“數(shù)與式”中的新面孔
何念雪
“數(shù)與式”是中考的??贾R點之一,近年來各地中考涌現(xiàn)了不少新題型,不少題目從新情境、新視角立意,營造了一個充滿靈氣的中考大舞臺,下面摘取數(shù)例加以剖析,與同學(xué)們共同感受其獨特的魅力.
例1(2016·湘潭)多項式x2+1添加一個單項式后可變?yōu)橥耆椒绞剑瑒t添加的單項式可以是_______.(任寫一個符合條件的即可)
【分析】本題添加項可為乘積二倍項或平方項.
解:設(shè)添加的單項式為Q,如果這里首末兩項是x和1這兩個數(shù)的平方,那么中間一項為加上或減去x與1的乘積的2倍,故Q=±2x;如果這里首末兩項是Q和1,則乘積二倍項是,所以,故答案為中任意一個.
【點評】本題為開放性題目,只要符合完全平方式即可,要求非常熟悉公式特點.另外注意題目中要求添加的條件是“單項式”,切不要誤填
例2(2016·永州)我們根據(jù)指數(shù)運算,得出了一種新的運算,如表是兩種運算對應(yīng)關(guān)系的一組實例:
指數(shù)運算21= 2 22= 4 23= 8…31= 3 32= 9 33= 2 7…新運算l o g22 = 1 l o g24 = 2 l o g28 = 3…l o g33 = 1 l o g39 = 2 l o g32 7 = 3…
根據(jù)上表規(guī)律,某同學(xué)寫出了三個式子:①log216=4,②log525=5,③log2=-1.其中正確的是( ).
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
【分析】根據(jù)指數(shù)運算和新的運算法則得出規(guī)律,根據(jù)規(guī)律運算可得結(jié)論.
解:①因為24=16,所以此選項正確;②因為55=3125≠25,所以此選項錯誤;③因為2-1=,所以此選項正確.故選B.
【點評】新定義題是近年的熱點題,它的實質(zhì)是一種規(guī)定,規(guī)定某種運算方式,規(guī)定某個概念的特征性質(zhì),然后要求參考者按照規(guī)定去計算、求值,理解概念,解決問題.
例3(2016·安順)根據(jù)如圖所示的程序計算,若輸入x的值為1,則輸出y的值為_________.
【分析】觀察圖形我們可以得出x和y的關(guān)系式為:y=2x2-4,因此將x的值代入就可以計算出y的值,如果計算的結(jié)果小于0,則需要把結(jié)果再次代入關(guān)系式求值,直到算出的值大于0為止,即可得出y的值.
解:由題中的計算程序列出算式:12×2-4,由于12×2-4=-2,-2<0,∴應(yīng)該按照計算程序繼續(xù)計算:(-2)2×2-4=4,∴y=4.
【點評】本題考查了程序運算,解題時應(yīng)先認(rèn)真觀察程序的意義,然后將字母的值代入求解,注意分步驟落實,這樣在解題的過程中比較容易檢測過程的正確性.
1.圖形類規(guī)律題.
例4(2016·荊州)如圖,用黑白兩種顏色的菱形紙片,按黑色紙片數(shù)逐漸增加1的規(guī)律拼成下列圖案.若第n個圖案中有2017個白色紙片,則n的值為( )
A.671 B.672 C.673 D.674
【分析】由圖知:第1個圖案有4個白色菱形紙片,第2個圖案有7個白色菱形紙片,第3個圖案有10個白色菱形紙片……從而可知每個圖案都比前一個圖案多3個白色菱形紙片,用含n的代數(shù)式表示此規(guī)律,最后根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律列出方程求解.
解:認(rèn)真觀察圖形,確定圖形變化規(guī)律:第1個圖案有4個白色菱形紙片,第2個圖案有7個白色菱形紙片,以后每個圖案都比前一個圖案多3個白色菱形紙片,所以第n(n是正整數(shù))個圖案中的白色菱形紙片的個數(shù)為3n+1,所以3n+1=2017,n=672,故選B.
【點評】解決此類問題應(yīng)先觀察圖形的變化趨勢,從第一個圖形開始進(jìn)行分析,是逐漸增加還是逐漸減少,相鄰兩個圖形的變化量與位置序號有怎樣的關(guān)系.如果所求圖形的位置序號較大時,需要運用從特殊到一般的探索方式,分析歸納找出增加或減少的變化規(guī)律,并用含n的代數(shù)式表示出來解題.
2.數(shù)字類規(guī)律題.
例5(2016·黃石)觀察下列等式:
第1個等式:a1=
第2個等式:a2=
第3個等式:a3=
第4個等式:a4=
……
按上述規(guī)律,回答以下問題:
(1)請寫出第n個等式:an=_______;
(2)a1+a2+a3+…+an=_________.
【分析】(1)①觀察所給等式第一個等號的右邊,歸納規(guī)律:分子都為1,分母是兩個二次根式的和,并且兩個二次根式的被開方數(shù)是連續(xù)整數(shù),且較小的被開方數(shù)與等式的序號相同;②觀察所給等式第二個等號的右邊,歸納規(guī)律:是將第二個等號的左邊進(jìn)行分母有理化.(2)先將a1、a2、a3、a4、…、an代入,再將每個式子分母有理化即可求值.
解:(1)觀察題中提供的等式可知,a1是被開方數(shù)從1開始的兩個連續(xù)整數(shù)的二次根式的和的倒數(shù),a2是被開方數(shù)從2開始的兩個連續(xù)整數(shù)的二次根式的和的倒數(shù),a3是被開方數(shù)從3開始的兩個連續(xù)整數(shù)的二次根式的和的倒數(shù),……,于是猜想,再分母有理化得.(2)a1+a2+a3+…+an=故答案為:(1)
【點評】規(guī)律探究問題,一般從最簡單的幾個數(shù)、式或圖形觀察、分析、發(fā)現(xiàn),再由特殊到一般,猜想、歸納、總結(jié)出規(guī)律(用代數(shù)式或等式表示),最后進(jìn)行驗證,確認(rèn)規(guī)律是正確的.
小試身手
1.(2016·雅安)P為正整數(shù),現(xiàn)規(guī)定P!= P(P-1)(P-2)×…×2×1,若m!=24,則正整數(shù)m=_________;
2.(2016·棗莊)一列數(shù)a1,a2,a3,…滿足條件:(n≥2,且n為整數(shù)),則a2016=_________.
3.(2016·新疆)如圖,下面每個圖形中的四個數(shù)都是按相同的規(guī)律填寫的,根據(jù)此規(guī)律確定x的值為_________.
4.(2016·廣安)我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝用三角形解釋二項和的乘方規(guī)律,稱之為“楊輝三角”.這個三角形給出了(a+b)n(n=1,2,3,4,…)的展開式的系數(shù)規(guī)律(按a的次數(shù)由大到小的順序).
1 1 (a+b)1=a+b
1 2 1 (a+b)2=a2+2ab+b2
1 3 3 1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
1 4 6 4 1 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4…… ……
5.(2016·宜賓)規(guī)定:logab(a>0,a≠1,b>0)表示a,b之間的一種運算.
現(xiàn)有如下的運算法則:logaan=n.logNM=(a>0,a≠1,N>0,N≠1,M>0).
例如:log223=3,log25=,則log1001000 =_________.
6.(2016·東營)在求1+3+32+33+34+35+36+ 37+38的值時,張紅發(fā)現(xiàn):從第二個加數(shù)起每一個加數(shù)都是前一個加數(shù)的3倍,于是她假設(shè):S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①,然后在①式的兩邊都乘3,得:3S=3+32+33+34+35+36+37+38+ 39②,
②-①得:3S-S=39-1,即2S=39-1,
得出答案后,愛動腦筋的張紅想:如果把“3”換成字母m(m≠0且m≠1),能否求出1+m+ m2+m3+m4+…+m2016的值?如能求出,其正確答案是:_________.
(作者單位:江蘇省海門市初級中學(xué))
(關(guān)注公眾號,回復(fù)“2017年3月數(shù)學(xué)”查答案)