效性。

陣列信號處理；DOA估計；單快拍；奇異值分解

0 引 言

目標(biāo)角度參數(shù)是雷達(dá)、通信、聲吶等領(lǐng)域的主要測量參數(shù)之一。在該領(lǐng)域基于陣列的超分辨到達(dá)角(DOA)估計近年來成為業(yè)界研究熱點(diǎn)，取得了豐碩的成果[1-16]。常規(guī)超分辨DOA估計方法建立在多快拍基礎(chǔ)上，要求快拍數(shù)遠(yuǎn)大于陣列自由度及目標(biāo)數(shù)量。快拍數(shù)的主要作用體現(xiàn)在對陣列接收信號協(xié)方差矩陣的估計上，快拍數(shù)越大，協(xié)方差矩陣的估計越準(zhǔn)確，越接近統(tǒng)計值。文獻(xiàn)[3]指出，快拍數(shù)對子空間類方法性能的影響主要體現(xiàn)在樣本協(xié)方差矩陣的分解上，快拍數(shù)過小，將使子空間產(chǎn)生泄漏，從而影響算法分辨力和估計性能。在單快拍情況下，不僅陣列接收信號協(xié)方差矩陣的估計精度受到影響，而且無論信源相干與否，采樣協(xié)方差矩陣的秩始終為1，常規(guī)空間譜估計方法失效?；趩慰炫幕蛏倏炫牡哪繕?biāo)DOA估計問題已經(jīng)引起業(yè)界的廣泛關(guān)注[4-16]。

針對單快拍情況下的DOA估計問題，文獻(xiàn)[9-14]結(jié)合常規(guī)陣列接收信號協(xié)方差矩陣特點(diǎn)，提出直接利用陣列接收信號構(gòu)造偽協(xié)方差矩陣。該矩陣為Toeplitz矩陣，可以直接應(yīng)用MUSIC[17]、ESPIT[18]等常規(guī)空間譜估計方法，適用性較強(qiáng)。文獻(xiàn)[16]提出了基于陣列接收信號重排的偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造模型，該模型統(tǒng)一了文獻(xiàn)[9-14]使用的構(gòu)造方法，更具一般性。但上述方法模型構(gòu)造的偽協(xié)方差矩陣仍為方陣，針對的是基于特征分解的空間譜估計方法，其等效陣列維度受到限制，目標(biāo)角度估計精度難以進(jìn)一步提升。

本文在已有基于特征值分解的偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造方法模型基礎(chǔ)上，提出一種直接利用單快拍陣列接收數(shù)據(jù)構(gòu)造長方形偽協(xié)方差矩陣的方法模型。對構(gòu)造的偽協(xié)方差矩陣應(yīng)用奇異值分解，可以得到噪聲子空間，進(jìn)而利用常規(guī)空間譜估計方法實(shí)現(xiàn)單快拍情況下的目標(biāo)DOA估計。相比于文獻(xiàn)[16]的構(gòu)造方法，本文提出的偽協(xié)方差矩陣突破協(xié)方差矩陣為方陣的限制，等效陣列維度更高，目標(biāo)角度估計性能更優(yōu)。本文進(jìn)一步通過理論分析，證明了所提出構(gòu)造模型的一般性，文獻(xiàn)[16]的構(gòu)造方法模型是本文提出方法模型的特例。最后，通過仿真分析，驗(yàn)證了本文提出方法的正確性和有效性。

1 已有偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造方法模型及方法

遠(yuǎn)場窄帶信號假設(shè)下的均勻線陣接收信號模型可表示為：

式中X(t)為M×K維接收數(shù)據(jù)矩陣，A(θ)為M×N維陣列流型矩陣，S(t)為N×K維入射信號矩陣，N(t)為M×K維噪聲信號矩陣。其中M為陣元數(shù)量，K為快拍數(shù)，N為目標(biāo)數(shù)量，通常情況下要求K?M>N。對于均勻線陣，陣列流型矩陣A(θ)可表示為：

(2)

式中a(θn)為第n個目標(biāo)的導(dǎo)向矢量。

理想情況下，可認(rèn)為信號之間是不相關(guān)的，信號與噪聲之間、各通道噪聲之間是相互獨(dú)立的，此時陣列接收信號的協(xié)方差矩陣可表示為：

(4)

式中RS為入射信號協(xié)方差矩陣，該矩陣是滿秩的對角陣，對角線元素為相應(yīng)的信號功率；RN為噪聲協(xié)方差矩陣，可表示為σ2I的形式，σ2為噪聲功率。此時協(xié)方差矩陣Rx是秩為N的Hermitian Toeplitz矩陣。

單快拍情況下，接收信號矩陣的元素可表示為：

(5)

式中M為陣元數(shù)量，N為目標(biāo)數(shù)量，sn為第n個目標(biāo)的入射信號，nm為第m個通道的噪聲信號，λ為信號波長，d為陣元間距，θn為目標(biāo)與陣列法向的夾角。

由于文獻(xiàn)[16]提出的方法模型，兼容文獻(xiàn)[9-14]的構(gòu)造方法，因此，本文結(jié)合陣列接收信號模型，以文獻(xiàn)[16]提出的構(gòu)造方法模型為例，進(jìn)行對比分析。

文獻(xiàn)[16]提出的偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造方法可表示為：

(8)

2 基于奇異值分解的偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造模型及方法

式(8)形式的偽協(xié)方差矩陣為Hermitian矩陣，由矩陣分析理論可知，Hermitian矩陣的特征值分解與奇異值分解是一致的。以文獻(xiàn)[16]為代表的偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造方法之所以顯性或者隱形地約束偽協(xié)方差矩陣為方陣，主要是受到式(4)形式的陣列接收信號協(xié)方差矩陣特點(diǎn)限制，沒有考慮到偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造只是獲取噪聲子空間的中間過程，而噪聲子空間的獲取才是解決單快拍情況下的目標(biāo)DOA估計問題核心。因此可以考慮以奇異值分解為手段獲取噪聲子空間，此時可以不再限制偽協(xié)方差矩陣為方陣，在滿足目標(biāo)數(shù)量小于等效陣列維度的前提下，構(gòu)造長方形偽協(xié)方差矩陣，達(dá)到提高等效陣列維度、提高目標(biāo)角度參數(shù)估計精度。

2.1 偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造模型分析

假設(shè)存在一個L1×L2維矩陣Y1，可以表示為：

(9)

式中B為L1×N維列滿秩矩陣，A1為L2×N維陣列流型矩陣，L1≥N,L2≥N。

則矩陣Y1的奇異值分解可表示為：

(10)

式中U和V表示矩陣Y1的左、右奇異向量矩陣，Σ表示矩陣Y1奇異值矩陣。

根據(jù)奇異值分解的性質(zhì)可知：

(11)

式中vj表示V的列向量。

式(11)表明，V的右L2-N各列向量形成了A1對應(yīng)的噪聲子空間。此時，可以利用常規(guī)空間譜估計方法實(shí)現(xiàn)目標(biāo)DOA估計。

基于上述分為，基于奇異值分解的偽協(xié)方差矩陣構(gòu)成模型可以表述為：利用式(5)形式的單快拍陣列接收信號，構(gòu)造式(9)形式的偽協(xié)方差矩陣。下面就分析模型構(gòu)建，進(jìn)行理論分析。

矩陣Y1的元素可表示為：

p=1,2…L1,q=1,2…L2

(12)

對比式(5)，式(12)可知，B(p,n)應(yīng)包含sn項(xiàng)，并且可以調(diào)整式(12)求和項(xiàng)的相位，即B(p,n)應(yīng)可以表示為：

(13)

式中Tpnk為加權(quán)系數(shù)，k為整數(shù)，其取值應(yīng)滿足0≤k-q+1≤M-1。

將式(13)代入式(12)可得：

p=1,2…L1,q=1,2…L2

(14)

為利用式(5)形式的單快拍數(shù)據(jù)構(gòu)造Y1，式(14)中的Tpnk應(yīng)與變量n無關(guān)，即式(14)可以表示為：

p=1,2…L1,q=1,2…L2

(15)

(16)

式中Y1p表示矩陣Y1的第p行。

矩陣Y1可表示為：

(17)

式中T表示加權(quán)系數(shù)矩陣。

(18)

式中p=1,2…M-L2+1，q=1,2…L2。

(19)

式中A1為M×N維陣列流型矩陣的后M-L2+1行，A2為陣列流型矩陣的前L2行。

系數(shù)矩陣T的維度為L1×M-L2+1。當(dāng)L1≥M-L2+1時，為使矩陣Y1的秩為N，則應(yīng)約束矩陣T為列滿秩矩陣。即矩陣T的秩為M-L2+1。下面對這一結(jié)論加以證明。

由矩陣秩的性質(zhì)可知：

rank(Y1)≤min{rank(T)N}

rank(Y1)≥rank(T)+N-(M-L2+1)

(20)

式中rank()表示矩陣的秩。

由式(20)可知，當(dāng)T為列滿秩矩陣時，矩陣Y1的秩為N。

綜上所述，矩陣T秩的約束條件可表示為：

(21)

基于上述分析，基于奇異值分解的單快拍DOA估計方法模型可描述為：利用式(5)形式的單快拍數(shù)據(jù)，構(gòu)造式(17)形式的偽協(xié)方差矩陣，只要系數(shù)矩陣T滿足式(21)的約束條件，則可利用奇異值分解得到噪聲子空間。

2.2 偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造方法分析

基于前文的理論分析，矩陣T的每一個元素都可以是單快拍數(shù)據(jù)xm的函數(shù)，只要滿足T滿足式(21)的約束條件。因此，利用本文提出的偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造模型可以得到多種偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造方法。

文獻(xiàn)[16]提出的加權(quán)求和構(gòu)造方法構(gòu)造的偽協(xié)方差矩陣可表示為：

(22)

(23)

當(dāng)加權(quán)系數(shù)α為波束形成對應(yīng)的系數(shù)時，容易驗(yàn)證式(23)的構(gòu)造形式滿足式(21)的約束條件。

上述分析表明，文獻(xiàn)[9-14]、文獻(xiàn)[16]的偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造方法可以統(tǒng)一在本文提出的構(gòu)造方法模型下。這說明，本文提出的構(gòu)造方法具有極大的靈活性和一般性。

令式(17)中的系數(shù)矩陣T為單位陣，則可得一組常用的偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造方法：

(24)

3 仿真試驗(yàn)及分析

本文提出的模型及構(gòu)造方法具有一般性，可與多種空間譜估計方法結(jié)合。為方便比對分析，仿真時均結(jié)合使用MUSIC算法。

3.1 不同噪聲子空間維度時估計性能對比

設(shè)均勻線陣陣元數(shù)量為13，陣元間距為半波長，2個目標(biāo)位于-5°，6°位置，信噪比變化區(qū)間為-10 dB～30 dB，變化間隔為5 dB。

令系數(shù)矩陣T為單位陣，L1由2增加到10，間隔為2；相應(yīng)的L2由12減小到4，間隔為2。對比不同噪聲子空間維度及文獻(xiàn)[16]構(gòu)造方法的估計性能，結(jié)果如圖1所示。

圖1 不同噪聲子空間維度時估計性能對比

3.2 不同目標(biāo)數(shù)量估計性能對比

保持4.1節(jié)基本仿真參數(shù)不變，3個目標(biāo)位于-10°，6°，15°位置，令系數(shù)矩陣T為單位陣，L1由3增加到7，間隔為2；相應(yīng)的L2由11減小到7，間隔為2。對比不同噪聲子空間維度構(gòu)造方法的估計性能，結(jié)果如圖2所示。

圖2 目標(biāo)數(shù)量為3時不同噪聲子空間維度估計性能對比

由圖2可以看出，隨著信噪比的增加，不同維度噪聲子空間時的估計性能都逐漸變好，最終趨于穩(wěn)定。對比圖1，圖2可以看出，目標(biāo)數(shù)量增加時，相同陣列規(guī)模情況下，角度估計性能有所下降，尤其是在信噪比較低時，性能惡化較為嚴(yán)重。這與常規(guī)空間譜估計方法在相同陣列配置條件下，目標(biāo)數(shù)量增加時的DOA估計性能變化規(guī)律是一致的。

3.3 不同構(gòu)造方法性能對比

圖3 不同構(gòu)造方法估計性能對比

由圖3可以看出，兩種構(gòu)造方法的估計性能隨著信噪比的增加，都逐漸變好，說明二者都是有效的。兩種構(gòu)造方法的估計成功概率曲線及均方根誤差曲線存在微小的差異，這說明兩種構(gòu)造方式的估計性能并不是完全相同的，即使是相同的信噪比、相同的子空間維度，不同的系數(shù)矩陣會對估計性能產(chǎn)生一定程度的影響。這一方面再次證明本文提出構(gòu)造方法的有效性，說明了構(gòu)造方法的靈活性，也提示在某種輸入條件下，應(yīng)存在一個性能較為優(yōu)異的權(quán)系數(shù)矩陣。本文提出的構(gòu)造方法模型為最優(yōu)權(quán)系數(shù)矩陣的確定提供了理論研究基礎(chǔ)和依據(jù)。

4 結(jié) 語

本文針對單快拍情況下大多數(shù)空間譜估計方法失效的問題，在已有利用單快拍陣列接收信號構(gòu)造偽協(xié)方差矩陣的方法模型基礎(chǔ)上，從噪聲子空間與陣列流型矩陣相互正交這一基本性質(zhì)出發(fā)，提出了一種利用奇異值分解獲取噪聲子空間的偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造方法模型。該模型包含了已有的偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造方法模型，是已有構(gòu)造模型的進(jìn)一步一般化，為基于單快拍數(shù)據(jù)構(gòu)造偽協(xié)方差矩陣的這一類方法性能提升提供了理論研究模型。仿真試驗(yàn)和分析驗(yàn)證了本文提出構(gòu)造模型的正確性，相比已有構(gòu)造方法，本文提出方法目標(biāo)角度估計性能更優(yōu)。本文的研究成果具有較好的理論價值和實(shí)用價值。

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2016年4月20日

Single Snapshot DOA Estimation Method Based on SVD

JIANG Bai-feng1, WU Kun1, LV Xiao-de2

(1. China Academy of Electronics and Information Technology，Beijing 100041，China; 2. National Key Laboratory of Microwave Imaging Technology, Institute of Electronics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China)

Most of spatial spectrum estimation methods fail when there is only one valid snapshot. To deal with this issue, an oblong pseudo covariance matrix construction model utilizing array receiving signal based on singular value decomposition (SVD) is proposed. Comparing with the existing Hermitian pseudo covariance matrix construction method, firstly, the equivalent dimensionality of array of the proposing method is higher, which insures a better performance of angle estimation; secondly, the proposing model contains the existing method and is more flexible and general. Theoretical analysis and simulation results verify the correctness and effectiveness of the proposed method and model.

array signal processing, direction-of-arrive (DOA) estimation, single snapshot, singular value decomposition (SVD)

10.3969/j.issn.1673-5692.2017.01.011

2016-11-11

2017-01-15

蔣柏峰(1987—)，男，博士，主要研究方向?yàn)殛嚵行盘柼幚?、無源雷達(dá)信號處理等；

E-mail：jbf_gucas@163.com

吳 琨(1986—)，男，河南人，博士，主要研究方向?yàn)闄C(jī)載雷達(dá)系統(tǒng)；

呂曉德(1969—)，男，河北人，研究員，主要研究方向?yàn)榛陉嚵屑夹g(shù)的新體制雷達(dá)系統(tǒng)及其應(yīng)用。

TN958

A

1673-5692(2017)01-060-07