裂紋梁無效損傷位置的理論分析和實(shí)驗(yàn)研究

翁豐壕，毛崎波

(南昌航空大學(xué) 飛行器工程學(xué)院，南昌 330063）

裂紋梁無效損傷位置的理論分析和實(shí)驗(yàn)研究

翁豐壕，毛崎波

(南昌航空大學(xué) 飛行器工程學(xué)院，南昌 330063）

以兩端固支裂紋梁為例，通過理論和實(shí)驗(yàn)方法探討無效損傷位置。首先將梁的裂紋模擬為無質(zhì)量的等效扭轉(zhuǎn)彈簧，得到裂紋梁的特征方程，并求解特征方程解得固有頻率。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，某階模態(tài)的無效損傷位置就是該階模態(tài)固有頻率與裂紋深度無關(guān)的位置，并且該位置出現(xiàn)裂紋時(shí)無法通過計(jì)算相應(yīng)模態(tài)的曲率模態(tài)差來判斷是否出現(xiàn)損傷。不同階模態(tài)的無效損傷位置也會不同。隨后用質(zhì)量塊模擬裂紋進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，利用移動(dòng)質(zhì)量塊的方法模擬不同損傷位置得到的梁固有頻率曲線，與健康梁固有頻率對比，從而得到梁的無效損傷位置。最后將質(zhì)量塊放置在梁無效損傷位置上模擬裂紋，實(shí)驗(yàn)測得該梁的曲率模態(tài)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：當(dāng)質(zhì)量塊布置在梁某階無效損傷位置時(shí)，梁該階固有頻率幾乎不發(fā)生變化，且相應(yīng)模態(tài)的曲率模態(tài)差無法檢測出損傷信息，與數(shù)值計(jì)算結(jié)果相符。

振動(dòng)與波；無效損傷位置；移動(dòng)質(zhì)量塊方法；固支梁；固有頻率

在航空航天領(lǐng)域應(yīng)用的梁結(jié)構(gòu)，如果出現(xiàn)損傷可能會引起重大事故。梁出現(xiàn)損傷后，結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)會發(fā)生變化，利用其結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)變化來檢測損傷的方法有許多。

陳小超通過移動(dòng)質(zhì)量法得到固有頻率曲線，用分型維數(shù)分析裂紋位置及損傷程度[1]。Zhong采用計(jì)算瑞利商的近似方法求得固有頻率，用平滑小波變換方法對頻率曲線進(jìn)行分析，得出裂紋位置、深度信息，還進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究[2–3]。當(dāng)裂紋位于梁上某些位置時(shí)，對某階固有頻率幾乎沒有影響，人們將這樣的位置稱作無效損傷位置。F.G.Tomasel認(rèn)為當(dāng)裂紋位于某1階模態(tài)振型曲率最小處時(shí)對該階固有頻率影響最小[4]。吳寧祥等對含裂紋一維歐拉梁進(jìn)行分析，證明了裂紋無效位置是曲率模態(tài)節(jié)點(diǎn)位置[5]。

本文分析了裂紋梁的固有頻率曲線和曲率模態(tài)差，討論梁的無效損傷位置情況。然后，用質(zhì)量塊模擬損傷在梁上移動(dòng)，驗(yàn)證某階模態(tài)的無效損傷位置就是該階模態(tài)固有頻率與裂紋深度無關(guān)的位置[6–8]。且當(dāng)損傷處于某階無效損傷位置時(shí)，損傷情況在其曲率模態(tài)差曲線上無法得到體現(xiàn)。

1 無效損傷位置分析與數(shù)值計(jì)算

如圖1所示為等截面均勻固支梁的集中柔度模型，含一個(gè)裂紋，用無質(zhì)量扭轉(zhuǎn)彈簧模擬。假設(shè)梁的長、寬、高分別為L、b、h裂紋在x=R處，裂紋深度為h1。由文獻(xiàn)[9]可知，裂紋R兩邊梁振動(dòng)位移分別可以表示為

圖1 裂紋梁模型

式中r為裂紋相對深度，r=hi/h，hi為裂紋深度。

將上述邊界條件和裂紋連續(xù)性條件代入式（1）、式（2）中，可得到由8個(gè)方程組成的齊次線性方程組

式（7）存在解的條件是系數(shù)矩陣的行列式為零，代入裂紋位置x=R與深度hi，可解出梁的無量綱固有頻率β。將所得β代入式（7）中可解出所有系數(shù)。將系數(shù)代入振動(dòng)位移方程式（1）、式（2）中，則可求解得到系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)函數(shù)。

改變裂紋位置、深度，可得到各階無量綱固有頻率曲線，如圖2－圖4所示。

圖2 第1階無量綱固有頻率曲線

圖3 第2階無量綱固有頻率曲線

圖4 第3階無量綱固有頻率曲線

從圖2－圖4可以發(fā)現(xiàn)，在當(dāng)裂紋出現(xiàn)在某些位置時(shí)，其固有頻率并沒有發(fā)生變化。這些位置即為文獻(xiàn)[4]指出的無效損傷位置。

本文進(jìn)一步計(jì)算了當(dāng)裂紋出現(xiàn)在這些無效損傷位置時(shí)的曲率模態(tài)差，由文獻(xiàn)[7，10]可知，曲率模態(tài)差定義為

式中W(xi-1)是模態(tài)位移，?L是兩相鄰模態(tài)測點(diǎn)的距離。當(dāng)裂紋出現(xiàn)在這些無效損傷位置時(shí)的曲率模態(tài)差如圖5－圖7所示。

圖5 裂紋處于x/L=0.5處各階曲率模態(tài)差

圖6 裂紋處于x/L=0.357處各階曲率模態(tài)差

圖7 裂紋處于x/L=0.643處各階曲率模態(tài)差

對比相應(yīng)階數(shù)無量綱固有頻率曲線（圖2－圖4）和曲率模態(tài)差曲線（圖5－圖7），可以發(fā)現(xiàn)各階無量綱固有頻率曲線隨裂紋深度r變化而變化，但峰值和對應(yīng)健康梁各階無量綱固有頻率相等，且位置不變，在這些位置上對應(yīng)階的曲率模態(tài)曲線無法檢測出梁裂紋位置，此時(shí)，用其他階曲率模態(tài)差曲線則能有效檢測出裂紋位置等信息。

根據(jù)文獻(xiàn)[5]對無效損傷位置的定義，本文進(jìn)一步將無效損傷位置定義為：梁某階無效損傷位置是該階模態(tài)固有頻率與裂紋深度無關(guān)的位置，且當(dāng)裂紋出現(xiàn)在該位置時(shí)，相應(yīng)模態(tài)的曲率模態(tài)差無法檢測出裂紋信息。

2 實(shí)驗(yàn)測定無效損傷位置

由于在梁上不同位置制造裂紋，需要大量的梁，浪費(fèi)材料，且需要反復(fù)安裝，工作量過大，根據(jù)文獻(xiàn)[6－8]可知，質(zhì)量塊可以模擬裂紋，用移動(dòng)質(zhì)量塊在梁上的位置來模擬不同位置的裂紋，方便簡單。

質(zhì)量塊處連續(xù)性條件為

其中α是質(zhì)量塊的質(zhì)量與梁質(zhì)量的比。

如圖8所示，取一根長L=0.580 m，寬b=0.056 m厚度h=0.008 m的鋼梁。質(zhì)量塊m1、m2分別為192 g、385 g，分別模擬兩種裂紋深度。

圖8 實(shí)驗(yàn)裝置

將梁兩端固定在實(shí)驗(yàn)臺架上，四十等分，加速度計(jì)布置在距梁左端0.320 m處。力錘敲擊點(diǎn)不變，作3次線性平均，記錄數(shù)據(jù)，得到健康梁固有頻率。再用m2模擬損傷，從第一個(gè)等分點(diǎn)，逐次移動(dòng)到最后一個(gè)等分點(diǎn)，力錘的激勵(lì)點(diǎn)不動(dòng)，記錄數(shù)據(jù)，得到第2階、第3階頻率曲線，由于梁邊界條件無法做到完全固支，曲線在靠近梁兩端部分誤差較大，為排除干擾，本文只考慮x/L=0.1至x/L=0.9(無量綱化)部分。如圖9、圖10所示。

圖9 第2階固有頻率曲線

圖10 第3階固有頻率曲線

從圖9中可以看到，m2在x/L=0.5（距梁左端0.290 m）處時(shí)損傷梁固有頻率曲線有一個(gè)峰值，此處損傷梁的固有頻率與健康梁的固有頻率接近，由于質(zhì)量塊與梁有一定接觸面積，邊界條件不完全、測量誤差影響導(dǎo)致其不相等，可認(rèn)為其與理論無效損傷位置相符，此處為梁第2階無效損傷位置。同理，圖10中質(zhì)量塊在x/L=0.357（距梁左端0.207 m）、x/L=0.643（距梁左端0.373 m）處時(shí)損傷梁的固有頻率分別有一個(gè)峰值，且最為接近健康梁固有頻率，可認(rèn)為這兩處為第3階無效損傷位置。

3 質(zhì)量塊布置在無效損傷位置的實(shí)驗(yàn)

加速度計(jì)位置不變。分別用m1、m2模擬損傷，布置在各階無效損傷位置上，力錘依次從第一點(diǎn)到最后一點(diǎn)進(jìn)行多點(diǎn)敲擊激勵(lì)，記錄數(shù)據(jù)，用N-Modal實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析軟件得到各工況下梁前3階固有頻率和模態(tài)振形，表1和表2分別表示質(zhì)量塊在無效損傷位置時(shí)的固有頻率。

對比表1、2中數(shù)據(jù)，當(dāng)m1、m2分別放置在梁第2階無效損傷位置（距梁左端0.290 m）上時(shí)，梁的第2階固有頻率幾乎沒有發(fā)生變化，而第3階固有頻率分別從484.89 Hz下降到444.80 Hz、417.34 Hz，有明顯下降。同樣，當(dāng)m1、m2放置在第3階無效損傷位置時(shí)，第3階固有頻率基本不變，第2階固有頻率下降明顯。

把實(shí)驗(yàn)所得模態(tài)振形代入式（8）和式（9），即可得到曲率模態(tài)差，圖11－圖13分別表示質(zhì)量塊在無效損傷位置時(shí)的曲率模態(tài)差。

從圖11－圖13中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)質(zhì)量塊在梁某階無效損傷位置時(shí)，該階曲率模態(tài)差曲線（用粗線條表示）無法有效測出損傷位置，此時(shí)必須通過其他階曲率模態(tài)差曲線得到結(jié)構(gòu)損傷信息。

圖11 質(zhì)量塊在x/L=0.5(距梁左端0.290 m)處各階曲率模態(tài)差

圖12 質(zhì)量塊在x/L=0.357(距梁左端0.207m)處各階曲率模態(tài)差

表1 質(zhì)量塊在各階無效損傷位置時(shí)第2階固有頻率/Hz

表2 質(zhì)量塊在各階無效損傷位置時(shí)第3階固有頻率/Hz

圖13 質(zhì)量塊在x/L=0.643(距梁左端0.373m)處各階曲率模態(tài)差

為了有效地識別裂紋位置，可將前幾階曲率模態(tài)差作平方和作為損失指標(biāo)

其中τ為前幾階曲率模態(tài)差的平方和，N為最大階數(shù)（本文N=3）。

將所得前3階曲率模態(tài)差數(shù)據(jù)代入式（11）中，可得前3階曲率模態(tài)差平方和曲線，圖14（a）、圖14（b）、圖14（c）分別表示當(dāng)質(zhì)量塊位于不同無效損傷位置時(shí)的前3階曲率模態(tài)差平方和曲線，從圖中可以明顯看出，當(dāng)質(zhì)量塊處在梁某階無效損傷位置時(shí)，通過計(jì)算前3階曲率模態(tài)差平方和，可以準(zhǔn)確測出損傷位置。

圖14 當(dāng)裂紋處在各階無效位置時(shí)，前3階曲率模態(tài)差的平方和曲線

4 結(jié)語

本文先對裂紋梁的無效損傷位置情況進(jìn)行理論分析和數(shù)值計(jì)算。結(jié)果表明：當(dāng)裂紋出現(xiàn)在梁的某些位置時(shí)，對某階固有頻率沒有影響，且與裂紋深度無關(guān)，相應(yīng)模態(tài)的曲率模態(tài)差也無法判斷是否出現(xiàn)損傷。我們將這樣的位置稱為無效損傷位置。隨后用質(zhì)量塊模擬裂紋損傷進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)M。令質(zhì)量塊在梁上移動(dòng)，實(shí)驗(yàn)測得其固有頻率曲線。與健康梁的固有頻率對比，找出無效損傷位置。再將質(zhì)量塊布置在梁無效損傷位置上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，分析得出梁某階的固有頻率、曲率模態(tài)，與健康梁相應(yīng)的固有頻率、模態(tài)曲線進(jìn)行對比，驗(yàn)證了梁某階無效損傷位置是該階模態(tài)固有頻率與裂紋深度無關(guān)的位置，且當(dāng)損傷處于某階無效損傷位置時(shí)，損傷情況在其曲率模態(tài)差曲線上無法得到體現(xiàn)。這就意味著：如果我們要通過模態(tài)或者頻率信息進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷檢測，為避免當(dāng)裂紋出現(xiàn)在某階無效損傷位置時(shí)漏判，可用求前幾階曲率模態(tài)差的平方和的方法來檢測損傷位置。

[1]陳小超，毛崎波.應(yīng)用移動(dòng)質(zhì)量法與分形維數(shù)實(shí)現(xiàn)梁損傷檢測[J].噪聲與振動(dòng)控制，2014，34(3)：155-159.

[2]ZHONG S,SO OYADIJI.Analytical predictions of natural frequencies of cracked simply supported beams with a stationary roving mass[J].JournalofSoundand Vibration,2008,311(1):328-352.

[3]ZHONG S,SO OYADIJI.Identification of cracks in beams with auxiliary mass spatial probing by stationary wavelet transform[J].JournalofVibrationand Acoustics,2008,130(4):1257-1261.

[4]TOMASEL F G,LARRONDO H A,A P A.Laura Detection of cracks in cantilever beams:experimental setup using optical techniques and theoretical modelling[J].Journal of Sound and Vibration,1999,228(5):1195-1204.

[5]吳寧祥.含裂紋一維歐拉梁的裂紋無效位置分析[J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2006，24(1)：121-123.

[6]李大軍，霍達(dá)，韓強(qiáng).橋梁損傷的移動(dòng)質(zhì)量多次測量檢測法[J].華南理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2005(4)：50-52.

[7]劉宇飛，辛克貴.移動(dòng)荷載激勵(lì)下基于平均曲率模態(tài)的簡支梁局部損傷識別[J].工程力學(xué)，2013(7)：205-211.

[8]李大軍，霍達(dá).工作狀態(tài)下梁及橋梁模態(tài)與損傷識別的新方法[J].世界地震工程，2006(3)：66-69.

[9]王術(shù)新.裂紋梁固有頻率分析[J].江蘇大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2003，24(4)：30-32.

[10]PANDEY A K,BISWAS M,SAMMAN M M.Damage detection from changes in curvature mode shapes[J].Journal of Sound and Vibration,1991;145:321-332.

TheoreticalAnalysis and Experimental Study on Non-effective Damage Locations of Cracked Beams

WENG Feng-hao,MAO QI-bo
(School ofAircraft Engineering,Nanchang Hang Kong University,Nanchang 330063,China)

The non-effective damage locations of a cracked beam with both ends clamped are investigated theoretically and experimentally.First of all,the crack is modeled as an equivalent massless rotational spring.The natural frequency is obtained by solving the characteristic equation of the cracked beam.The numerical calculation results show that the noneffective damage locations of some modal are the positions where the natural frequency of the modal is independent of the depth of the crack.When the crack appears at these locations one cannot judge whether the damage occurs by calculating the curvature modal difference only.The non-effective damage locations are different for the modals of different orders.Later on,experiment is done by replacing the crack by equivalent mass blokes.The natural frequency curve is obtained by using the method of moving auxiliary mass block.The natural frequency curve is then compared with that of a healthy beam so as to obtain the non-effective damage zones of the cracked beam.Finally,the auxiliary mass block is placed on the noneffective damage locations to simulate the crack and the curvatures modal is obtained experimentally.The experimental results show that when the mass arranged at the non-effective damage location corresponding to the modal of some order, the natural frequency of this order hardly changes,and the corresponding curvatures modal difference cannot detect the damage information.This conclusion is consistent with the results of numerical calculation.

vibration and wave;noneffective damage locations;method of moving auxiliary mass;clamped-clamped beam;natural frequency

TH16；TB123

A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2017.01.029

1006-1355(2017)01-0132-05

2016-09-02

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51265037，11464031）；航空科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2015ZA56002）；江西省高?？萍悸涞赜?jì)劃資助項(xiàng)目（KJLD12075）

翁豐壕（1990－），男，江西省上饒市玉山縣人，碩士生，研究方向?yàn)檎駝?dòng)損傷檢測。E-mail:353818335@qq.com

毛崎波，男，博士，教授，主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)振動(dòng)及噪聲控制、壓電智能材料應(yīng)用。E-mail:qbmao@nchu.edu.cn