基于問題驅(qū)動的“直線與圓的位置關(guān)系”教學設計與啟示

朱廣科

摘 要：基于問題引領(lǐng)下的數(shù)學教學是指學生在問題驅(qū)動下開展的數(shù)學學習活動，是能最大限度地開發(fā)智力的一種相對穩(wěn)定的教學策略.在《直線和圓的位置關(guān)系》教學中，知識與問題相結(jié)合，分層設置問題鏈，層層推進，這樣的教學既建立了知識間的相互聯(lián)系，又能有效促進學生善思好問、質(zhì)疑反思等良好數(shù)學習慣的養(yǎng)成，豐富課堂內(nèi)容.

關(guān)鍵詞：問題驅(qū)動；直線與圓；創(chuàng)新課堂

問題驅(qū)動策略是指學生在問題驅(qū)動下開展數(shù)學學習活動，并借助他人的幫助和自身的努力，利用必要的學習資源，通過自主、合作、探究學習獲得知識的建構(gòu)和能力提高，高效率地掌握雙基，最大限度地開發(fā)智力的一種相對穩(wěn)定的教學策略.問題驅(qū)動策略要立足于師生發(fā)展的需要，其實施者可以是學習共同體中的任何成員，即師生、生生之間可以通過問題來相互驅(qū)動，其中的問題可以是預設的，也可以是動態(tài)生成的，最終目的是培養(yǎng)學生自我內(nèi)驅(qū)動力的增強，提高元認知能力，實現(xiàn)由“他驅(qū)動”向“自驅(qū)動”的轉(zhuǎn)化.

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

《直線與圓的位置關(guān)系》是初中數(shù)學中的重要教學內(nèi)容之一，在現(xiàn)實生活與生產(chǎn)實際中也有非常廣泛的應用.一方面，直線與圓的位置關(guān)系是在學生學習了點與圓的位置關(guān)系以后學習的又一種圖形與圖形之間的位置關(guān)系，它是對點與圓的位置關(guān)系的鞏固與深化；另一方面，直線與圓的位置關(guān)系又是后面學習圓與圓的位置關(guān)系的基礎(chǔ)，在其研究過程中涉及歸納、類比以及數(shù)形結(jié)合等諸多重要數(shù)學思想方法，這些方法對圓與圓位置關(guān)系的研究也具有很好的啟發(fā)與類比作用；同時，本節(jié)課的學習還可以為高中解析幾何中進一步運用解析法研究直線與圓的位置關(guān)系提供直觀基礎(chǔ)，可以說本節(jié)內(nèi)容的學習起了承上啟下的作用.另外，直線與圓的位置關(guān)系在其他學科以及我們的現(xiàn)實生活和生產(chǎn)實際中也具有十分廣泛的應用.可見，學好直線與圓的位置關(guān)系，不僅對本學科的學習具有十分重要的作用，而且對學習其他學科以及今后從事生產(chǎn)勞動都具有非常重要的指導作用.因此，在深入分析教材的基礎(chǔ)上對本節(jié)課進行科學合理的設計，不僅有助于提高本節(jié)課的教學效率，而且對后續(xù)內(nèi)容的學習也具有非常深遠的影響.

二、目標和目標解析

（一）教學目標

1.知道直線與圓的三種位置關(guān)系，能根據(jù)公共點的個數(shù)及“數(shù)量關(guān)系”判斷直線和圓的位置關(guān)系，會運用切線的性質(zhì)解決簡單的數(shù)學問題.

2.通過類比點和圓的位置關(guān)系的探索方法探究直線和圓的位置關(guān)系，從中感受類比及轉(zhuǎn)化的思想方法.

3.在操作、類比、歸納、交流等數(shù)學活動中，體會學習數(shù)學的樂趣，逐步培養(yǎng)學好數(shù)學的自信心；在感受直線與圓的相對運動過程中，逐步培養(yǎng)運動變化的辯證唯物主義觀點.

（二）目標解析

本節(jié)課的主要知識點包括直線與圓的三種位置關(guān)系及相關(guān)概念、這三種位置關(guān)系的性質(zhì)定理和判定定理等，因此知識與技能目標主要有掌握直線和圓位置關(guān)系的內(nèi)涵（定義）與外延——相交、相切、相離，并根據(jù)定義來判斷直線和圓的位置關(guān)系，學會根據(jù)直線和圓相切的定義畫出已知圓的切線；根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑之間的數(shù)量關(guān)系，判斷直線和圓的位置關(guān)系等.

直線與圓的位置關(guān)系的研究主要采取與上一節(jié)點與圓的位置關(guān)系進行類比的方法來進行，相交、相切、相離這三個概念的本質(zhì)屬性的探索需要用到歸納思想方法，而這三種位置關(guān)系的性質(zhì)定理和判定定理的探索發(fā)現(xiàn)又要從“形”與“數(shù)”兩方面來進行，因此確定本節(jié)課的過程與方法目標為經(jīng)歷類比點和圓的位置關(guān)系的研究過程，從“形”與“數(shù)”兩方面來探究直線和圓的位置關(guān)系，并從中感受歸納、類比及數(shù)形結(jié)合的思想方法.

本節(jié)課中涉及觀察、操作、自主探索、合作交流等諸多學習方法，這些方法不僅容易操作，而且貼近學生的年齡特點，有利于激發(fā)學生探索發(fā)現(xiàn)的積極性.因此，本節(jié)課的情感態(tài)度價值觀目標確定為在經(jīng)歷操作、類比、歸納、交流等數(shù)學活動中，體會學習數(shù)學的樂趣，逐步培養(yǎng)學好數(shù)學的自信心；在感受直線與圓的相對運動過程中，逐步培養(yǎng)運動變化的辯證唯物主義觀點.

直線和圓的三種位置關(guān)系從“形”的方面來看，主要是看它與圓的交點個數(shù)，由于其比較直觀，這對學生來說，并沒有多大困難，而且容易激發(fā)學生的探究興趣，因此應將其作為本節(jié)課的教學重點；直線和圓的三種位置關(guān)系從“數(shù)”的方面來看，主要是看圓心到直線的距離與圓的半徑之間的大小關(guān)系，這一點并不像判斷直線與圓的交點個數(shù)那么直觀，需要通過教師的精心引導和啟發(fā)才能發(fā)現(xiàn)，因此，通過數(shù)量關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系，既是本節(jié)課的重點，同時也是本節(jié)課的難點.

三、教學過程設計

（一）創(chuàng)設情境 引入課題

我們在上一節(jié)課已經(jīng)學習了點和圓的位置關(guān)系，那么請同學們說一說，點和圓的位置關(guān)系有哪幾種？我們又是如何判斷點和圓的位置關(guān)系的？如果學生回答有困難，我將向?qū)W生呈現(xiàn)下面的表格，并引導學生一起完成下面的表格.

【設計意圖】復習的目的一方面是為了鞏固上節(jié)課剛學的知識，另一方面，也是為新知識的學習提供先行路徑.需要注意的是，在帶領(lǐng)學生復習點和圓的位置關(guān)系時，教師要注意引導學生用點到圓心的距離和圓半徑作比較，來判斷點和圓的位置關(guān)系，從而為用數(shù)量關(guān)系來判斷直線和圓的位置關(guān)系做好鋪墊.

在復習了點和圓的位置關(guān)系之后，引導學生欣賞下面的動畫：

一輪紅日從海上冉冉升起，它穿過海平面，越升越高，直到最后完全升到海平面以上.

在看完視頻以后，教師立即提問學生：剛才看到的動畫漂亮嗎？你們能看出其中的數(shù)學問題嗎？

如果學生不能看出其中的數(shù)學問題，那么教師可以給予適當?shù)膯l(fā)：“如果把太陽的輪廓當作一個圓，把地平線近似地看作一條直線，那么直線和圓位置關(guān)系有哪些？”這樣可以使學生的思考方向更加明確.

【設計意圖】從人們熟悉的太陽東升西落問題展開，讓學生感受生活中反映直線與圓的位置關(guān)系的現(xiàn)象，這樣設計不僅可以讓學生親身體會到現(xiàn)實生活中的數(shù)學知識，增強學生學習的趣味性，而且可以更好地體現(xiàn)回歸生活的教育理念.同時，讓學生從身邊熟悉的現(xiàn)象中抽象出數(shù)學問題，更好地培養(yǎng)學生的抽象能力和用數(shù)學的眼光觀察世界的態(tài)度.

在回答問題的過程中，學生一般都能把海平面想象成一條直線，把太陽看作一個圓，并說出直線與圓可能有三種位置關(guān)系.但是，需要注意的是太陽與海平面本身是不可能相交的，因此，教師要提醒學生這是想象，而不是太陽與海平面真的相交與相切.

（二）合作交流 探究新知

在學生發(fā)現(xiàn)直線與圓有三種不同的位置關(guān)系以后，教師可以進一步提問學生：你判斷直線與圓具有三種不同位置關(guān)系的依據(jù)（或分類標準）是什么？

【設計意圖】提出這一問題的目的，是引導從直線與圓的交點個數(shù)，來判斷直線與圓的位置關(guān)系，由于學生在上一節(jié)課已經(jīng)學習了點與圓的位置關(guān)系，因此，只要教師適當加以啟發(fā)，學生通過類比，就發(fā)現(xiàn)可以按照交點個數(shù)，來對直線與圓的位置關(guān)系進行分類.這一探索過程，不僅涉及類比思想，還涉及分類的思想，提出這一問題不僅有助于學生掌握科學思維的一般方法，還有利于學生養(yǎng)成用數(shù)學的思維方法分析世界的態(tài)度.

需要注意的是可能有少數(shù)學生在進行分類時認為直線與圓的公共點有可能是一個公共點、兩個公共點、三個公共點或者是沒有公共點，因而提出直線與圓的位置關(guān)系一共有四種關(guān)系，這時教師要提醒學生按照圓的定義，圓是不包括圓心的，因此，直線與圓的交點個數(shù)不可能是三個.

弄清楚了直線與圓具有三種不同的位置關(guān)系及其分類標準以后，接下來要做的就是對這三種關(guān)系分別進行命名.雖然命名是數(shù)學家的事，學生也很難提出和數(shù)學家一模一樣的名稱，但是命名本身也是一種發(fā)現(xiàn)，命名在某種意義上來說是思維發(fā)展到一定程度的必然產(chǎn)物，因此，引導學生自己命名不僅可以讓學生把自己的思想用精煉、概括的數(shù)學語言充分地表達出來，培養(yǎng)學生運用數(shù)學語言表達世界的意識，而且通過學生自己命名，可以激發(fā)學生探索發(fā)現(xiàn)的積極性和主動性，使學生體驗獲得發(fā)現(xiàn)的成就感.此時，教師可以嘗試性地提出以下問題：剛才大家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了直線與圓具有三種不同的位置關(guān)系，你們能不能根據(jù)你們自己的經(jīng)驗給它們分別取個名字呢？

在這里，學生最容易想到的是模仿點與圓的三種位置關(guān)系來進行命名，得到直線在圓外、圓上和圓內(nèi)這三種情況，學生這樣命名也很正常，教師這時不應急于指出學生的錯誤，而應首先肯定“直線在圓外”這種說法的合理性，但對其他兩種名稱則可以通過“你覺得這樣命名合理嗎？”這樣的反問來讓學生發(fā)現(xiàn)這兩種命名的不合理之處，然后再通過與直線之間位置關(guān)系的類比，引導學生發(fā)現(xiàn)“直線與圓相交”這一名稱，至于“直線與圓相切”這一名稱要學生來發(fā)現(xiàn)是很困難的，這時教師可以通過“你們想看看數(shù)學家們是怎樣命名的嗎？”這樣的問題來自然而然地引出來.

在學生通過探索發(fā)現(xiàn)直線和圓的三種位置關(guān)系及其名稱以后，接下來教師可以進一步提問學生：“你們還能用別的辦法來判斷直線與圓的位置關(guān)系嗎？”

【設計意圖】提出這一問題的目的，是讓學生在前面已經(jīng)掌握從“形”的角度，來判定直線與圓位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，進一步引導學生從“數(shù)”的角度，來探究直線與圓的位置關(guān)系.在這方面，學生是有一定基礎(chǔ)的，因為在上一節(jié)學生已經(jīng)學過用點到圓心的距離和圓半徑作比較，來判斷點和圓的位置關(guān)系的方法，并且經(jīng)歷探索判斷點和圓位置關(guān)系的研究過程；而且在課前，通過提問和學案，復習了點和圓的位置關(guān)系，并且強化了用圓心與點的連線與圓的半徑作比較來判斷點和圓的位置關(guān)系這一方法，這些前期準備工作，可以為學生的探究提供堅實的類比和聯(lián)想的基礎(chǔ).即使學生實在想不到，教師也可以通過“剛才我們是怎樣判斷直線與圓的位置關(guān)系的？”“是從什么角度來思考問題的？”或“上一節(jié)我們是如何判定點和圓的位置關(guān)系的？”“能否類比點和圓的位置關(guān)系的判定方法，來判定直線與圓的位置關(guān)系？”等引導性的提示語來對學生進行啟發(fā)，經(jīng)過這樣的不斷啟發(fā)，學生基本能夠發(fā)現(xiàn)利用數(shù)量關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系這一方法.

（三）歸納猜想 驗證發(fā)現(xiàn)

剛才大家通過和點與圓的位置關(guān)系判斷方法進行類比，發(fā)現(xiàn)利用圓心到直線的距離與圓半徑之間的大小關(guān)系做比較的方法來判定直線和圓的位置關(guān)系.這個結(jié)論是通過觀察和實驗得到的，這樣得到的結(jié)論是否一定正確？如何才能確保它的正確性呢？

【設計意圖】設計這一問題的目的，是要引導學生將猜想獲得的結(jié)論通過推理進行驗證，這種先猜后證的思想不僅是科學研究的基本方法，而且也是新課程標準大力倡導的教學理念.

需要注意的是，在這一證明過程中，證明dr時直線與圓相切比較容易，而證明d=r時直線與圓相切學生會有一定困難，此時教師應適當加以引導.

講到這里，教師可以引導學生對直線與圓的位置關(guān)系的三種判斷方法進行歸納，并向?qū)W生說明這三種關(guān)系有且只有一種成立.另外，還應該強調(diào)圓心到直線的距離與圓半徑的比較，既可以作為各種位置關(guān)系的判斷方法，也可以看作是各種位置關(guān)系所具有的性質(zhì).同時可以通過讓學生填寫下表的方式來鞏固所學的知識.

（四）課堂小結(jié) 梳理新知

課堂小結(jié)時，教師可以提出下列問題引導學生在表格中總結(jié)本節(jié)課所學的知識.

（1）通過直線與圓的位置關(guān)系的判斷，你學到了什么？

（2）判斷直線與圓的位置關(guān)系有幾種方法？它們的特點是什么？

（3）如何求出直線與圓的相交弦長？

【設計意圖】通過這些題目，可以讓學生系統(tǒng)梳理本節(jié)課所學的知識，同時提問學生“你學到了什么？”可以將學生的收獲延伸到過程與方法、情感態(tài)度與價值觀等方面，有利于更好地落實新課程標準所倡導的三維教學目標.

四、結(jié)語

作為數(shù)學教材來說，其編排的內(nèi)容常像數(shù)學科學本身一樣具有“二重性”，一方面是數(shù)學邏輯推理等形成的嚴謹性；另一方面在艱深的數(shù)學原理背后常常隱藏著許多生動形象的探索故事，而推動數(shù)學家們做出數(shù)學成功并驅(qū)動他們成功的動因，卻常常是基于一些樸素的、原始的、簡單的、本原性的問題.因此，才有問題驅(qū)動策略來反思數(shù)學知識結(jié)構(gòu).這不僅要關(guān)注學生的學習情感體驗，而且也是基于數(shù)學本質(zhì)——“用問題驅(qū)動的數(shù)學”的教學.問題驅(qū)動下的課堂教學，不僅可以創(chuàng)新課堂教學的方式，而且可以引發(fā)學生數(shù)學思考，逐步實現(xiàn)由“學會”到“會學”的轉(zhuǎn)變，有利于學生今后的終身學習.