回歸分析考點(diǎn)剖析

李紅春++彭禮兵

函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系. 回歸分析是確定兩種或兩種以上變量間相互依賴的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法. 下面對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考點(diǎn)作一個(gè)總結(jié)，希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助.

相關(guān)性的判斷

例1 對(duì)變量[x]，[y]有觀測(cè)數(shù)據(jù)[（xi，yi）][（i=1，2，…，10）]，得散點(diǎn)圖（1）；對(duì)變量[u]，[v]有觀測(cè)數(shù)據(jù)[（ui，vi）][（i=1，2，][…，10）]，得散點(diǎn)圖（2）. 由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷（ ）

A. 變量[x]與[y]正相關(guān)，[u]與[v]正相關(guān)

B. 變量[x]與[y]正相關(guān)，[u]與[v]負(fù)相關(guān)

C. 變量[x]與[y]負(fù)相關(guān)，[u]與[v]正相關(guān)

D. 變量[x]與[y]負(fù)相關(guān)，[u]與[v]負(fù)相關(guān)

答案 C

點(diǎn)評(píng) 在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，則兩個(gè)變量為正相關(guān)；點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，則兩個(gè)變量為負(fù)相關(guān).

樣本中心點(diǎn)的性質(zhì)

例2 兩個(gè)相關(guān)變量滿足如下關(guān)系：

[[x] 2 3 4 5 6 [y] 25 ○ 50 56 64 ]

根據(jù)表格已得回歸方程：[y=9.4x+9.2]，但表中有一數(shù)據(jù)模糊不清，請(qǐng)推算該數(shù)據(jù)是（ ）

A. 37 B. 38.5 C. 39 D. 40.5

解析 本題主要考查線性回歸直線的重要性質(zhì)——樣本點(diǎn)的中心在回歸直線上[x=2+3+4+5+65][=4]， [y=9.4×4+9.2=46.8]. 設(shè)看不清的數(shù)據(jù)為[a]，則[25+a+50+56+64=5y=234]，解得，[a=39].

答案 C

點(diǎn)評(píng) 回歸直線方程一定過(guò)樣本中心點(diǎn)[（x，y）]，這是解題的關(guān)鍵.

回歸直線方程的求法

例3 一組數(shù)據(jù)關(guān)系如下所示：

（1）畫出散點(diǎn)圖；

（2）求純利[y]與每天銷售件數(shù)[x]間的回歸直線方程；

（3）若該周內(nèi)某天銷售服裝20件，估計(jì)可獲純利多少元（保留到整數(shù)位）. （回歸直線[y=a+bx]的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：[b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2] ， [a=y-bx]，[i=17xi2=280]，[i=17yi2=45309]，[i=17xiyi=3478].）

解析 （1）散點(diǎn)圖如圖所示.

（2）由散點(diǎn)圖知，[y]與[x]有線性相關(guān)關(guān)系.

∵[i=17xi2=280]，[i=17yi2=45309]，[i=17xiyi=3478]，[x=6，][y=5597]，

∴[a=5597-6×4.75=71914].

∴回歸直線方程為[y=4.75x+5597].

（3）當(dāng)[x=20]時(shí)，[y=4.75×20+71914≈146].

因此，本周內(nèi)某天的銷售為20件時(shí)，估計(jì)這天的純收入大約為146元.

點(diǎn)評(píng) 求回歸方程，關(guān)鍵在于求出系數(shù)[a]，[b]. 由于計(jì)算量大，計(jì)算時(shí)應(yīng)謹(jǐn)慎仔細(xì)，分層進(jìn)行，避免因計(jì)算而產(chǎn)生錯(cuò)誤.

非線性回歸方程向線性回歸方程轉(zhuǎn)化

例4 某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)[x]（單位：千元）對(duì)年銷售量[y]（單位：[t]）和年利潤(rùn)[z]（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的宣傳費(fèi)[xi]和年銷售量[yi]（i=1，2，3，…，8） 數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，[y=a+bx]與[y=c+dx]，哪一個(gè)適宜作為年銷售量[y]關(guān)于年宣傳費(fèi)[x]的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）.

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立[y]關(guān)于[x]的回歸方程.

（3）已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)[z]與[x]，[y]的關(guān)系為[z=0.2y-x]，根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問(wèn)題：

（i）當(dāng)年宣傳費(fèi)[x=49]時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值時(shí)多少？

（ii）當(dāng)年宣傳費(fèi)[x]為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？并求出最大值.

解析 （1）由散點(diǎn)圖可以判斷：[y=c+dx]適宜作為年銷售量[y]關(guān)于年宣傳費(fèi)[x]的回歸方程類型.

（2）令[w=x]，建立[y]關(guān)于[w]的線性回歸方程.

由于[d=i=18wi-wyi-yi=18wi-w2=108.81.6=68]，

[c=y-dw=563-68×6.8=100.6]，

所以[y]關(guān)于[w]的線性回歸方程為[y=100.6+68w].

因此[y]關(guān)于[x]的回歸方程為[y=100.6+68x].

（3）（i）由（2）知，當(dāng)[x=49]時(shí)，

年銷售量[y]的預(yù)報(bào)值[y=100.6+6849=576.6]，

年利潤(rùn)[z]的預(yù)報(bào)值[z=576.6×0.2-49=66.32].

（ii）根據(jù)（2）的結(jié)果知，年利潤(rùn)[z]的預(yù)報(bào)值

[z=0.2×100.6+68x-x=-x+13.6x+20.12.]

故當(dāng)[x=13.62=6.8]，即[x=46.24]時(shí)，[z]取得最大值.

故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.

點(diǎn)評(píng) 回歸直線方程類型的選取往往要抓住圖形特點(diǎn)，從函數(shù)的單調(diào)性、凸凹性加以分析. 本題的精妙之處在于通過(guò)換元將非線性關(guān)系[y=c+dx]轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系[y=c+dw]后，再作統(tǒng)計(jì)分析.

相關(guān)系數(shù)的求法及應(yīng)用

例5 下圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位：億噸）的折線圖. 由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合[y]與[t]的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明.

參考數(shù)據(jù)：[i=17yi=9.32]，[i=17tiyi=40.17]，[i=17（yi-y）2]=0.55，[7≈2.646].

解析 由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的數(shù)據(jù)得：

[t=4]，[i=17（ti-t）2=28]，[i=17（yi-y）2=0.55]，[i=17（ti-t）（yi-y）][=i=17tiyi-ti=17yi=40.17-4×9.32=2.89]，[r≈2.890.55×2×2.646≈0.99].

因?yàn)閇y]與[t]的相關(guān)系數(shù)為[0.99]，說(shuō)明[y]與[t]的相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模擬[y]與[t]的關(guān)系.

點(diǎn)評(píng) 用相關(guān)系數(shù)[r2]來(lái)刻畫變量間的相關(guān)程度，[r2]的值越小，說(shuō)明模型的相關(guān)程度越低.