簡單特例在解題中的應(yīng)用

江蘇省昆山市第一中學(xué) 劉 超 李博宇

簡單特例在解題中的應(yīng)用

江蘇省昆山市第一中學(xué) 劉 超 李博宇

數(shù)學(xué)教學(xué)歸根結(jié)底就是解題教學(xué)。解題的基本思維操作流程：尋求陌生新穎問題的突破口，弄清等價(jià)轉(zhuǎn)換問題的表征，弄清題意，明確知識點(diǎn)，正確合理地解題。目前大多數(shù)學(xué)生的解題狀態(tài)為：對老師講過的題目能夠照葫蘆畫瓢，對基本及中檔以上的問題處理較好，對于常規(guī)題目的突破口能夠合理準(zhǔn)確有效地把握，但對于新穎的問題、陌生的問題，望而卻步，無從下手，缺乏自己獨(dú)立探究問題的能力。由于老師沒有講過此類問題，無法畫瓢，搶分爭分的能力不足。有一部分學(xué)生基本上就是一筆不動，從未感受過自己對一類新問題發(fā)現(xiàn)，分析、解決這種成功的喜悅。那么，問題的通性通法是如何而來呢？是通過大量的具體實(shí)例，通過檢驗(yàn)——修改——檢驗(yàn)，高度概括出的一類規(guī)律性極強(qiáng)的解題策略，舉例與類比的關(guān)系相輔相成。從課本教材舉生活實(shí)例，引出數(shù)學(xué)概念，到教師講解經(jīng)典例題，再到學(xué)生通過大量的習(xí)題訓(xùn)練，無非都是從特殊到一般的歸納猜想及證明。

高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)畢竟是基礎(chǔ)部分的教學(xué)，我們所能處理的、解決的都是規(guī)律性極強(qiáng)的問題，既然是這樣，那么問題中的規(guī)律，問題本身所要給我們呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)事實(shí)，肯定能夠挖掘出來。特殊到一般，具體到抽象，舉幾個(gè)簡單特例，也許能夠幫助我們找到問題的突破口。

一、通過舉特例來尋求集合間的關(guān)系

集合間的關(guān)系從大方向上分為兩種：包含與不包含。明確目標(biāo)，鎖定方向，即使猜也能猜出答案。

高一學(xué)生剛接觸集合概念時(shí)，對此類問題還是比較陌生的，無從下手。給出兩個(gè)一般性的集合，二者元素個(gè)數(shù)均是無限的，二者元素的特征似乎有相同點(diǎn)又有不同點(diǎn)，無法精準(zhǔn)弄清其內(nèi)在的聯(lián)系。學(xué)生若是能夠?qū)⒁话阈詥栴}特殊化處理，通過舉特例，轉(zhuǎn)換成具體的數(shù)字，嘗試著推推看，也許就能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律所在了。分別令k取1，2，3，4，現(xiàn)集合M中的元算在集合N中會交替出現(xiàn)，而集合N中又出現(xiàn)了集合M中不存在的元素，所以.其實(shí)在舉特例的過程中，已有部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)集合M中的元素特點(diǎn)為由于比較是在統(tǒng)一的平臺下進(jìn)行的，故想到集合N中的元素特點(diǎn)可改寫為奇數(shù)，為整數(shù)，所以。其實(shí)越有規(guī)律的問題就越經(jīng)不住推敲，只要善于舉特例，舉好例，就可猜透其中的奧妙。

例2 設(shè)集合 M={1，2，3，4，5，6}，S1、S2、…、Sk都是 M的含兩個(gè)元素的子集，且滿足：對任意的Si={ai，bi}，Sj={aj，bj}（i≠j，y}表示兩個(gè)數(shù)x、y中的較小者）。求k的最大值。

該問題由于包含較多數(shù)學(xué)中的專業(yè)符號，具有一定的抽象性，致使很多學(xué)生無法下手，找不到突破口，讀不懂題意。若學(xué)生能將每個(gè)信息具體化，舉幾個(gè)具體實(shí)例，感受一下題意，便能馬上解決此問題。

S1、S2、…、Sk都是M的含兩個(gè)元素的子集，而M的所有含有兩個(gè)元素的子集是：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15個(gè)，分別記為S1，S2，……，S15。

例如{1，2}與{2，4}就只能保留一個(gè)，由此弄清題意，4個(gè)值是重復(fù)的舍去，最后答案是11。善于舉特例，將抽象問題具體化不失為快速掌握陌生概念的一個(gè)行之有效的方法。

二、通過舉特例來尋找解析幾何中的定點(diǎn)、定直線

解析幾何問題的最大特點(diǎn)在于解題方向岔口較多，貌似個(gè)個(gè)可行，理論上可行，實(shí)際操作卻不可以，又或者在操作中由于計(jì)算量大，學(xué)生對自己的解題前景堪憂，導(dǎo)致半途而廢。若能嘗試特殊推一般，鎖定解題的最終方向，就會有效提升自身解題的信心，摸索其最優(yōu)解。

若G恒在一直線上，則此直線必為x＝4。只需證對任意m,A1M與A2N的交點(diǎn)G在x＝4上。這樣利用特殊性尋求出問題的突破口，讓學(xué)生有方向可尋，不再一籌莫展。在目標(biāo)意識的引領(lǐng)下，結(jié)合題目的條件特點(diǎn)，也許能夠幫助我們在解題中少走一些彎路，快速有效地投入到題目中弄清研究方向。

四、通過舉例推求數(shù)列中項(xiàng)的特點(diǎn)規(guī)律

數(shù)列具有規(guī)律性極強(qiáng)的特征，弄清其變化發(fā)展規(guī)律，研究數(shù)的表征，通過舉例歸納猜想其發(fā)展規(guī)律，是解決數(shù)列問題的一個(gè)重要解題策略。

該數(shù)列的遞推關(guān)系式已知明確，首項(xiàng)確定，則數(shù)列中的每一項(xiàng)肯定唯一確定，若從一般情況角度推其通項(xiàng)，構(gòu)造過程中技巧性較強(qiáng)，研究對象容易混淆。若通過特殊推一般，通過求出具體的前幾項(xiàng)，歸納猜想其通項(xiàng)，就會大大降低思維高度，快速有效地明確其發(fā)展方向。

簡答：按照遞推關(guān)系，求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，從第13項(xiàng)開始，呈現(xiàn)以3為周期的數(shù)列，從而得解。

教材編寫的兩個(gè)特點(diǎn)是：情景導(dǎo)入和問題驅(qū)動，從具體情境導(dǎo)入的，在教學(xué)上要求以具體情境作為教學(xué)素材，將其抽象提煉，以便接近教學(xué)主題。

無論從實(shí)際情境出發(fā)，還是從具體問題出發(fā)，都要求學(xué)生歸納已知事實(shí)形成抽象概念，歸納已知事實(shí)形成數(shù)學(xué)猜想，這種活動的共同本質(zhì)在于使用抽象的、簡約的數(shù)序符號表示“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)（既包括生活事實(shí)，也包括數(shù)學(xué)事實(shí)），這樣能使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的具體過程，在這個(gè)基礎(chǔ)上形成抽象概括能力。荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾早就指出：數(shù)學(xué)起源于現(xiàn)實(shí)，數(shù)學(xué)教育必須基于學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，應(yīng)該從數(shù)學(xué)與它所依附的學(xué)生親身體驗(yàn)的現(xiàn)實(shí)之間去尋找聯(lián)系。學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律是從直觀到嚴(yán)謹(jǐn)，從具體到抽象。從特殊到一般是人類認(rèn)識事物的基本規(guī)律。

萬事開頭難，找到問題的方向性與導(dǎo)向性，我們就可用方法來對問題進(jìn)行解決了。