豐富低段學(xué)生等號代數(shù)意義的實踐與探索

顏金國

【摘 要】等號意義包括運算意義和代數(shù)意義。低段是等號意義理解的重要時期，對等號代數(shù)意義的理解是今后代數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。教學(xué)中，教師可以從“改編創(chuàng)生情境，凸顯等號的本質(zhì)含義；體驗平衡材料，理解等號的代數(shù)意義；構(gòu)建不同等式，培養(yǎng)等號的結(jié)構(gòu)意識；整體入手分析，增強等號的關(guān)系意義”這四個方面來豐富低段學(xué)生等號代數(shù)意義，從而促進低段學(xué)生代數(shù)思維的萌發(fā)。

【關(guān)鍵詞】滲透 等號 代數(shù)意義 代數(shù)思維 低段

“=”是小學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的符號之一，等號意義包括運算意義和代數(shù)意義，對等號代數(shù)意義的理解是今后代數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。低段是等號概念理解的重要時期。因此，了解學(xué)生對等號概念的發(fā)展情形，給予適切教學(xué)情境的安排，可提高學(xué)生對等號代數(shù)意義的理解，提升學(xué)生代數(shù)解題的能力。

一、重整問題情境，凸顯等號的本質(zhì)含義

現(xiàn)有低段教材，對有關(guān)問題的安排與等式的記錄，大多呈現(xiàn)等號左邊運算、右邊答案的模式，這樣的安排不利于學(xué)生對等號意義的全面理解，思維方式也會逐漸固化。這就需要教師根據(jù)問題情境進行創(chuàng)生或適當(dāng)改編一些教學(xué)素材。

（一）改編問題情境，凸顯等號的本質(zhì)含義

在一年級上冊的“加法的認(rèn)識”中，教材例題（見圖1）：小丑手里有3個紅氣球，又拿來了1個藍(lán)氣球，問合起來是多少個氣球？這個例子可以很好地體現(xiàn)加法的意義——合并，但從等號意義教學(xué)的角度來說，這個例題忽略了“=”的本質(zhì)含義。我們可以對例題作如下改編：先出示甲、乙兩個小丑，甲小丑有3個氣球，乙小丑有4個氣球，誰的氣球多？通過怎樣的變化后，兩邊小丑的氣球數(shù)量就一樣多？（見圖2）

學(xué)生通過“對應(yīng)”可以抽象出誰比誰多，學(xué)生在直觀的感知中可以明確地感受到：左邊的3個與后放入的1個組成了4個，左邊的數(shù)量與右邊的數(shù)量是相等的，可以很好地向?qū)W生解釋“3+1=4”，從而抽象出“+“和“=”的意義，加號表示在原有的數(shù)量上增加，等號表示兩邊的數(shù)量相等。

（二）創(chuàng)設(shè)問題情境，凸顯等號的本質(zhì)含義

學(xué)生以直觀為主的思維方式理解數(shù)學(xué)的抽象本質(zhì)，這對教師來說更是一個巨大的挑戰(zhàn)。像這樣基于學(xué)生的簡單操作活動，以直觀的方式體會數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)，可以很好地幫助學(xué)生代數(shù)思維的萌發(fā)，積累代數(shù)活動經(jīng)驗。

見圖3，在反饋中出現(xiàn)了兩種方法：23-6=17、17+6=23。前者是以問題“盒子中有幾個皮球”為歸宿，根據(jù)“總數(shù)-部分?jǐn)?shù)=部分?jǐn)?shù)”來思考，這是算術(shù)方法；后者的方法則是把問題作為已知量共同參與運算，根據(jù)“盒子中的個數(shù)+盒子外的個數(shù)=總個數(shù)”這一相等關(guān)系來思考，這就是一種代數(shù)方法，也是方程的雛形。

創(chuàng)生這樣的問題情境，可以讓學(xué)生在發(fā)展算術(shù)思維的同時發(fā)展代數(shù)思維。在設(shè)計時，重點要讓學(xué)生建立起相等的關(guān)系，即左邊=右邊，這也正是“=”的本質(zhì)含義，把未知量放在與已知量同等的地位。

二、體驗平衡材料，理解等號的代數(shù)意義

（一）玩轉(zhuǎn)數(shù)字天平，感悟等號的平衡意義

數(shù)字天平（見圖4）適合一年級學(xué)生體驗操作，它有多塊相同的重量板，兩邊各有數(shù)字、掛鉤，只要把重量板掛在相應(yīng)的數(shù)字掛鉤上，對應(yīng)的重量數(shù)字就是幾。

環(huán)節(jié)一：讓學(xué)生初步體驗數(shù)字天平玩法，感悟由不平衡的“>”或“<”到平衡的“=”。

環(huán)節(jié)二：組織學(xué)生分別用2塊、3塊、4塊相同的重量板來制造平衡，并用等式來表示。

環(huán)節(jié)三：討論引導(dǎo)出三種等式結(jié)構(gòu)，即數(shù)字與數(shù)字（4=4）、數(shù)字與式子（6=2+4、9=2+3+4）、式子與式子（3+5=6+2）。在天平平衡與等號之間建立相等的關(guān)系。

學(xué)生通過操作發(fā)現(xiàn)，同數(shù)就是等式、等量就是等式、總和相等就是等式。不管兩邊放幾塊重量板，只要左右兩邊的總和相等，天平就會平衡。這時，學(xué)生對等式意義的理解就更加全面、深入。

（二）借助直觀天平，滲透等號的等價意義

二年級圖示天平教學(xué)，以天平為支撐，初步滲透等式的性質(zhì)，感悟多種等式結(jié)構(gòu)；在列出等式的過程中，進一步理解等號表示左右兩邊相等的等價意義。其中片段如圖5：

師：這幾幅天平圖可以用等號連接嗎？為什么？你會用式子來表示嗎？

生：○=△+△，○=☆+△，60+5=□-5……

師：用等號連接的式子我們叫它為等式。你能把不平衡的天平圖變成平衡嗎？（創(chuàng)設(shè)讓不平衡變成平衡的情境，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造熱情）

……

鞏固用符號化表征天平圖的表示方法，讓學(xué)生進一步體會和理解天平平衡與“=”之間的聯(lián)系，理解等號表示天平兩邊平衡的關(guān)系，從而理解等號的等價意義。

三、構(gòu)建不同等式，培養(yǎng)等號的結(jié)構(gòu)意識

在小學(xué)低段，等號最初是作為得出運算結(jié)果而出現(xiàn)的，但是經(jīng)過一定階段后，學(xué)生對等號的認(rèn)識在適當(dāng)?shù)臅r候要尋求突破，積極主動地構(gòu)建多樣化、不同結(jié)構(gòu)的等式，有助于學(xué)生進一步理解等號的內(nèi)涵與意義。

（一）結(jié)果在左的等式結(jié)構(gòu)

數(shù)與算式的結(jié)果等值，主要結(jié)構(gòu)有：A=□+□，A=□+□+□，A=□-□等?？梢詭椭鷮W(xué)生打破算式總在左邊，結(jié)果一定在右邊的觀念。如一年級“10以內(nèi)數(shù)的加減”，出示7=□+3，它與3+4=7的運算意義不同，前者表示為一個數(shù)尋找等值的運算，后者表示一個運算得到的結(jié)果。A=□+□，從算術(shù)的角度可理解為數(shù)的分解，從代數(shù)的角度可理解為數(shù)與式等值，這有助于學(xué)生對等號含義的進一步理解，是學(xué)生代數(shù)思維的最初啟蒙。

（二）式與式的等式結(jié)構(gòu)

一個算式與另一個算式的結(jié)果等值，這就組成了式與式的等式結(jié)構(gòu)，主要結(jié)構(gòu)有：□+□=□+□，□-□=□-□，□+□+□=□+□+□等。比如最典型的加法等式□+5=□+4，但是學(xué)生在解題中只是看到了兩個算式的和相等而不是把兩個算式看作一個整體，那么學(xué)生對等式的理解仍沒有得到實質(zhì)性擴展。隨著學(xué)習(xí)的深入，可以進一步拓展，比如□-18=□-17，15-7-2=15-□，3+4+5=4×□等。隨著知識面的不斷拓寬，該類題拓展的余地和空間也是越來越多。

（三）多個等號的等式結(jié)構(gòu)

多個算式的結(jié)果等值，典型的結(jié)構(gòu)有：□+□=□+□=□+□，□×□=□×□=□×□等。如把4、5、6、7、8、9這六個數(shù)分別填在□里：□+□=□+□=□+□。這是對學(xué)生進行等值訓(xùn)練，在增加配對次數(shù)情況下進一步掌握配對的方法，幫助學(xué)生突破對等號固有的狹隘理解。又如8+8+7+7=□×□+□=□×□-□=□×□+□×□，要求根據(jù)數(shù)據(jù)改編為乘加、乘減以及兩積之和的形式，可以幫助學(xué)生進一步理解乘法的意義，有效溝通加法與乘法之間的聯(lián)系。事實上，把兩種不同的運算用等號連接，可以使學(xué)生對等號表示相等值的式子有進一步的認(rèn)識。

四、整體入手分析，增強等號的關(guān)系意義

低段學(xué)生基于運算的算術(shù)思維多，造成學(xué)生關(guān)系分析能力薄弱。幫助學(xué)生從等號的運算意義過渡到等號的代數(shù)意義，是兒童必須經(jīng)歷的一個重要階段。

（一）精心設(shè)計，運用關(guān)系解題的算式問題

第一，條件限制。比如，38+34=37+□。不計算，你能知道□中填幾嗎？由于條件的限制，學(xué)生就盡量不去用純運算的方法來進行計算，勢必會從觀察、分析這幾個數(shù)的關(guān)系和特點入手來解決。

第二，教師提出指示性的問題。比如，出示□+5=4+○后問，□與○之間存在怎樣的關(guān)系呢？它們相差多少？學(xué)生在老師的引導(dǎo)下會根據(jù)和不變，利用兩個已知數(shù)的關(guān)系來解決□與○之間的關(guān)系。

第三，用字母或其他符號來表示。比如，A-37-23= A-□；△+29=78，那么△+30=（ ）。由于題中的某個量用字母表示了，學(xué)生就不能用直接計算的方法來求出結(jié)果，可以引導(dǎo)學(xué)生用關(guān)系分析法來解決。

（二）整體入手，運用關(guān)系分析來解題

等號的代數(shù)意義要求我們從整體來把握結(jié)構(gòu)，把未知量與已知量放在同等位置，認(rèn)真觀察和分析各個數(shù)或量之間的特點和關(guān)系，來發(fā)現(xiàn)規(guī)律并解決問題。

如以□-18=□-17為例，這是一道開放的題目，該題要根據(jù)兩個減數(shù)之間的關(guān)系及變化情況，找出其中規(guī)律，得出兩個被減數(shù)之間的關(guān)系，再來填寫，解答該題的關(guān)鍵是引導(dǎo)并發(fā)現(xiàn)差不變，減數(shù)減少1了，被減數(shù)也要減少1，兩個減數(shù)之間相差1，兩個被減數(shù)之間也存在差為1的關(guān)系，學(xué)生再根據(jù)這個規(guī)律來進行填寫，將關(guān)系分析的過程表征。

（三）嘗試歸納，感悟等式的性質(zhì)和規(guī)律

學(xué)生可以在等號的關(guān)系分析和不斷訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，通過合情推理得出一些性質(zhì)和規(guī)律。

如解決“23+15=26+（ ）”，在運用關(guān)系分析策略解題的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進行歸納：一個加數(shù)增加了3，另一個加數(shù)就要減少3。這其實就是和不變的規(guī)律。又如教學(xué)“連減問題”，在討論并列式計算出85-40-26=85-（40+26）后，教師可以提問：你也來選擇三個數(shù)模仿著試一下。你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？如果用□、○、△來表示這三個數(shù)，該怎么表示？歸納為□-○-△=□-（○+△）的形式。再如，“1253-569+569=1253正確嗎？”可以讓學(xué)生通過計算來驗證上面的一系列等式是否正確，然后引導(dǎo)學(xué)生思考，這樣的一系列等式有什么規(guī)律？最后，我們可以向?qū)W生介紹下面的表達(dá)式：□-○+○=□（“□”和“○”均代表數(shù)字），并引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到：無論第一個數(shù)是什么，只要保證減去和再加上的數(shù)是同一個數(shù)，它們的結(jié)果是不變的。

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（浙江省杭州市富陽區(qū)富春第四小學(xué) 311400）