國內(nèi)外離散數(shù)學(xué)教材內(nèi)容比較分析

鄭艷梅

（河南理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河南 焦作 454000）

國內(nèi)外離散數(shù)學(xué)教材內(nèi)容比較分析

鄭艷梅

（河南理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河南 焦作 454000）

離散數(shù)學(xué)課程作為一門相對(duì)成熟的課程，已有幾百種不同的教材存在。受時(shí)間以及著者個(gè)人理解所限，這些教材的內(nèi)容不同、側(cè)重點(diǎn)不同和角度不同。文章對(duì)多種目前正流于市的離散數(shù)學(xué)教材進(jìn)行分析比較，基于實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提出合理的授課內(nèi)容以及較為理想的授課教材建議。

離散數(shù)學(xué)；國外教材；國內(nèi)教材

0 引 言

離散數(shù)學(xué)課程作為計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)的核心課程，在專業(yè)課程體系中起著重要的理論支撐作用[1]，承擔(dān)著奠定學(xué)生專業(yè)課知識(shí)基礎(chǔ)的使命[2]。幾乎所有高校的計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)開設(shè)了離散數(shù)學(xué)課程。這門開始于19世紀(jì)70年代初期的新興應(yīng)用型學(xué)科，伴隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的蓬勃發(fā)展逐步走向成熟[3]。作為一門較為成熟的課程，離散數(shù)學(xué)也就相應(yīng)存在著大量不同的教材流于市。不同的教材中，有的由于時(shí)間的差異，年份較早的版本可能暗淡無光或者已經(jīng)更新為較新的版本；有的則由于著者自身的認(rèn)識(shí)不同，所著內(nèi)容存在很大的差異，不僅需要著者對(duì)整個(gè)計(jì)算機(jī)專業(yè)所需的離散內(nèi)容準(zhǔn)確把握，同時(shí)還需要著者能夠熟知相應(yīng)內(nèi)容實(shí)際應(yīng)用。作為一門肩負(fù)著服務(wù)于專業(yè)教育重任的課程，為實(shí)際授課效果考慮，離散數(shù)學(xué)的實(shí)際授課內(nèi)容不能僅靠一兩本教材就草率確定，而須參考多家之言謹(jǐn)慎篩選。在實(shí)際操作中，授課教師應(yīng)該摒棄個(gè)人喜好，優(yōu)先考慮內(nèi)容的重要性和必要性。

1 國內(nèi)外教材內(nèi)容分析

在國內(nèi)流行購物網(wǎng)站進(jìn)行離散數(shù)學(xué)教材檢索，共得到827個(gè)結(jié)果書籍。我們按照銷量排序，并以排名靠前的若干教材進(jìn)行分析比較。分析中，我們一方面關(guān)注國內(nèi)中文教材和國外英文教材兩類教材間的差異，另一方面也關(guān)注不同教材間的內(nèi)容差異。

整體而言，國內(nèi)的各種離散數(shù)學(xué)相關(guān)教材內(nèi)容精練、集中，但較深；相比較而言，國外教材內(nèi)容豐富、較淺，但結(jié)構(gòu)散亂，似乎有將后續(xù)專業(yè)課程所需的所有非高等數(shù)學(xué)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)囊括其中的態(tài)勢(shì)。另外，國內(nèi)外教材[417]比較一致的地方則是均包含處于核心地位的內(nèi)容，包括數(shù)理邏輯、集合、關(guān)系、函數(shù)以及圖論，見表1中陰影部分。

1.1 證明相關(guān)內(nèi)容

關(guān)于證明相關(guān)內(nèi)容，所列3部國外教材均進(jìn)行了詳細(xì)介紹，但國內(nèi)教材對(duì)該部分內(nèi)容比較忽視，要么只字不提，要么僅將其作為數(shù)理邏輯部分中的一個(gè)小節(jié)[12]且僅包括證明的定義以及若干方法，如直接法、反證法、歸謬法等，均未包含存在性證明、唯一性證明以及證明策略相關(guān)內(nèi)容。計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)學(xué)生的培養(yǎng)目標(biāo)不僅僅是能夠設(shè)計(jì)算法，還需要能夠進(jìn)一步從理論角度進(jìn)行證明，一個(gè)算法若沒有理論證明，其可信度將大打折扣。學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，只是在實(shí)施證明，證明各種命題；但是對(duì)于證明，缺少更高層次的認(rèn)識(shí)，在應(yīng)對(duì)其他需要證明的問題時(shí)會(huì)束手無策。因此，離散數(shù)學(xué)教材應(yīng)該包括證明相關(guān)內(nèi)容，且需要將其作為重點(diǎn)講解內(nèi)容。

表1 不同的國內(nèi)外離散數(shù)學(xué)教材所包含的內(nèi)容

1.2 集合相關(guān)內(nèi)容

文獻(xiàn)[5]沒有集合相關(guān)基礎(chǔ)內(nèi)容，數(shù)理邏輯內(nèi)容之后直接是關(guān)系相關(guān)內(nèi)容。在離散數(shù)學(xué)中，關(guān)系定義為集合中元素之間的關(guān)系[12]且在關(guān)系內(nèi)容中會(huì)用到集合的運(yùn)算，我們認(rèn)為集合論的基礎(chǔ)知識(shí)對(duì)于離散數(shù)學(xué)是必不可少的。雖然學(xué)生在高中已接觸過集合的簡(jiǎn)單運(yùn)算，但是不表示這部分內(nèi)容可以略講。

對(duì)于集合論內(nèi)容，授課教師一方面需要帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)集合相關(guān)的概念、集合間的運(yùn)算以及排斥相容定理等內(nèi)容；另一方面，也是更為重要的，要讓學(xué)生從謂詞邏輯的角度理解集合相關(guān)概念，點(diǎn)出常用的集合定義方法即謂詞邏輯式，同時(shí)需要用到真值的真假概念，也需要將集合的交、并、差、補(bǔ)等概念與數(shù)理邏輯中的析取、合取、否定等概念建立起聯(lián)系。例如，P={x|x屬于計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)且其離散數(shù)學(xué)成績(jī)及格的學(xué)生}，集合P的元素是使得復(fù)合謂詞邏輯M（x）?S（x）真值為真的所有個(gè)體項(xiàng)，其中M（x）表示x屬于計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)，S（x）表示x的離散數(shù)學(xué)成績(jī)及格，同時(shí)還存在著數(shù)理邏輯中的合取?與集合中的并∩的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

1.3 布爾代數(shù)相關(guān)內(nèi)容

除了文獻(xiàn)[4]外，其余各位作者對(duì)布爾代數(shù)內(nèi)容的態(tài)度較為一致，凸顯了布爾代數(shù)的重要性，需要授課教師著重講解。

1.4 代數(shù)系統(tǒng)相關(guān)內(nèi)容

國內(nèi)的教材大都包含代數(shù)系統(tǒng)部分內(nèi)容，但國外教材恰恰相反，均未包含該內(nèi)容。以實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來看，代數(shù)系統(tǒng)源于抽象代數(shù)，是一門比較抽象、晦澀難懂的課程，在實(shí)際教學(xué)中需要花費(fèi)大量精力，但教學(xué)效果并不好，建議將其刪除或者略講，又或者作為學(xué)生自學(xué)內(nèi)容。

1.5 其他內(nèi)容

歸納、遞歸、數(shù)論和組合數(shù)學(xué)的內(nèi)容對(duì)于計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)的算法性能分析非常重要，是后續(xù)專業(yè)課程的必備知識(shí)，如果學(xué)生想在專業(yè)方向有所發(fā)展，這部分內(nèi)容是必須學(xué)習(xí)掌握的。如果離散數(shù)學(xué)課程能包含該部分內(nèi)容，即使只是簡(jiǎn)單引入，也可避免或者減少學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)應(yīng)用時(shí)走彎路。

自動(dòng)機(jī)相關(guān)內(nèi)容實(shí)質(zhì)為離散數(shù)學(xué)理論知識(shí)的一個(gè)應(yīng)用。通過該部分內(nèi)容，學(xué)生一方面可以初步了解語言編譯器的原理，對(duì)僅僅使用過但從未細(xì)究過的編譯C、C++及Java的各種編譯器有更深刻的理解；另一方面，也能在應(yīng)用案例中加深對(duì)相關(guān)理論知識(shí)的學(xué)習(xí)，進(jìn)而了解到所學(xué)離散數(shù)學(xué)知識(shí)都是后續(xù)專業(yè)學(xué)習(xí)的槍矛，提高對(duì)離散數(shù)學(xué)課程的重視。

國外教材所包括的概率、模型、算法、計(jì)算幾何等內(nèi)容，是為學(xué)生準(zhǔn)備的較為完備的所需知識(shí)。由于國內(nèi)高校的計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)大都開設(shè)數(shù)理統(tǒng)計(jì)、算法等相關(guān)課程，因此這部分內(nèi)容可作為學(xué)生自學(xué)內(nèi)容。

2 教材側(cè)重點(diǎn)

理論性強(qiáng)、知識(shí)點(diǎn)多、定理多且習(xí)題多是離散數(shù)學(xué)的特點(diǎn)。在囊括大量相關(guān)理論內(nèi)容的同時(shí)，若能提供若干應(yīng)用實(shí)例，對(duì)學(xué)生而言，會(huì)起到事半功倍的效果，對(duì)授課教師而言，則會(huì)降低理論講解的難度；若應(yīng)用實(shí)例能夠與后續(xù)課程相關(guān)聯(lián)，效果更佳。國外教材比較重視應(yīng)用性，各種教材中均提供了大量的應(yīng)用實(shí)例；國內(nèi)教材側(cè)重理論，以理論介紹為主、應(yīng)用為輔，且應(yīng)用實(shí)例相對(duì)較少。隨時(shí)間推移，國內(nèi)離散數(shù)學(xué)相關(guān)教材中的應(yīng)用實(shí)例開始增多，如文獻(xiàn)[5]，每一章都單獨(dú)設(shè)置一節(jié)專門介紹相關(guān)應(yīng)用，這種結(jié)構(gòu)值得推崇。

3 國內(nèi)教材溯源

在眾多國內(nèi)教材中，文獻(xiàn)[9]以內(nèi)容詳細(xì)、習(xí)題豐富、闡述嚴(yán)謹(jǐn)和推演詳盡得名，雖然出版于1982年，但是至今仍流行于市，為眾多高校的指定教材。該教材奠定國內(nèi)離散數(shù)學(xué)的內(nèi)容框架和順序，國內(nèi)后續(xù)的教材均繼承延續(xù)其整體框架，只是隨著時(shí)間的推移，通過實(shí)際教學(xué)的探索，在接觸各種國外教材后，近幾年出版的相關(guān)教材拓寬了內(nèi)容，應(yīng)用實(shí)例也逐漸增多，如文獻(xiàn)[12]與文獻(xiàn)[9]相比，刪除了命題邏輯中的對(duì)偶、謂詞演算的推理理論、關(guān)系中的相容關(guān)系、函數(shù)中的模糊子集等內(nèi)容，增加了命題邏輯中的組合電路應(yīng)用、樹的應(yīng)用、組合數(shù)學(xué)及其應(yīng)用等內(nèi)容。

4 教材選取原則

實(shí)際授課中，如何選用適合的教材出現(xiàn)兩難境地。選用國外教材（英文版或中文翻譯版），內(nèi)容多、學(xué)生精力有限成為主要矛盾；選用國內(nèi)教材則會(huì)限制學(xué)生的視野，導(dǎo)致忽略更多重要知識(shí)，如歸納遞歸、證明等相關(guān)內(nèi)容。在指定教材時(shí)，以中文教材為主、國外教材為輔，而不拘泥于單獨(dú)的一本，是比較可行的策略。學(xué)生以中文教材為主，若有更多精力，則可學(xué)習(xí)外文教材獨(dú)有的內(nèi)容。授課教師可以通過增加額外的授課內(nèi)容、布置自學(xué)內(nèi)容等形式引導(dǎo)學(xué)生接觸中文教材之外的內(nèi)容。

計(jì)算機(jī)相關(guān)技術(shù)應(yīng)用的更新，必然會(huì)導(dǎo)致所需的離散數(shù)學(xué)知識(shí)和應(yīng)用實(shí)例需要微調(diào)，因此書籍出版的時(shí)間是需要考慮的因素之一。教師在選用教材時(shí)，應(yīng)該盡量選擇新出版的經(jīng)典教材。國外教材中，文獻(xiàn)[15]和 [16]都已經(jīng)更新到第7版，值得推薦；中文教材中，文獻(xiàn)[12-13]內(nèi)容相對(duì)豐富，兼具國外教材和國內(nèi)教材的優(yōu)點(diǎn)，可作首選。

5 結(jié) 語

種類繁多的離散數(shù)學(xué)教材的并存，并不意味著授課教師無須篩選而隨意選用其中之一。第一，所選教材必須能夠保證內(nèi)容的完整性，內(nèi)容上可有輕重主次之分，但完整性是首要的；第二，所選教材須順應(yīng)時(shí)代進(jìn)步，切實(shí)承擔(dān)起離散數(shù)學(xué)的本職支撐作用。筆者在實(shí)際教學(xué)中并用國內(nèi)教材[12]和英文教材[15]，綜合使用中文教材和英文教材的合理性得以印證。選擇恰當(dāng)?shù)慕滩囊詫?shí)現(xiàn)離散數(shù)學(xué)課程所應(yīng)起的作用，是所有離散數(shù)學(xué)授課教師須思考和實(shí)踐的課題。

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（編輯：宋文婷）

1672-5913(2017)02-0149-04

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鄭艷梅，女，講師，研究方向?yàn)閿?shù)字圖像處理，zhengym02@hpu.edu.cn。