高中數(shù)學(xué)排列組合的解題技巧

山東省濟鋼高中2015級部 王致遠

高中數(shù)學(xué)排列組合的解題技巧

山東省濟鋼高中2015級部 王致遠

作為高中生，為了應(yīng)對高考，在學(xué)習(xí)了高中數(shù)學(xué)知識點后會做習(xí)題來鞏固，在做題時會發(fā)現(xiàn)同學(xué)們雖然掌握的知識點相同，但做題速度和效率卻相差很多，仔細分析不難發(fā)現(xiàn)，效率高的原因是因為有一定的解題技巧。高考題中排列組合類問題常會出現(xiàn)，它的類型較多，因此需要有一定技巧才能高效解答。本文簡單分析排列組合的解題技巧。

高中數(shù)學(xué)；排列組合；解題技巧

排列組合的基礎(chǔ)知識看似簡單，但越深入地學(xué)習(xí)就會發(fā)現(xiàn)其越抽象，許多同學(xué)的思維轉(zhuǎn)化能力較差，解答起來就有難度，因此需要去尋找解題技巧，將思維問題難度弱化。我在解答排列組合問題時總結(jié)了一些簡單的技巧，希望通過我的文章能給同學(xué)們一些借鑒。

一、相鄰捆綁

排列組合中有一類問題很常見：兩個人、兩個數(shù)字等必須要挨在一起，或是一個問題中通過分析會發(fā)現(xiàn)大條件中必須有兩種物品要相鄰這類問題，在解這樣的問題時，如果將所有的元素都看成單一的，然后再去考慮相鄰問題，這樣也能解答出來，但效率低，結(jié)果不一定準確。采用相鄰捆綁解決起來就比較容易，也就是將兩個相鄰元素看成一個整體后再重新排列，這樣可以省掉很多步驟，并且不容易混亂。例如：會議室要將10把椅子擺成一排，經(jīng)理和副經(jīng)理的椅子要擺在一起，其他可以隨意擺放，求擺法數(shù)量。這是典型的相鄰問題，解答時通過大條件我們能發(fā)現(xiàn)經(jīng)理和副經(jīng)理要挨在一起是關(guān)鍵，在解題時將它們兩個看成一把椅子，這樣就相當于是9把椅子進行排列組合，這樣既不會在解答時每次都考慮挨在一起的問題，又能快速找到解答方向，通過簡單的公式就可以快速解答出來。

二、特殊優(yōu)先

排列組合中有一些比較特殊的問題，如果不將這些特殊問題提前考慮，解答時就會很麻煩又容易解答錯誤，因此在解答前就需將其中的特殊條件尋找出來，再來解答，避免帶來思維亂象。例如：媽媽給彤彤買了一個保險箱，但沒有告訴彤彤密碼，現(xiàn)在彤彤只知道密碼是1、3、5、7、9之間的三個數(shù)字，并且彤彤知道1是其中的一個密碼，那么彤彤能找到多少種密碼方案？這個題目中可以發(fā)現(xiàn)1是其中的特殊數(shù)字，所有每一次組合時，都需要將1放到其中的不同位置上，首先將1選入方案內(nèi)，就可以少了很多次數(shù)的排列，這樣解答起來更高效，節(jié)省了將1排除的時間。

三、除法

這種技巧在排列組合中也很常用，但是這種技巧在解題時需要在某一部分有固定順序，也就是說一些固定順序可以使用這種技巧，解答方便、快捷。例如：動物王國進行體操表演，其中選擇了6只猴子和3只兔子進行表演，但為了美觀，要求三只小兔子按照由瘦到胖來進行排列，共有多少種方法？在解答這個問題時，首先我們會發(fā)現(xiàn)，小兔子由瘦到胖已經(jīng)固定，因此這個順序不能更改，我們首先不做任何改變將9只小動物全排列得到相應(yīng)的排法，而三只小兔子的排法只能是6種，那么將全排列得出的排法數(shù)量除以6就可得到最終答案。這種方法比較簡單，不需要進行一一排除，只需將兩種組合數(shù)量算出，最后相除就可以了。

四、相離插空

這個技巧的特征是它能高效率地解決不相鄰元素問題，首先給出的條件是無限制的，允許自由排列組合，但附加的條件就有一定要求，在解決這類問題時首先要考慮的是有限制的因素，將其插入無限制因素中，解決起來更容易。例如：媽媽先買了8盆花，之后又買了3盆，陽臺地方有限，需要將這三盆花插入其中，但是原來擺花的順序不能更改。這樣的題型中就可以用這種技巧來解答，首先，先買的8盆花是固定的，不用過多考慮，只需將后買的3盆花插到其中就可以了，那么就是說這3盆花可以插在中間也可插在兩邊，這樣就能發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在有9個位置來擺放這三盆花，將一盆擺進去之后，下一盆就又多了一個位置，等到第三盆擺進去后就能發(fā)現(xiàn)剩下的位置變成了11個，這樣再進行乘法計算，最后就能得到答案，那么在解題時，同學(xué)們再遇到這類問題就可以用這種技巧來解答，解答速度會更快，并且得到的答案更準確，節(jié)省了大量時間，保證了解題質(zhì)量。

五、多元分類

多元問題分類主要是解決元素較多、情況多種時的排列組合問題。它是在弄清題意的基礎(chǔ)上，按結(jié)果要求將其分成不相容的幾類情況加以考慮，分別計數(shù)，最后一一相加，進行總計。例如，設(shè)集合I={1，2，3，4，5}。選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法有多少種？在進行解答時首先要進行分析，最后總結(jié)出幾種不同情況，因為這個題目中提到有兩個結(jié)合，但不能是非空子集，所以會選擇2、3、4、5四種元素來進行解答，那么2個元素時，大小區(qū)分可以容易得到10種選法，3個元素時，情況發(fā)生了變化，因為將三個元素分給兩個集合也有10種，但是還需區(qū)分大小，最終得到20種方法。4個元素時，有 =5種選法，再分成1、3;2、2;3、1三組，共有3×5=15種方法; 5個元素時，有種選法，再分成1、4;2、3;3、2;4、1四組，共有4×1=4種方法。總計為：10+20+15+4=49（種）方法。

總之，排列組合問題如果找對了技巧，解答起來就容易多了，在平時的課堂上，我們要跟上老師講題的思路，運用老師的方法，自己再總結(jié)一些方法技巧，這樣我們在解答問題時就不會受到思路限制，解題會更高效，希望我的技巧能給同學(xué)們提供一點幫助。

[1]王保峰．淺談解排列組合問題的基本分析方法[J]．學(xué)周刊，2012（24）．