有界窄帶激勵下的電磁開關(guān)系統(tǒng)主共振分析

楊志安，趙利沙

（1.唐山學(xué)院 唐山市結(jié)構(gòu)與振動工程重點實驗室，河北 唐山 063000；2.華北理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，河北 唐山 063000）

有界窄帶激勵下的電磁開關(guān)系統(tǒng)主共振分析

楊志安1，趙利沙2

（1.唐山學(xué)院 唐山市結(jié)構(gòu)與振動工程重點實驗室，河北 唐山 063000；2.華北理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，河北 唐山 063000）

以電磁開關(guān)系統(tǒng)為研究對象，研究電路與磁路耦合系統(tǒng)在有界窄帶激勵下的強非線性振動問題。建立電磁開關(guān)強非線性系統(tǒng)在有界窄帶激勵下的隨機微分方程。應(yīng)用改進的多尺度法得到系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)方程，對窄帶激勵下系統(tǒng)主共振的穩(wěn)定性進行計算，并分析系統(tǒng)各參數(shù)對系統(tǒng)主共振均方值的影響。結(jié)果表明，增大阻尼系數(shù)可以減小系統(tǒng)主共振的均方值；增大激勵電壓可以增大系統(tǒng)主共振的均方值；增大電阻可以減小系統(tǒng)主共振的均方值；增大隨機擾動強度，極限環(huán)變化不大。

振動與波；電磁開關(guān)；改進多尺度法；窄帶激勵；均方值；強非線性振動

近年來，隨著汽車市場的迅速發(fā)展，汽車已經(jīng)成為日常生活中不可分割的重要組成部分。汽車起動機是汽車發(fā)動機的關(guān)鍵零部件，現(xiàn)代汽車中幾乎每輛汽車都在使用，而電磁開關(guān)又是汽車起動機中的一種重要的控制元件，其工作原理是線圈通電后產(chǎn)生電磁吸力，使活動鐵芯移動，接通勵磁繞組電路，產(chǎn)生勵磁，電樞工作，從而帶動發(fā)動機起動。斷電后，活動鐵芯在彈簧力下復(fù)位，等待下次啟動[1]。電磁開關(guān)的設(shè)計質(zhì)量直接影響起動機的可靠性，因此對電磁開關(guān)的研究具有十分重要的意義。

文獻[2]闡述了起動機用電磁開關(guān)的工作原理，依據(jù)原理探討引起電磁開關(guān)觸片、觸點燒蝕的主要原因，并給出改善措施。文獻[3]闡述了電磁開關(guān)的組成及傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式的利弊分析，并進行改進。文獻[4]研究非線性電阻電感型RLC串聯(lián)電路的非線性振動，應(yīng)用多尺度法，得到系統(tǒng)滿足主共振條件的一次近似解以及對應(yīng)的定常解。文獻[5]研究環(huán)形極板機電耦合系統(tǒng)的強非線性問題。應(yīng)用多尺度法求得系統(tǒng)的主共振的幅頻響應(yīng)曲線，分析了不同系統(tǒng)參數(shù)對共振的影響。文獻[6]研究了Vander Pol-Duffing振子在窄帶隨機噪聲激勵下的響應(yīng)問題。用參數(shù)變換法使方程出現(xiàn)小參數(shù)，用多尺度法分離了系統(tǒng)的快變項，討論了系統(tǒng)的阻尼項、非線性項和隨機項等參數(shù)對系統(tǒng)的影響。文獻[7]從共振特征入手，對轉(zhuǎn)子的彎扭耦合振動開展研究。

本文應(yīng)用改進多尺度法研究電磁開關(guān)強非線性系統(tǒng)主共振在窄帶隨機激勵下的響應(yīng)[8]，得到主共振的幅頻響應(yīng)曲線和系統(tǒng)隨機均方響應(yīng)的近似表達式，考慮了隨機項對電磁開關(guān)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。應(yīng)用4階龍格-庫塔法計算出系統(tǒng)的時間響應(yīng)曲線和相圖，對電磁開關(guān)系統(tǒng)的設(shè)計與優(yōu)化具有重要的參考意義。

1 有界窄帶激勵電磁開關(guān)系統(tǒng)強非線性動力學(xué)方程

窄帶隨機過程是指頻譜密度集中在中心頻率附近相對較窄的頻率分布過程，它是工程中經(jīng)常遇到的隨機過程[9–10]，特點是頻譜主要集中在某段區(qū)間上。

電磁開關(guān)的數(shù)學(xué)模型如圖1所示，電源的電動勢為U(t)，電阻為r，電路電流為i，線圈的自感為L(x)，電源、電阻及電感組成回路。電磁鐵的質(zhì)量為m，彈簧剛度為k，電磁鐵線圈的自感為Lm(x)，x為自彈簧平衡位置算起的水平位移，電磁鐵上線圈激勵電壓為Um，電磁鐵上線圈電阻為R，電磁鐵上線圈電流為im，M(x)為電路與電磁鐵的互感，rv為線圈與磁鐵之間的摩擦阻力系數(shù)。

圖1 電磁開關(guān)模型

選位移x，電路電流為i，電磁鐵上線圈電流為im為廣義坐標(biāo)。

將拉格朗日方程和損耗函數(shù)代入拉格朗日麥克斯韋方程[11]，建立系統(tǒng)的非線性動力學(xué)方程為

在式（2）中，隨機電壓U(t)控制電磁開關(guān)在靜平衡位置附近的振動位移，進而分析電磁開關(guān)在有界窄帶激勵下的力學(xué)響應(yīng)。U(t)為有界隨機噪聲，它是由電路中信號發(fā)動器發(fā)出信號，可表示為

式中H＞0為隨機激勵幅值，Ω為隨機激勵的中心頻率，W(t)為標(biāo)準(zhǔn)的Winner過程，γ為隨機的擾動強度，γW(t)代表了電壓的隨機擾動項，即U(t)可以看作為確定性諧和激勵的頻率Ω受到了擾動強度為γW(t)的隨機擾動。

文中研究窄帶隨機過程中的Winner隨機過程，Winner過程在應(yīng)用中為標(biāo)準(zhǔn)信號，包含了γ=0單頻激勵。應(yīng)用改進多尺度法研究γ≥0遠小于1時的情形。多尺度法分析隨機窄帶噪聲激勵下的響應(yīng)問題，已有一些成果[12–13]。所以式（3）變?yōu)?/p>

2 窄帶激勵主共振分析

引入非小量參數(shù)ε

將式（8）、式（9）代入式（5）后，同時對比α同次冪的系數(shù)，并對α0方程設(shè)解帶入到α1的方程中，根據(jù)消除長期項的條件，分離實虛部可得

假設(shè)γ=0，則式（10）變?yōu)?/p>

對于穩(wěn)態(tài)振動a=a0，ν=ν0，有D1a=D1ν=0。得系統(tǒng)（11）的幅頻響應(yīng)方程

當(dāng)γ≠0時，由于γ很小，可設(shè)方程（10）的解為

對于穩(wěn)態(tài)振動a=a0，ν=ν0，有D1a=D1ν=0。代入式（11）可以得到a0和φ0，其中a1和φ1是攝動項，把式（13）代入式（10）中，不計關(guān)于a1和φ1的高階項，便得方程（11）在點（a0，φ0）的線性方程為

依據(jù)Hurwitz[14]定理可知，該線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件為

方程（14）可寫成對應(yīng)的Ito微分方程

可用矩法[14]求出式（19）的1階矩為

式（16）可寫成如下形式

以下各式中Q1、Q2和Q3同上。

由Ito微分法則可得

則方程（19）可轉(zhuǎn)化為

根據(jù)式（21）的系數(shù)矩陣，則

式（22）的特征方程為

式（25）即為2階矩存在的充分必要條件，并與前面確定性系統(tǒng)周期解得穩(wěn)定性條件是一致的。a0的值與Ea2的值是相互對應(yīng)的。

結(jié)合式（13）、式（17）、式（26）可得

3 數(shù)值模擬

圖2為電磁開關(guān)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線，方程（5）中βx3項與項系數(shù)進行比較β相對較大，屬于強非線性問題。由圖2可知，當(dāng)系統(tǒng)產(chǎn)生共振時振幅達到8 mm左右，電磁開關(guān)系統(tǒng)的間隙較大，符合工況要求。當(dāng)電磁開關(guān)系統(tǒng)的間隙小于8 mm時，不符合工況要求，可以通過修改系統(tǒng)參數(shù)減小振幅，也可以在對電磁開關(guān)系統(tǒng)進行參數(shù)設(shè)計時避開固有頻率與外激頻率相等以減小振幅。

圖3至圖7為電磁開關(guān)系統(tǒng)主共振的均方響應(yīng)曲線。其中實線部分為穩(wěn)定解，虛線部分為不穩(wěn)定解。

對比圖2和圖3，可得窄帶隨機激勵下主共振系統(tǒng)均方響應(yīng)曲線與γ=0時主共振系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相同。

圖3為電磁開關(guān)系統(tǒng)主共振隨阻尼系數(shù)rv變化的均方響應(yīng)曲線，由圖3可知，增大線圈與磁鐵之間的摩擦阻力系數(shù)，均方值減小。

圖4、圖5為電磁開關(guān)系統(tǒng)主共振隨激勵電壓U0和Um變化的均方響應(yīng)曲線，由圖4、圖5可知，隨著激勵電壓U0、Um的增大，均方值增大。

圖6、圖7為電磁開關(guān)系統(tǒng)主共振隨電阻r和R變化的均方響應(yīng)曲線，由圖6、圖7可知，隨著電阻r和R的增大，均方值減小。

圖2 幅頻響應(yīng)曲線

圖3 均方響應(yīng)曲線

圖4 均方響應(yīng)曲線

圖5 均方響應(yīng)曲線

圖6 均方響應(yīng)曲線

圖7 均方響應(yīng)曲線

4 主共振時間歷程分析

用4階龍格-庫塔法計算出系統(tǒng)（8）的時間響應(yīng)曲線和相圖。

圖8－圖11為γ=0.01、γ=0.05時電磁開關(guān)系統(tǒng)主共振時間響應(yīng)曲線。圖9，11分別為γ=0.01、γ=0.05時電磁開關(guān)系統(tǒng)主共振相圖。對比圖8和10，圖9和11可知，當(dāng)γ變化時電磁開關(guān)系統(tǒng)的時間響應(yīng)曲線和極限環(huán)變化不大。

5 結(jié)語

根據(jù)拉格朗日-麥克斯韋方程建立電磁開關(guān)系統(tǒng)動力學(xué)模型。應(yīng)用改進多尺度法研究電磁開關(guān)強非線性系統(tǒng)主共振在窄帶隨機激勵下的響應(yīng)，得到系統(tǒng)主共振的幅頻響應(yīng)方程和隨機均方響應(yīng)的近似表達式，考慮了隨機項對電磁開關(guān)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。結(jié)果表明，當(dāng)系統(tǒng)產(chǎn)生共振時振幅達到8 mm左右，當(dāng)電磁開關(guān)系統(tǒng)的間隙較大時符合工況要求。當(dāng)電磁開關(guān)系統(tǒng)的間隙小于8 mm時，不符合工況要求，可以通過修改系統(tǒng)參數(shù)減小振幅，也可以在對電磁開關(guān)系統(tǒng)進行參數(shù)設(shè)計時使固有頻率與外激頻率避開以減小振幅。隨著阻尼系數(shù)的增大，系統(tǒng)的均方值減??；隨著激勵電壓幅值增大，系統(tǒng)的均方值增大；隨著電阻增大，系統(tǒng)的均方值減小。通過改變電磁開關(guān)系統(tǒng)參數(shù)，得到系統(tǒng)均方響應(yīng)曲線的變化規(guī)律，找到了振動的控制策略。

圖8 γ=0.01時間響應(yīng)曲線

圖9 γ=0.01的相圖

圖10 γ=0.05時間響應(yīng)曲線

圖11 γ=0.05的相圖圖9

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Analysis of Primary Resonance of Nonlinear Vibration of Solenoid Switch Systems under Narrow-band Excitation

YANG Zhi-an1,ZHAO Li-sha2
(1.Key Laboratory of Structure and Vibration Engineering of Tangshan,Tangshan College, Tangshan 063000,Hebei China; 2.School of Mechanical Engineering,North China University of Technology, Tangshan 063000,Hebei China)

The strong nonlinear vibration of the electric circuit and magnetic circuit coupled solenoid switch system under narrow-band excitation is investigated.The stochastic differential equation of the solenoid switch system subjected to narrow-band excitation is established.The frequency response equation of the system is obtained based on the modified multi-scale method.The stability of the primary resonance of the system is calculated.And the influence of the parameters of the system on the mean square value of the primary resonance of the system is analyzed.The results show that the mean square value of the primary resonance of the system reduces with the increasing of the damping coefficient,increases with the increasing of the excitation voltage amplitude,and reduces with the increasing of the resistance.The change of limit cycle of the system is small with the increasing of the intensity of the random disturbance.

vibration and wave;solenoid switch;the modified method of multiple scales;narrow-band random excitation;mean square value;strongly nonlinear vibration

0324

：ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2017.01.007

1006-1355(2017)01-0030-05

2016-05-05

河北省自然科學(xué)基金項目資助（A200900097）

楊志安（1963－），男，河北省秦皇島市人，博士，教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向為機構(gòu)學(xué)與機械動力學(xué)。E-mail:yangzhi_an@163.com

趙利沙（1988－），女，河北省邯鄲市人，碩士研究生，研究方向為機構(gòu)學(xué)與機械動力學(xué)。E-mail:948281620@qq.com