高中數(shù)學(xué)函數(shù)分類討論思想解題探析

江蘇省宿遷學(xué)院數(shù)學(xué)系 吳秋霞

江蘇宿遷中學(xué) 卓 劍

高中數(shù)學(xué)函數(shù)分類討論思想解題探析

江蘇省宿遷學(xué)院數(shù)學(xué)系 吳秋霞

江蘇宿遷中學(xué) 卓 劍

高中數(shù)學(xué)題相較于初中而言，綜合性顯著提升，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中會(huì)感到有一定的難度。為了幫助學(xué)生提高解題效率以及解題正確率，教師可以傳授學(xué)生函數(shù)分類討論思想。借助分類討論思想，學(xué)生能夠從繁雜的數(shù)學(xué)題目中尋找到解題規(guī)律，從而顯著提升自身的解題效率。本人結(jié)合自身實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，就如何在高中數(shù)學(xué)題解題過程中使用函數(shù)分類討論思想闡述自身的看法，希望能夠給廣大同仁起到一定的參考作用。

高中數(shù)學(xué)；分類討論；函數(shù)思想；解題效率

在高中數(shù)學(xué)眾多解題思路中，學(xué)生接受最快并且獲益最高的解題思路就是分類討論思想。通過分類討論，學(xué)生能夠準(zhǔn)確把握命題的類別，并且快速搜尋相應(yīng)類別題目的解題思路，從而顯著提升自身的解題效率以及解題正確率。通過分類討論，學(xué)生也能夠做到自身數(shù)學(xué)知識(shí)的再鞏固，從而夯實(shí)自身的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，為自身今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)鋪路。本人結(jié)合自身多年實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，就如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中使用分類討論思想解決數(shù)學(xué)題目闡述自身的看法，希望能夠給廣大同仁起到一定的參考作用。

一、依據(jù)函數(shù)概念進(jìn)行分類討論，解決相應(yīng)的問題

每一種類型的函數(shù)都有其適用的范圍，不同類型的數(shù)學(xué)題目也存在最優(yōu)解。因此，教師需要教會(huì)學(xué)生問題的分類以及熟練掌握不同類別的最優(yōu)解決方式，只有如此，學(xué)生才能夠從根本上提升解題效率以及解題正確率。在進(jìn)行函數(shù)概念分類討論的過程中，教師首先要教導(dǎo)學(xué)生的就是不同函數(shù)的定義，明確函數(shù)的使用范圍以及不同函數(shù)使用過程中的注意點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行分類教學(xué)才能夠真正起到作用。

例如，我在講述和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的問題的時(shí)候，為了幫助學(xué)生掌握依據(jù)函數(shù)概念進(jìn)行分類解題的方法，給學(xué)生設(shè)計(jì)了如下的一道題目：假設(shè)0 ＜ x＜1，a＞0且不為1，請(qǐng)比較丨loga(1-x)丨和丨loga(1+x)丨的大小。為了解決這道題目，學(xué)生必須要明確何為指數(shù)，何為對(duì)數(shù)，二者之間有什么聯(lián)系。在比較大小的過程中，學(xué)生需要學(xué)會(huì)將指數(shù)化為對(duì)數(shù)，通過對(duì)數(shù)直觀地進(jìn)行二者的比較。當(dāng)學(xué)生將二者變?yōu)閷?duì)數(shù)之后，再對(duì)x的范圍進(jìn)行分類討論，自然能夠得到想要的答案。

二、依據(jù)函數(shù)圖象的位置進(jìn)行分類討論解題

函數(shù)應(yīng)用題中，有一種類型和函數(shù)圖象對(duì)稱軸的位置相關(guān)，對(duì)于此類題型，教師需要教會(huì)學(xué)生把握對(duì)稱軸這一關(guān)鍵信息進(jìn)行解題。學(xué)生依據(jù)對(duì)稱軸的位置，可以對(duì)圖象形狀、交點(diǎn)等進(jìn)行分類討論，從而解答出最終的答案。這類題型的特征十分明顯，教師要教會(huì)學(xué)生讀題畫圖，通過圖象特征看出題目的意圖，從而準(zhǔn)確地進(jìn)行分類討論，最終得到正確的答案。

例如，我在講述此類分類討論思想的過程中，給學(xué)生出了這樣的一道題目：在xoy平面內(nèi)有一條曲線，y2=2x，點(diǎn)S（a,0）是一動(dòng)點(diǎn)，曲線上的點(diǎn)到S的最短距離是f（a），求它的函數(shù)解析式。在做這道題目的時(shí)候，學(xué)生最先要做的事情就是畫圖，通過畫圖，學(xué)生才能夠明白S點(diǎn)和函數(shù)上的點(diǎn)之間的關(guān)系，從而能夠借助對(duì)稱軸找出最短路徑。找出最短路徑之后，由于這個(gè)函數(shù)關(guān)于x軸對(duì)稱，進(jìn)而對(duì)a是否大于1進(jìn)行討論就能夠得到最終的答案。學(xué)生只有學(xué)會(huì)畫圖，看對(duì)稱軸，才能夠在解題過程中不漏答案，才能夠真正保證正確率。分類討論的一大重要作用就是保證學(xué)生在解題過程中做到面面俱到，不多解，不漏解。

三、依據(jù)二次函數(shù)的類型進(jìn)行分類，解決相應(yīng)的應(yīng)用題

和二次函數(shù)類型相關(guān)的應(yīng)用題分為兩大類，第一大類是定軸動(dòng)區(qū)間，第二大類是動(dòng)軸定區(qū)間。兩種類型的函數(shù)題解題方法天差地別，學(xué)生如果將其混淆，就會(huì)顯著降低解題效率和解題正確率。因此，教師首先要做的就是帶領(lǐng)學(xué)生完成二者的甄別。定軸動(dòng)區(qū)間的典型特征在于題目會(huì)提供一個(gè)完整的函數(shù)表達(dá)式，但是給出的區(qū)間是未知的。此類題型學(xué)生需要首先判斷對(duì)稱軸的位置，在此基礎(chǔ)上依據(jù)對(duì)稱軸的位置進(jìn)行區(qū)間范圍的劃分，從而分類解出答案。而對(duì)于動(dòng)軸定區(qū)間，此類題型的典型特征在于給出的函數(shù)關(guān)系式是不確定的，提供確定區(qū)間進(jìn)行系數(shù)的求解。此類題型需要學(xué)生分類討論函數(shù)關(guān)系式的多種情況，結(jié)合區(qū)間求出答案。在了解二者的區(qū)別以及具體的分類解題方式以后，學(xué)生就能夠顯著提升這類題型的解題效率以及解題正確率，從而顯著提升自身的數(shù)學(xué)解題思維能力。

例如，在講述動(dòng)軸定區(qū)間的題型過程中，我給學(xué)生出了這樣一題：已知，一個(gè)二次函數(shù)關(guān)系式是f(x)=ax2+(2a-1)x-3，它在區(qū)間[-1.5，2]上的最大值是2，那么a的值是多少？學(xué)生依據(jù)動(dòng)軸定區(qū)間的特征一眼就能夠判定它屬于哪種類別，從而能夠在第一時(shí)間就表示需要對(duì)a的范圍進(jìn)行分類討論。當(dāng)學(xué)生得出最終答案的時(shí)候，我提醒學(xué)生：必須將得到的a的值和分類條件進(jìn)行檢驗(yàn)，因?yàn)椴糠诸}目會(huì)設(shè)置誤區(qū)，如果不進(jìn)行檢查就會(huì)出現(xiàn)自相矛盾，從而扣分。通過這樣的教學(xué)方法，學(xué)生能夠迅速掌握此類分類討論思想，并且在檢驗(yàn)的過程中提升自身的解題效率。

綜上所述，高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，函數(shù)分類討論解題思想十分重要，可以幫助學(xué)生在最短的時(shí)間內(nèi)最大程度地提升自身的解題效率以及解題正確率。分類討論思想的適用范圍廣，學(xué)生接受能力強(qiáng)，值得教師在教學(xué)過程中進(jìn)行推廣。教師需要結(jié)合案例進(jìn)行分類討論思想的講解，強(qiáng)化學(xué)生的理解程度，幫助學(xué)生顯著提升自身的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[1]張衛(wèi)星.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生審題能力的訓(xùn)練[J].教學(xué)與管理，2015 （35）：44—46．

[2]范永娟.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生審題能力的培養(yǎng)之我見[J].考試周刊，2016（65）：68．